Страница 341 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

985. Состав нужно скомплектовать из различных 7 плацкартных, 6 купейных вагонов и одного вагона-ресторана. Сколькими способами можно скомплектовать вагоны в состав?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество вагонов, из которых формируется состав, и затем найти число возможных способов их расстановки. Вопрос "сколькими способами можно скомплектовать вагоны в состав" подразумевает нахождение количества различных последовательностей (порядков) расположения вагонов.

Сначала определим общее количество вагонов в составе. Согласно условию, состав должен включать 7 плацкартных вагонов, 6 купейных вагонов и 1 вагон-ресторан. Таким образом, общее количество вагонов $n$ равно:

$n = 7 + 6 + 1 = 14$

В условии задачи указано, что все 7 плацкартных вагонов "различные" и все 6 купейных вагонов тоже "различные". Вагон-ресторан также является уникальным. Это означает, что все 14 вагонов, из которых комплектуется состав, являются уникальными объектами. Задача сводится к нахождению количества способов, которыми можно упорядочить (расставить в ряд) эти 14 различных вагонов.

Количество способов упорядочить $n$ различных объектов называется числом перестановок и вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

где $n!$ (читается "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Для нашего случая, $n = 14$. Следовательно, количество способов скомплектовать вагоны в состав равно $14!$.

Вычислим значение $14!$:

$14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Проводя вычисления, получаем:

$14! = 87\,178\,291\,200$

Таким образом, существует 87 178 291 200 способов сформировать состав из данных вагонов.

Ответ: 87 178 291 200.

986. Состав нужно скомплектовать из 7 плацкартных, 6 купейных вагонов и одного вагона-ресторана. Сколько существует последовательностей расположения имеющихся вагонов трёх типов?

Эта задача решается с помощью формулы для числа перестановок с повторениями. Нам необходимо найти количество уникальных последовательностей, которые можно составить из вагонов трех типов, при этом вагоны одного типа считаются неразличимыми между собой.

Сначала определим общее количество вагонов в поезде. В состав входят 7 плацкартных вагонов, 6 купейных вагонов и 1 вагон-ресторан. Общее число вагонов $n$ равно: $n = 7 + 6 + 1 = 14$.

Число перестановок с повторениями из $n$ элементов, где есть $n_1$ одинаковых элементов первого типа, $n_2$ одинаковых элементов второго типа, и так далее до $n_k$ элементов $k$-го типа, вычисляется по формуле: $P_{n}(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$

В нашем случае общее число вагонов $n = 14$, число плацкартных вагонов $n_1 = 7$, число купейных вагонов $n_2 = 6$ и число вагонов-ресторанов $n_3 = 1$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти количество возможных последовательностей: $P = \frac{14!}{7! \cdot 6! \cdot 1!}$

Для вычисления раскроем факториалы и выполним сокращение. Зная, что $14! = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$ и $1! = 1$, получим: $P = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1}$

Сократив $7!$ в числителе и знаменателе, выражение упрощается до: $P = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполним дальнейшие сокращения в дроби. Например, $12$ в числителе сокращается с произведением $6 \cdot 2$ в знаменателе; $10$ делится на $5$, давая $2$; $8$ делится на $4$, давая $2$; $9$ делится на $3$, давая $3$. В результате остается произведение: $P = 14 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2$

Теперь вычислим итоговое значение, перемножив оставшиеся числа: $P = 14 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 12 = 182 \cdot 132 = 24024$.

Ответ: 24024

987. Для проверки на всхожесть было посеяно 300 семян, из которых 255 семян проросли. Какова вероятность прорастания отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем взойдёт из 1000 посеянных?

Какова вероятность прорастания отдельного семени в этой партии?

Для нахождения вероятности прорастания семени, или статистической частоты, необходимо найти отношение количества проросших семян к общему количеству посеянных семян.

Общее количество посеянных семян (общее число испытаний): $N = 300$.

Количество проросших семян (число наступивших событий): $m = 255$.

Вероятность $P$ прорастания семени вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{N} = \frac{255}{300}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$P = \frac{255 \div 15}{300 \div 15} = \frac{17}{20}$

Преобразуем полученную дробь в десятичную:

$P = \frac{17}{20} = \frac{17 \times 5}{20 \times 5} = \frac{85}{100} = 0.85$

Ответ: 0.85.

Сколько семян в среднем взойдет из 1000 посеянных?

Чтобы найти, сколько семян в среднем взойдет из 1000, нужно умножить общее количество посеянных семян на найденную вероятность прорастания одного семени.

Количество посеянных семян: $N_{new} = 1000$.

Вероятность прорастания одного семени: $P = 0.85$.

Среднее (математическое ожидание) количество проросших семян $E$ равно:

$E = N_{new} \times P = 1000 \times 0.85 = 850$

Ответ: 850 семян.

988. Вероятность того, что размеры детали, выпускаемой станком-автоматом, окажутся в пределах заданных допусков, равна 0,96. Какое количество годных деталей в среднем будет содержаться в каждой партии объёмом 400 штук?

Для определения среднего количества годных деталей в партии используется понятие математического ожидания. Поскольку каждая деталь может быть либо годной (с вероятностью $p$), либо негодной (с вероятностью $1-p$), а проверка каждой детали является независимым событием, мы имеем дело с биномиальным распределением.

Введем обозначения:
- $n$ — общее количество деталей в партии (количество испытаний), $n = 400$.
- $p$ — вероятность того, что деталь окажется годной (вероятность успеха в одном испытании), $p = 0,96$.

Среднее количество годных деталей в партии равно математическому ожиданию $M(X)$ случайной величины $X$, где $X$ — число годных деталей. Для биномиального распределения математическое ожидание вычисляется по формуле:

$M(X) = n \cdot p$

Подставим значения из условия задачи в эту формулу:

$M(X) = 400 \cdot 0,96$

Выполним вычисление:

$400 \cdot 0,96 = 384$

Таким образом, среднее количество годных деталей, которое будет содержаться в каждой партии, составляет 384 штуки.

Ответ: 384.

989. Отдел технического контроля проверяет половину изделий некоторой партии и признаёт годной всю партию, если среди проверенных изделий не более одного бракованного. Какова вероятность того, что партия из 20 изделий, в которой 2 бракованных, будет признана годной?

Для решения данной задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Вероятность $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$.

Сначала определим общее число возможных исходов $n$. Это число способов выбрать 10 изделий для проверки из партии в 20 изделий. Поскольку порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний:

$n = C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!}$

Далее определим число благоприятствующих исходов $m$. Партия будет признана годной, если среди 10 проверенных изделий окажется не более одного бракованного. В партии имеется 2 бракованных изделия и $20 - 2 = 18$ годных. Таким образом, благоприятный исход наступает в двух случаях:

1. В выборке нет бракованных изделий (все 10 изделий — годные).
2. В выборке есть ровно одно бракованное изделие (и, соответственно, 9 годных).

Число способов для первого случая (0 бракованных, 10 годных):

$m_1 = C_{2}^{0} \cdot C_{18}^{10}$

Число способов для второго случая (1 бракованное, 9 годных):

$m_2 = C_{2}^{1} \cdot C_{18}^{9}$

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов этих двух несовместных событий: $m = m_1 + m_2$.

Искомая вероятность $P$ равна:

$P = \frac{m_1 + m_2}{n} = \frac{C_{2}^{0} \cdot C_{18}^{10} + C_{2}^{1} \cdot C_{18}^{9}}{C_{20}^{10}}$

Эту вероятность можно рассчитать как сумму вероятностей двух несовместных событий: $P = P_1 + P_2$, где $P_1$ — вероятность выбрать 0 бракованных изделий, а $P_2$ — вероятность выбрать 1 бракованное изделие.

Рассчитаем $P_1$:

$P_1 = \frac{C_{2}^{0} \cdot C_{18}^{10}}{C_{20}^{10}} = \frac{1 \cdot \frac{18!}{10!8!}}{\frac{20!}{10!10!}} = \frac{18! \cdot 10! \cdot 10!}{10! \cdot 8! \cdot 20!} = \frac{18! \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18!} = \frac{10 \cdot 9}{20 \cdot 19} = \frac{90}{380} = \frac{9}{38}$

Рассчитаем $P_2$:

$P_2 = \frac{C_{2}^{1} \cdot C_{18}^{9}}{C_{20}^{10}} = \frac{2 \cdot \frac{18!}{9!9!}}{\frac{20!}{10!10!}} = \frac{2 \cdot 18! \cdot 10! \cdot 10!}{9! \cdot 9! \cdot 20!} = \frac{2 \cdot 18! \cdot (10 \cdot 9!) \cdot (10 \cdot 9!)}{9! \cdot 9! \cdot (20 \cdot 19 \cdot 18!)} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 10}{20 \cdot 19} = \frac{200}{380} = \frac{20}{38}$

Суммарная вероятность того, что партия будет признана годной, равна:

$P = P_1 + P_2 = \frac{9}{38} + \frac{20}{38} = \frac{29}{38}$

Ответ: $\frac{29}{38}$

990. В ящике 10 деталей, 4 из которых окрашены. Сборщик наугад взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

Для решения этой задачи по теории вероятностей удобнее использовать метод нахождения вероятности через противоположное событие.

Пусть событие $A$ заключается в том, что "хотя бы одна из взятых деталей окрашена". Тогда противоположное ему событие $\bar{A}$ заключается в том, что "ни одна из взятых деталей не окрашена", то есть все три взятые детали являются неокрашенными.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

1. Найдем общее число возможных исходов.
Всего в ящике 10 деталей. Сборщик берет 3 детали. Общее число способов выбрать 3 детали из 10 равно числу сочетаний из 10 по 3:
$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.
Таким образом, существует 120 различных способов выбрать 3 детали из 10.

2. Найдем число исходов, благоприятствующих событию $\bar{A}$.
Событие $\bar{A}$ — "все три взятые детали неокрашенные".
Количество окрашенных деталей — 4, общее количество — 10. Значит, неокрашенных деталей: $10 - 4 = 6$.
Число способов выбрать 3 неокрашенные детали из 6 имеющихся неокрашенных равно числу сочетаний из 6 по 3:
$m = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.
Итак, существует 20 способов выбрать 3 неокрашенные детали.

3. Найдем вероятность события $\bar{A}$.
Вероятность события $\bar{A}$ по классическому определению вероятности равна отношению числа благоприятствующих исходов $m$ к общему числу исходов $N$:
$P(\bar{A}) = \frac{m}{N} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.

4. Найдем искомую вероятность события $A$.
Вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена, равна:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

991. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

Пусть вероятность того, что изделие стандартное, равна $p$. По условию, $p = 0,9$.
Тогда вероятность того, что изделие нестандартное (противоположное событие), равна $q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1$.
Событие «из двух проверенных изделий только одно стандартное» может произойти в двух взаимоисключающих случаях:
1. Первое изделие стандартное, а второе — нестандартное.
2. Первое изделие нестандартное, а второе — стандартное.
Поскольку проверка каждого изделия является независимым событием, вероятность каждого случая вычисляется как произведение вероятностей составляющих его событий.
Вероятность первого случая (первое стандартное, второе нестандартное) равна:
$P_1 = p \cdot q = 0,9 \cdot 0,1 = 0,09$
Вероятность второго случая (первое нестандартное, второе стандартное) равна:
$P_2 = q \cdot p = 0,1 \cdot 0,9 = 0,09$
Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных случаев:
$P = P_1 + P_2 = 0,09 + 0,09 = 0,18$

Ответ: 0,18

992. Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% первого сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.

Пусть событие A заключается в том, что наугад взятое изделие будет высшего сорта, а событие B — в том, что оно будет первого сорта.

По условию, завод в среднем производит 27% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Вероятности этих событий равны долям продукции соответствующего сорта. Выразим эти доли в виде десятичных дробей:

Вероятность события A: $P(A) = 27\% = 0.27$

Вероятность события B: $P(B) = 70\% = 0.70$

Нам нужно найти вероятность того, что наугад взятое изделие будет или высшего, или первого сорта. Это означает, что нам нужно найти вероятность объединения событий A и B, то есть $P(A \cup B)$.

Поскольку одно и то же изделие не может быть одновременно и высшего, и первого сорта, события A и B являются несовместными (взаимоисключающими).

Для несовместных событий вероятность их объединения (или суммы) равна сумме их вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(A \cup B) = 0.27 + 0.70 = 0.97$

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется высшего или первого сорта, равна 0,97.

Ответ: 0,97

993. При каждом включении двигатель начнёт работать с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что для его запуска потребуется не более двух включений?

Обозначим вероятность того, что двигатель начнёт работать при одном включении, как $p$. Согласно условию задачи, $p = 0,8$.

Тогда вероятность противоположного события, то есть того, что двигатель не начнёт работать при включении, равна $q$. Эта вероятность вычисляется как:
$q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

Событие «для запуска потребуется не более двух включений» означает, что двигатель запустится либо с первой попытки, либо со второй. Эти два исхода являются несовместными (не могут произойти одновременно), поэтому искомая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

1. Вероятность того, что двигатель запустится с первой попытки, равна $p = 0,8$.

2. Вероятность того, что двигатель запустится со второй попытки, вычисляется как вероятность двух независимых событий: первая попытка неудачна (с вероятностью $q$), а вторая — удачна (с вероятностью $p$). Вероятность такой комбинации равна произведению вероятностей этих событий:
$P(\text{запуск со 2-й попытки}) = q \cdot p = 0,2 \cdot 0,8 = 0,16$.

Теперь сложим вероятности этих двух случаев, чтобы найти общую вероятность того, что для запуска потребуется не более двух включений:
$P(\text{не более 2 включений}) = P(\text{запуск с 1-й попытки}) + P(\text{запуск со 2-й попытки}) = 0,8 + 0,16 = 0,96$.

Ответ: 0,96.

994. С первого станка на сборку поступает 40% всех изделий, со второго — 30%, с третьего — 30%. Вероятности изготовления бракованной детали для каждого станка соответственно равны 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наугад поступившая на сборку деталь бракованная.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Обозначим события:

$H_1$ — деталь поступила с первого станка.

$H_2$ — деталь поступила со второго станка.

$H_3$ — деталь поступила с третьего станка.

$A$ — поступившая на сборку деталь является бракованной.

Из условия задачи нам известны вероятности того, что деталь поступила с определенного станка. Эти события являются нашими гипотезами:

$P(H_1) = 40\% = 0.4$

$P(H_2) = 30\% = 0.3$

$P(H_3) = 30\% = 0.3$

События $H_1, H_2, H_3$ образуют полную группу событий, так как $P(H_1) + P(H_2) + P(H_3) = 0.4 + 0.3 + 0.3 = 1$.

Также из условия известны условные вероятности того, что деталь будет бракованной, если она изготовлена на определенном станке:

Вероятность брака для детали с первого станка: $P(A|H_1) = 0.01$

Вероятность брака для детали со второго станка: $P(A|H_2) = 0.03$

Вероятность брака для детали с третьего станка: $P(A|H_3) = 0.05$

Вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной ($P(A)$), находится по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$

Подставим числовые значения в формулу:

$P(A) = 0.4 \cdot 0.01 + 0.3 \cdot 0.03 + 0.3 \cdot 0.05$

Выполним вычисления:

$P(A) = 0.004 + 0.009 + 0.015 = 0.028$

Следовательно, вероятность того, что наугад поступившая на сборку деталь бракованная, равна 0.028. Ответ: 0.028