Номер 986, страница 341 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 986, страница 341.

Условие.

986. Состав нужно скомплектовать из 7 плацкартных, 6 купейных вагонов и одного вагона-ресторана. Сколько существует последовательностей расположения имеющихся вагонов трёх типов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Эта задача решается с помощью формулы для числа перестановок с повторениями. Нам необходимо найти количество уникальных последовательностей, которые можно составить из вагонов трех типов, при этом вагоны одного типа считаются неразличимыми между собой.

Сначала определим общее количество вагонов в поезде. В состав входят 7 плацкартных вагонов, 6 купейных вагонов и 1 вагон-ресторан. Общее число вагонов $n$ равно: $n = 7 + 6 + 1 = 14$.

Число перестановок с повторениями из $n$ элементов, где есть $n_1$ одинаковых элементов первого типа, $n_2$ одинаковых элементов второго типа, и так далее до $n_k$ элементов $k$-го типа, вычисляется по формуле: $P_{n}(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$

В нашем случае общее число вагонов $n = 14$, число плацкартных вагонов $n_1 = 7$, число купейных вагонов $n_2 = 6$ и число вагонов-ресторанов $n_3 = 1$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти количество возможных последовательностей: $P = \frac{14!}{7! \cdot 6! \cdot 1!}$

Для вычисления раскроем факториалы и выполним сокращение. Зная, что $14! = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$ и $1! = 1$, получим: $P = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1}$

Сократив $7!$ в числителе и знаменателе, выражение упрощается до: $P = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполним дальнейшие сокращения в дроби. Например, $12$ в числителе сокращается с произведением $6 \cdot 2$ в знаменателе; $10$ делится на $5$, давая $2$; $8$ делится на $4$, давая $2$; $9$ делится на $3$, давая $3$. В результате остается произведение: $P = 14 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2$

Теперь вычислим итоговое значение, перемножив оставшиеся числа: $P = 14 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 12 = 182 \cdot 132 = 24024$.

Ответ: 24024