Страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

949. При каких значениях $a$ система уравнений

$\begin{cases} \log_3(y - 3) - 2\log_9 x = 0, \\ (x + a)^2 - 2y - 5a = 0 \end{cases}$

имеет хотя бы одно решение?

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) и преобразование первого уравнения.

Исходная система уравнений:$$\begin{cases}\log_3(y - 3) - 2\log_9 x = 0, \\(x + a)^2 - 2y - 5a = 0\end{cases}$$Область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения определяется условиями существования логарифмов:
$y - 3 > 0 \implies y > 3$
$x > 0$

Преобразуем первое уравнение, используя формулу перехода к новому основанию логарифма: $\log_b c = \frac{\log_d c}{\log_d b}$.$$ \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2} $$Подставим это выражение в первое уравнение системы:$$ \log_3(y - 3) - 2 \cdot \frac{\log_3 x}{2} = 0 $$$$ \log_3(y - 3) - \log_3 x = 0 $$$$ \log_3(y - 3) = \log_3 x $$Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять ее аргументы:$$ y - 3 = x $$$$ y = x + 3 $$Проверим соответствие этого результата ОДЗ. Из $y > 3$ следует $x + 3 > 3$, что дает $x > 0$. Это полностью совпадает с условием ОДЗ для $x$. Таким образом, первое уравнение системы с учетом ОДЗ эквивалентно соотношению $y = x + 3$ при условии $x > 0$.

2. Подстановка и получение квадратного уравнения.

Подставим выражение $y = x + 3$ во второе уравнение системы:$$ (x + a)^2 - 2(x + 3) - 5a = 0 $$Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:$$ x^2 + 2ax + a^2 - 2x - 6 - 5a = 0 $$$$ x^2 + (2a - 2)x + (a^2 - 5a - 6) = 0 $$Задача свелась к нахождению таких значений параметра $a$, при которых это квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень ($x > 0$).

3. Анализ квадратного уравнения на наличие положительных корней.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 2(a - 1)x + (a^2 - 5a - 6) = 0$.
Для удобства разложим на множители свободный член: $a^2 - 5a - 6 = (a-6)(a+1)$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + 2(a - 1)x + (a - 6)(a + 1) = 0$.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:$$ D = (2(a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 5a - 6) = 4(a^2 - 2a + 1) - 4(a^2 - 5a - 6) $$$$ D = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 + 20a + 24 = 12a + 28 = 4(3a + 7) $$Уравнение имеет действительные корни при $D \ge 0$:$$ 4(3a + 7) \ge 0 \implies 3a + 7 \ge 0 \implies a \ge -\frac{7}{3} $$Система имеет хотя бы одно решение, если квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1: Оба корня положительны ($x_1 > 0, x_2 > 0$).
Это возможно, если выполняются условия (по теореме Виета):
– $D \ge 0 \implies a \ge -7/3$
– Произведение корней $x_1 x_2 = a^2 - 5a - 6 > 0 \implies (a-6)(a+1) > 0 \implies a \in (-\infty, -1) \cup (6, \infty)$
– Сумма корней $x_1 + x_2 = -2(a-1) > 0 \implies a-1 < 0 \implies a < 1$
Пересечение этих трех условий дает: $a \in [-7/3, -1)$.

Случай 2: Один корень положительный, а другой — неположительный ($x_1 > 0, x_2 \le 0$).
Это происходит, если произведение корней неположительно: $x_1 x_2 \le 0$.
Если $x_1 x_2 < 0$, то есть $a^2 - 5a - 6 < 0 \implies (a-6)(a+1) < 0 \implies -1 < a < 6$. В этом случае дискриминант $D = 12a + 28$ всегда положителен (так как для $a > -1$ имеем $12a+28 > 12(-1)+28 = 16 > 0$), значит, всегда есть два корня разного знака. Следовательно, интервал $a \in (-1, 6)$ подходит.
Если $x_1 x_2 = 0$, то один из корней равен нулю. Это происходит при $a^2 - 5a - 6 = 0$, то есть при $a = -1$ или $a = 6$.
– При $a = -1$ уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$, откуда $x(x-4)=0$. Корни $x_1=0, x_2=4$. Есть один положительный корень $x=4$, значит, $a=-1$ является решением.
– При $a = 6$ уравнение принимает вид $x^2 + 10x = 0$, откуда $x(x+10)=0$. Корни $x_1=0, x_2=-10$. Положительных корней нет, значит, $a=6$ не является решением.

4. Объединение результатов.

Соберем все найденные значения параметра $a$, при которых система имеет хотя бы одно решение:
– Из случая 1: $a \in [-7/3, -1)$.
– Из случая 2 (корни разных знаков): $a \in (-1, 6)$.
– Из случая 2 (один корень равен 0): $a = -1$.
Объединяя все эти множества, получаем итоговый промежуток:$$ [-7/3, -1) \cup \{-1\} \cup (-1, 6) = [-7/3, 6) $$

Ответ: $a \in [-7/3, 6)$.

Решить систему уравнений (950—956).

950. 1) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 16, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 19. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 16 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $$ Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Данная система является линейной относительно переменных $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$. Для ее решения воспользуемся методом сложения. Сложим первое и второе уравнения системы: $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 16 + 2 $$ $$ 2\sqrt{x} = 18 $$ $$ \sqrt{x} = 9 $$ Чтобы найти значение $x$, возведем обе части последнего равенства в квадрат: $$ x = 9^2 = 81 $$ Теперь подставим найденное значение $\sqrt{x} = 9$ в первое уравнение исходной системы: $$ 9 + \sqrt{y} = 16 $$ Выразим $\sqrt{y}$: $$ \sqrt{y} = 16 - 9 $$ $$ \sqrt{y} = 7 $$ Чтобы найти значение $y$, возведем обе части в квадрат: $$ y = 7^2 = 49 $$ Таким образом, решение системы — пара чисел $(81; 49)$. Выполним проверку:
$\sqrt{81} + \sqrt{49} = 9 + 7 = 16$ — верно.
$\sqrt{81} - \sqrt{49} = 9 - 7 = 2$ — верно.

Ответ: $(81; 49)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 19 \end{cases} $$ Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Как и в предыдущем случае, применим метод сложения. Сложим первое и второе уравнения: $$ (\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 19 $$ $$ 2\sqrt{x} = 20 $$ $$ \sqrt{x} = 10 $$ Найдем $x$, возведя обе части в квадрат: $$ x = 10^2 = 100 $$ Подставим значение $\sqrt{x} = 10$ во второе уравнение системы: $$ 10 + \sqrt{y} = 19 $$ Выразим $\sqrt{y}$: $$ \sqrt{y} = 19 - 10 $$ $$ \sqrt{y} = 9 $$ Найдем $y$, возведя обе части в квадрат: $$ y = 9^2 = 81 $$ Решением системы является пара чисел $(100; 81)$. Проверим это:
$\sqrt{100} - \sqrt{81} = 10 - 9 = 1$ — верно.
$\sqrt{100} + \sqrt{81} = 10 + 9 = 19$ — верно.

Ответ: $(100; 81)$.

951. 1) $\begin{cases} \sqrt{x+y-1}=1, \\ \sqrt{x-y+2}=2y-2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{3y+x+1}=2, \\ \sqrt{2x-y+2}=7y-6. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x+y-1} = 1, \\ \sqrt{x-y+2} = 2y-2; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, и правая часть второго уравнения (значение корня) также должна быть неотрицательна.

$ \begin{cases} x+y-1 \ge 0 \\ x-y+2 \ge 0 \\ 2y-2 \ge 0 \implies y \ge 1 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение системы. Возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x+y-1})^2 = 1^2$

$x+y-1 = 1$

$x+y = 2$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 2-y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{(2-y)-y+2} = 2y-2$

$\sqrt{4-2y} = 2y-2$

Для существования этого уравнения должно выполняться условие $4-2y \ge 0$, откуда $y \le 2$. С учетом ОДЗ ($y \ge 1$), получаем общее ограничение для $y$: $1 \le y \le 2$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{4-2y} = 2y-2$ в квадрат:

$4-2y = (2y-2)^2$

$4-2y = 4y^2 - 8y + 4$

$4y^2 - 6y = 0$

$2y(2y-3) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$y_1 = 0$

$2y_2 - 3 = 0 \implies y_2 = 1.5$

Проверим корни на соответствие условию $1 \le y \le 2$.

Корень $y_1 = 0$ не удовлетворяет условию, так как $0 < 1$. Это посторонний корень.

Корень $y_2 = 1.5$ удовлетворяет условию, так как $1 \le 1.5 \le 2$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2-y = 2-1.5 = 0.5$

Получили решение $(0.5; 1.5)$. Проверим его, подставив в исходную систему:

$\sqrt{0.5+1.5-1} = \sqrt{1} = 1$ (верно)

$\sqrt{0.5-1.5+2} = \sqrt{1} = 1$ и $2(1.5)-2 = 3-2 = 1$ (верно)

Ответ: $(0.5; 1.5)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{3y+x+1} = 2, \\ \sqrt{2x-y+2} = 7y-6. \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 3y+x+1 \ge 0 \\ 2x-y+2 \ge 0 \\ 7y-6 \ge 0 \implies y \ge \frac{6}{7} \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение системы. Возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{3y+x+1})^2 = 2^2$

$3y+x+1 = 4$

$x+3y = 3$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 3-3y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{2(3-3y)-y+2} = 7y-6$

$\sqrt{6-6y-y+2} = 7y-6$

$\sqrt{8-7y} = 7y-6$

Для существования этого уравнения должно выполняться условие $8-7y \ge 0$, откуда $y \le \frac{8}{7}$. С учетом ОДЗ ($y \ge \frac{6}{7}$), получаем общее ограничение для $y$: $\frac{6}{7} \le y \le \frac{8}{7}$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{8-7y} = 7y-6$ в квадрат:

$8-7y = (7y-6)^2$

$8-7y = 49y^2 - 84y + 36$

$49y^2 - 77y + 28 = 0$

Разделим все уравнение на 7:

$7y^2 - 11y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 4 = 121 - 112 = 9$

Найдем корни:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 7} = \frac{11 \pm 3}{14}$

$y_1 = \frac{11-3}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$

$y_2 = \frac{11+3}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $\frac{6}{7} \le y \le \frac{8}{7}$.

Корень $y_1 = \frac{4}{7}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{4}{7} < \frac{6}{7}$. Это посторонний корень.

Корень $y_2 = 1$ удовлетворяет условию, так как $\frac{6}{7} \le 1 \le \frac{8}{7}$ (т.к. $1=\frac{7}{7}$).

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 3-3y = 3-3 \cdot 1 = 0$

Получили решение $(0; 1)$. Проверим его, подставив в исходную систему:

$\sqrt{3(1)+0+1} = \sqrt{4} = 2$ (верно)

$\sqrt{2(0)-1+2} = \sqrt{1} = 1$ и $7(1)-6 = 7-6 = 1$ (верно)

Ответ: $(0; 1)$.

952.

1) $ \begin{cases} 3^{x+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8, \\ \sqrt{x+y^2} = x+y; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2^{x-y+1} \cdot 7 \cdot 2^{y-5} = 4, \\ \sqrt{2x+y^2} = x+y. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 3^{x+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8, \\ \sqrt{x+y^2} = x+y \end{cases}$

Начнем со второго уравнения. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$x+y^2 \ge 0$ и $x+y \ge 0$.

При условии $x+y \ge 0$ возведем второе уравнение в квадрат:

$(\sqrt{x+y^2})^2 = (x+y)^2$

$x+y^2 = x^2+2xy+y^2$

$x = x^2+2xy$

$x^2+2xy-x = 0$

$x(x+2y-1) = 0$

Это уравнение дает нам два случая:

Случай 1: $x=0$.

Подставим $x=0$ в первое уравнение системы:

$3^{0+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8$

$3^{y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8$

$3 \cdot 3^y + 7 \cdot 3^y \cdot 3^{-2} = 8$

$3 \cdot 3^y + \frac{7}{9} \cdot 3^y = 8$

$3^y (3 + \frac{7}{9}) = 8$

$3^y (\frac{27+7}{9}) = 8$

$3^y \cdot \frac{34}{9} = 8$

$3^y = \frac{8 \cdot 9}{34} = \frac{72}{34} = \frac{36}{17}$

$y = \log_3(\frac{36}{17})$

Проверим условия ОДЗ для решения $(0, \log_3(\frac{36}{17}))$.

$x+y \ge 0 \Rightarrow 0 + \log_3(\frac{36}{17}) \ge 0$. Так как $\frac{36}{17} > 1$, то $\log_3(\frac{36}{17}) > 0$. Условие выполнено.

$x+y^2 \ge 0 \Rightarrow 0 + (\log_3(\frac{36}{17}))^2 \ge 0$. Условие выполнено.

Следовательно, $(0, \log_3(\frac{36}{17}))$ является решением системы.

Случай 2: $x+2y-1=0$, откуда $x = 1-2y$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$3^{(1-2y)+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8$

$3^{2-y} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8$

$\frac{3^2}{3^y} + 7 \cdot \frac{3^y}{3^2} = 8$

$\frac{9}{3^y} + \frac{7}{9} \cdot 3^y = 8$

Сделаем замену $a = 3^y$. Так как $y$ - вещественное число, то $a>0$.

$\frac{9}{a} + \frac{7a}{9} = 8$

Умножим обе части на $9a$ (так как $a \ne 0$):

$81 + 7a^2 = 72a$

$7a^2 - 72a + 81 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-72)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 81 = 5184 - 2268 = 2916 = 54^2$.

$a_{1,2} = \frac{72 \pm 54}{2 \cdot 7} = \frac{72 \pm 54}{14}$

$a_1 = \frac{72+54}{14} = \frac{126}{14} = 9$

$a_2 = \frac{72-54}{14} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$

Рассмотрим оба значения $a$.

Если $a_1=9$, то $3^y = 9$, откуда $y=2$.

Найдем $x = 1-2y = 1 - 2(2) = -3$.

Проверим ОДЗ для пары $(-3, 2)$: $x+y = -3+2 = -1$. Условие $x+y \ge 0$ не выполнено, так как $-1 < 0$. Это постороннее решение.

Если $a_2=\frac{9}{7}$, то $3^y = \frac{9}{7}$, откуда $y = \log_3(\frac{9}{7})$.

Найдем $x = 1-2y = 1 - 2\log_3(\frac{9}{7})$.

Проверим ОДЗ для этой пары. Условие $x+y \ge 0$ эквивалентно $(1-2y)+y \ge 0$, то есть $1-y \ge 0$ или $y \le 1$.

$y = \log_3(\frac{9}{7})$. Так как $\frac{9}{7} < 3$, то $\log_3(\frac{9}{7}) < \log_3(3) = 1$. Условие $y \le 1$ выполнено.

Второе условие $x+y^2 \ge 0$ эквивалентно $(1-2y)+y^2 \ge 0$, то есть $(y-1)^2 \ge 0$, что верно для любого $y$.

Таким образом, эта пара является решением. Упростим выражение для $x$:

$x = 1 - 2\log_3(\frac{9}{7}) = 1 - 2(\log_3(9) - \log_3(7)) = 1 - 2(2 - \log_3(7)) = 1 - 4 + 2\log_3(7) = -3 + \log_3(7^2) = \log_3(3^{-3}) + \log_3(49) = \log_3(\frac{1}{27}) + \log_3(49) = \log_3(\frac{49}{27})$.

Второе решение: $(\log_3(\frac{49}{27}), \log_3(\frac{9}{7}))$.

Ответ: $(0, \log_3(\frac{36}{17}))$, $(\log_3(\frac{49}{27}), \log_3(\frac{9}{7}))$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2^{x+y+1} \cdot 7 \cdot 2^{y-5} = 4, \\ \sqrt{2x+y^2} = x+y \end{cases}$

Начнем с преобразования первого уравнения:

$7 \cdot 2^{(x+y+1) + (y-5)} = 4$

$7 \cdot 2^{x+2y-4} = 4$

$2^{x+2y-4} = \frac{4}{7}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2:

$x+2y-4 = \log_2(\frac{4}{7})$

$x+2y-4 = \log_2(4) - \log_2(7)$

$x+2y-4 = 2 - \log_2(7)$

$x+2y = 6 - \log_2(7)$

Теперь рассмотрим второе уравнение. ОДЗ: $2x+y^2 \ge 0$ и $x+y \ge 0$.

При условии $x+y \ge 0$ возведем в квадрат:

$2x+y^2 = (x+y)^2$

$2x+y^2 = x^2+2xy+y^2$

$2x = x^2+2xy$

$x^2+2xy-2x = 0$

$x(x+2y-2) = 0$

Отсюда получаем два случая:

Случай 1: $x=0$.

Подставим $x=0$ в полученное ранее линейное уравнение $x+2y = 6 - \log_2(7)$:

$0+2y = 6 - \log_2(7)$

$y = \frac{6 - \log_2(7)}{2} = 3 - \frac{1}{2}\log_2(7) = 3 - \log_2(\sqrt{7})$.

Упростим выражение для $y$: $y = \log_2(2^3) - \log_2(\sqrt{7}) = \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}})$.

Получили возможное решение $(0, \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}))$.

Проверим ОДЗ:

$x+y \ge 0 \Rightarrow 0 + \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}) \ge 0$. Так как $\sqrt{7} < 8$, то $\frac{8}{\sqrt{7}} > 1$ и логарифм положителен. Условие выполнено.

$2x+y^2 \ge 0 \Rightarrow 2(0) + (\log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}))^2 \ge 0$. Условие выполнено.

Следовательно, $(0, \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}))$ является решением.

Случай 2: $x+2y-2=0$, то есть $x+2y=2$.

Мы получили систему из двух линейных соотношений для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+2y = 6 - \log_2(7) \\ x+2y = 2 \end{cases}$

Приравнивая правые части, получаем:

$2 = 6 - \log_2(7)$

$\log_2(7) = 4$

$7 = 2^4$

$7 = 16$

Это неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является найденное в первом случае.

Ответ: $(0, \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}))$.

953. 1) $2\log_3^2(x+2y) = \log_{\frac{1}{3}}(x+2y)\log_{\frac{1}{3}}(x-y) + \log_3^2(x-y),$

$x^2+xy-2y^2=9;$

2) $2\log_2^2(x+y) + \log_{\frac{1}{2}}(x+y)\log_{\frac{1}{2}}(x-2y) = 2\log_2^2(x-2y),$

$x^2-xy-2y^2=4.$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2\log_3^2(x + 2y) = \log_{1/3}(x + 2y)\log_{1/3}(x - y) + \log_3^2(x - y) \\ x^2 + xy - 2y^2 = 9 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями положительности аргументов логарифмов:

$x + 2y > 0$

$x - y > 0$

Преобразуем первое уравнение системы, используя свойство логарифма $\log_{1/a} b = -\log_a b$.

$\log_{1/3}(x + 2y) = -\log_3(x + 2y)$

$\log_{1/3}(x - y) = -\log_3(x - y)$

Подставив эти выражения в первое уравнение, получим:

$2\log_3^2(x + 2y) = (-\log_3(x + 2y))(-\log_3(x - y)) + \log_3^2(x - y)$

Перенесем все члены в левую часть:

$2\log_3^2(x + 2y) - \log_3(x + 2y)\log_3(x - y) - \log_3^2(x - y) = 0$

Это однородное уравнение относительно $\log_3(x + 2y)$ и $\log_3(x - y)$. Сделаем замену: $a = \log_3(x + 2y)$ и $b = \log_3(x - y)$.

$2a^2 - ab - b^2 = 0$

Разложим левую часть на множители:

$2a^2 - 2ab + ab - b^2 = 0$

$2a(a - b) + b(a - b) = 0$

$(2a + b)(a - b) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $a - b = 0 \implies a = b$

2) $2a + b = 0 \implies b = -2a$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 + xy - 2y^2 = 9$.

Разложим его левую часть на множители:

$x^2 + 2xy - xy - 2y^2 = x(x + 2y) - y(x + 2y) = (x + 2y)(x - y) = 9$.

Теперь рассмотрим каждый из двух случаев, полученных из первого уравнения.

Случай 1: $a = b$

$\log_3(x + 2y) = \log_3(x - y)$

Так как логарифмическая функция монотонна, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:

$x + 2y = x - y \implies 3y = 0 \implies y = 0$

Подставим $y = 0$ во второе преобразованное уравнение $(x + 2y)(x - y) = 9$:

$(x + 0)(x - 0) = 9 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$ или $x = -3$.

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x + 2y > 0$ и $x - y > 0$. При $y=0$ условия сводятся к $x > 0$. Следовательно, нам подходит только $x = 3$.

Первое решение системы: $(3, 0)$.

Случай 2: $b = -2a$

$\log_3(x - y) = -2\log_3(x + 2y) \implies \log_3(x - y) = \log_3((x + 2y)^{-2})$

$x - y = \frac{1}{(x + 2y)^2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = \frac{1}{(x + 2y)^2} \\ (x + 2y)(x - y) = 9 \end{cases} $$

Подставим выражение для $(x-y)$ из первого уравнения во второе:

$(x + 2y) \cdot \frac{1}{(x + 2y)^2} = 9 \implies \frac{1}{x + 2y} = 9$

Отсюда $x + 2y = \frac{1}{9}$.

Теперь найдем $(x-y)$, подставив $(x+2y)=1/9$ во второе уравнение:

$\frac{1}{9} \cdot (x - y) = 9 \implies x - y = 81$

Решим полученную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y = 1/9 \\ x - y = 81 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого: $(x + 2y) - (x - y) = \frac{1}{9} - 81 \implies 3y = \frac{1 - 729}{9} = -\frac{728}{9}$.

$y = -\frac{728}{27}$

Найдем $x$ из уравнения $x = 81 + y$:

$x = 81 - \frac{728}{27} = \frac{81 \cdot 27 - 728}{27} = \frac{2187 - 728}{27} = \frac{1459}{27}$

Проверим ОДЗ для решения $(\frac{1459}{27}, -\frac{728}{27})$:

$x + 2y = 1/9 > 0$ (верно)

$x - y = 81 > 0$ (верно)

Второе решение системы: $(\frac{1459}{27}, -\frac{728}{27})$.

Ответ: $(3, 0), (\frac{1459}{27}, -\frac{728}{27})$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2\log_2^2(x + y) + \log_{1/2}(x + y)\log_{1/2}(x - 2y) = 2\log_2^2(x - 2y) \\ x^2 - xy - 2y^2 = 4 \end{cases} $$

ОДЗ: $x + y > 0$ и $x - 2y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя $\log_{1/2} z = -\log_2 z$:

$2\log_2^2(x + y) + (-\log_2(x + y))(-\log_2(x - 2y)) = 2\log_2^2(x - 2y)$

$2\log_2^2(x + y) + \log_2(x + y)\log_2(x - 2y) - 2\log_2^2(x - 2y) = 0$

Это однородное уравнение. Сделаем замену: $a = \log_2(x + y)$, $b = \log_2(x - 2y)$.

$2a^2 + ab - 2b^2 = 0$

Если $b=0$, то и $a=0$. Это соответствует $x+y=1$ и $x-2y=1$, откуда $x=1, y=0$. Подстановка во второе уравнение дает $(1+0)(1-0)=1$, что противоречит $x^2-xy-2y^2=4$. Значит $b \ne 0$. Разделим уравнение на $b^2$:

$2(\frac{a}{b})^2 + (\frac{a}{b}) - 2 = 0$

Пусть $t = a/b$. Решим квадратное уравнение $2t^2 + t - 2 = 0$ относительно $t$:

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Преобразуем второе уравнение: $x^2 - xy - 2y^2 = (x+y)(x-2y) = 4$.

Введем новые переменные $u = x + y$ и $v = x - 2y$. По ОДЗ $u > 0, v > 0$. Второе уравнение примет вид $uv = 4$.

Прологарифмируем обе части по основанию 2: $\log_2(uv) = \log_2 4 \implies \log_2 u + \log_2 v = 2$.

В наших заменах это $a+b=2$. Таким образом, мы решаем систему для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a/b = t \\ a + b = 2 \end{cases} $$

Из первого уравнения $a = bt$, подставляем во второе: $bt + b = 2 \implies b(t+1)=2 \implies b = \frac{2}{t+1}$. Тогда $a=2-b$.

Случай 1: $t = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$

$b = \frac{2}{\frac{-1+\sqrt{17}}{4} + 1} = \frac{2}{\frac{3+\sqrt{17}}{4}} = \frac{8}{3+\sqrt{17}} = \frac{8(3-\sqrt{17})}{9-17} = \frac{8(3-\sqrt{17})}{-8} = \sqrt{17}-3$.

$a = 2 - b = 2 - (\sqrt{17}-3) = 5-\sqrt{17}$.

Тогда $\log_2 u = a = 5-\sqrt{17}$ и $\log_2 v = b = \sqrt{17}-3$.

$u = 2^{5-\sqrt{17}}$, $v = 2^{\sqrt{17}-3}$.

Решим систему для $x$ и $y$: $ \begin{cases} x + y = u \\ x - 2y = v \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 2^{5-\sqrt{17}} \\ x - 2y = 2^{\sqrt{17}-3} \end{cases} $

Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $3y = u-v \implies y = \frac{1}{3}(2^{5-\sqrt{17}} - 2^{\sqrt{17}-3})$.

Умножив первое уравнение на 2 и сложив со вторым, получаем: $3x = 2u+v \implies x = \frac{1}{3}(2 \cdot 2^{5-\sqrt{17}} + 2^{\sqrt{17}-3}) = \frac{1}{3}(2^{6-\sqrt{17}} + 2^{\sqrt{17}-3})$.

Случай 2: $t = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$

$b = \frac{2}{\frac{-1-\sqrt{17}}{4} + 1} = \frac{2}{\frac{3-\sqrt{17}}{4}} = \frac{8}{3-\sqrt{17}} = \frac{8(3+\sqrt{17})}{9-17} = \frac{8(3+\sqrt{17})}{-8} = -(3+\sqrt{17})$.

$a = 2 - b = 2 - (-(3+\sqrt{17})) = 5+\sqrt{17}$.

Тогда $\log_2 u = a = 5+\sqrt{17}$ и $\log_2 v = b = -(3+\sqrt{17})$.

$u = 2^{5+\sqrt{17}}$, $v = 2^{-3-\sqrt{17}}$.

Решим систему для $x$ и $y$: $ \begin{cases} x + y = 2^{5+\sqrt{17}} \\ x - 2y = 2^{-3-\sqrt{17}} \end{cases} $

$y = \frac{1}{3}(u-v) = \frac{1}{3}(2^{5+\sqrt{17}} - 2^{-3-\sqrt{17}})$.

$x = \frac{1}{3}(2u+v) = \frac{1}{3}(2 \cdot 2^{5+\sqrt{17}} + 2^{-3-\sqrt{17}}) = \frac{1}{3}(2^{6+\sqrt{17}} + 2^{-3-\sqrt{17}})$.

Оба набора значений $u, v$ положительны, так как показательная функция всегда положительна, следовательно, ОДЗ выполняется для обоих решений.

Ответ: $(\frac{1}{3}(2^{6-\sqrt{17}} + 2^{\sqrt{17}-3}), \frac{1}{3}(2^{5-\sqrt{17}} - 2^{\sqrt{17}-3}))$, $(\frac{1}{3}(2^{6+\sqrt{17}} + 2^{-3-\sqrt{17}}), \frac{1}{3}(2^{5+\sqrt{17}} - 2^{-3-\sqrt{17}}))$.

954. $$ \begin{cases} \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sin\left(\frac{3}{2}\pi - y\right) = 1, \\ x + y = -\frac{3\pi}{2}. \end{cases} $$

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\cos(\frac{\pi}{2} + x) + \sin(\frac{3\pi}{2} - y) = 1 \\x + y = -\frac{3\pi}{2}\end{cases}$$

Сначала упростим первое уравнение, используя формулы приведения тригонометрических функций.

Согласно формуле приведения, $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$, так как во второй четверти косинус отрицателен, и при наличии $\frac{\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.

Аналогично, $\sin(\frac{3\pi}{2} - y) = -\cos(y)$, так как в третьей четверти синус отрицателен, и при наличии $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.

Подставив эти выражения в первое уравнение, получаем:

$-\sin(x) - \cos(y) = 1$

Умножив на $-1$, получим:

$\sin(x) + \cos(y) = -1$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:

$$\begin{cases}\sin(x) + \cos(y) = -1 \\x + y = -\frac{3\pi}{2}\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим переменную $x$: $x = -\frac{3\pi}{2} - y$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\sin(-\frac{3\pi}{2} - y) + \cos(y) = -1$

Упростим выражение $\sin(-\frac{3\pi}{2} - y)$. Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:

$\sin(-\frac{3\pi}{2} - y) = -\sin(\frac{3\pi}{2} + y)$

Теперь применим формулу приведения для $\sin(\frac{3\pi}{2} + y)$. Угол $\frac{3\pi}{2} + y$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а функция меняется на косинус:

$\sin(\frac{3\pi}{2} + y) = -\cos(y)$

Следовательно, $\sin(-\frac{3\pi}{2} - y) = -(-\cos(y)) = \cos(y)$.

Подставив это обратно в уравнение, получим:

$\cos(y) + \cos(y) = -1$

$2\cos(y) = -1$

$\cos(y) = -\frac{1}{2}$

Решения этого тригонометрического уравнения для $y$:

$y = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем две серии решений для $y$:

$y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждой серии решений $y$, используя $x = -\frac{3\pi}{2} - y$.

Для первой серии решений $y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

$x = -\frac{3\pi}{2} - (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = -\frac{9\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - 2\pi n = -\frac{13\pi}{6} - 2\pi n$.

Это дает первую пару решений: $(-\frac{13\pi}{6} - 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для второй серии решений $y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

$x = -\frac{3\pi}{2} - (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = -\frac{9\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} - 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n$.

Это дает вторую пару решений: $(-\frac{5\pi}{6} - 2\pi n, -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{13\pi}{6} - 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $(-\frac{5\pi}{6} - 2\pi n, -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

955.

1) $\begin{cases} \sin x + \cos y = 1, \\ \sin^2 x + 2\sin x \cos y = \frac{3}{4}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{1}{2}, \\ \cos^2 x + 2\sin x \sin y + 4\cos^2 y = 4. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x + 2\sin x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $$

Введем замену переменных: пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = 1 \\ u^2 + 2uv = \frac{3}{4} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 1 - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 + 2u(1 - u) = \frac{3}{4}$

$u^2 + 2u - 2u^2 = \frac{3}{4}$

$-u^2 + 2u - \frac{3}{4} = 0$

Умножим обе части на -4, чтобы избавиться от дроби и отрицательного старшего коэффициента:

$4u^2 - 8u + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $u$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения:

$u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm 4}{8}$

$u_1 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$u_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = \frac{3}{2}$.

Тогда $\sin x = \frac{3}{2}$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, а $\frac{3}{2} > 1$, это уравнение не имеет решений.

Случай 2: $u = \frac{1}{2}$.

Тогда $\sin x = \frac{1}{2}$. Найдем соответствующее значение $v$: $v = 1 - u = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Итак, мы получили систему простейших тригонометрических уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Решаем каждое уравнение:

Из $\sin x = \frac{1}{2}$ следует, что $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos y = \frac{1}{2}$ следует, что $y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{1}{2} \\ \cos^2 x + 2\sin x \sin y + 4\cos^2 y = 4 \end{cases} $$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ для преобразования второго уравнения:

$(1 - \sin^2 x) + 2\sin x \sin y + 4(1 - \sin^2 y) = 4$

$1 - \sin^2 x + 2\sin x \sin y + 4 - 4\sin^2 y = 4$

$5 - \sin^2 x + 2\sin x \sin y - 4\sin^2 y = 4$

$\sin^2 x - 2\sin x \sin y + 4\sin^2 y = 1$

Теперь введем замену переменных: пусть $a = \sin x$ и $b = \sin y$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = \frac{1}{2} \\ a^2 - 2ab + 4b^2 = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = \frac{1}{2} - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{1}{2} - b)^2 - 2(\frac{1}{2} - b)b + 4b^2 = 1$

$(\frac{1}{4} - b + b^2) - (b - 2b^2) + 4b^2 = 1$

$\frac{1}{4} - b + b^2 - b + 2b^2 + 4b^2 = 1$

$7b^2 - 2b + \frac{1}{4} - 1 = 0$

$7b^2 - 2b - \frac{3}{4} = 0$

Умножим обе части на 4:

$28b^2 - 8b - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $b$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 28 \cdot (-3) = 64 + 336 = 400$.

Корни уравнения:

$b_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 28} = \frac{8 \pm 20}{56}$

$b_1 = \frac{8 + 20}{56} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$

$b_2 = \frac{8 - 20}{56} = \frac{-12}{56} = -\frac{3}{14}$

Найдем соответствующие значения $a = \frac{1}{2} - b$ для каждого корня.

Случай 1: $b = \frac{1}{2}$ (т.е. $\sin y = \frac{1}{2}$).
$a = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ (т.е. $\sin x = 0$).
Получаем первую пару решений для $(\sin x, \sin y)$: $(0, \frac{1}{2})$.
Решения для $x$ и $y$:
$\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\sin y = \frac{1}{2} \implies y = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $b = -\frac{3}{14}$ (т.е. $\sin y = -\frac{3}{14}$).
$a = \frac{1}{2} - (-\frac{3}{14}) = \frac{7}{14} + \frac{3}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ (т.е. $\sin x = \frac{5}{7}$).
Получаем вторую пару решений для $(\sin x, \sin y)$: $(\frac{5}{7}, -\frac{3}{14})$.
Решения для $x$ и $y$:
$\sin x = \frac{5}{7} \implies x = (-1)^m \arcsin\frac{5}{7} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$
$\sin y = -\frac{3}{14} \implies y = (-1)^p \arcsin(-\frac{3}{14}) = (-1)^{p+1} \arcsin\frac{3}{14} + \pi p, p \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный ответ.

Ответ: $( \pi k, (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n )$ и $( (-1)^m \arcsin\frac{5}{7} + \pi m, (-1)^{p+1} \arcsin\frac{3}{14} + \pi p )$, где $k, n, m, p \in \mathbb{Z}$.

956. 1) $ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ 3 \operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} y. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2}, \\ \text{tg}x \cdot \text{ctg}y = 1. \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Для существования $\text{tg}x$ необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Для существования $\text{ctg}y$ необходимо, чтобы $\sin y \neq 0$, то есть $y \neq m\pi, m \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем второе уравнение системы. Если $\text{ctg}y \neq 0$, то его можно переписать в виде $\text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}y}$, что равносильно $\text{tg}x = \text{tg}y$. Это условие выполняется, когда $x = y + n\pi$ для любого целого числа $n$.

Другой способ преобразования второго уравнения: $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = 1$, что приводит к $\sin x \cos y = \cos x \sin y$. Перенося все в левую часть, получаем $\sin x \cos y - \cos x \sin y = 0$, что является формулой синуса разности: $\sin(x-y) = 0$. Отсюда следует, что $x - y = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь воспользуемся первым уравнением системы и тригонометрической формулой суммы и разности синусов: $2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$.

Подставим известные значения:

$2 \cdot (-\frac{1}{2}) = \sin(x+y) + \sin(x-y)$

$-1 = \sin(x+y) + \sin(n\pi)$

Так как $\sin(n\pi) = 0$ для любого целого $n$, получаем:

$\sin(x+y) = -1$

Это уравнение имеет решение: $x+y = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, исходная система свелась к системе линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x - y = n\pi, \\ x + y = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi. \end{cases} $ (где $n, k \in \mathbb{Z}$)

Сложим эти два уравнения:

$2x = n\pi - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi$

Вычтем первое уравнение из второго:

$2y = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi - n\pi \implies y = -\frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi$

Эти формулы представляют общее решение системы. Можно заметить, что решение зависит от четности $n$.

• Если $n$ четное ($n=2p, p \in \mathbb{Z}$), то:
  $x = \frac{2p\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = p\pi - \frac{\pi}{4} + k\pi = (k+p)\pi - \frac{\pi}{4}$
  $y = -\frac{2p\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = -p\pi - \frac{\pi}{4} + k\pi = (k-p)\pi - \frac{\pi}{4}$
  В этом случае $x$ и $y$ имеют вид $N\pi - \frac{\pi}{4}$.
• Если $n$ нечетное ($n=2p+1, p \in \mathbb{Z}$), то:
  $x = \frac{(2p+1)\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = p\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = (k+p)\pi + \frac{\pi}{4}$
  $y = -\frac{(2p+1)\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = -p\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = (k-p)\pi - \frac{3\pi}{4}$
  В этом случае $x$ имеет вид $N\pi + \frac{\pi}{4}$, а $y$ имеет вид $M\pi - \frac{3\pi}{4}$.

Полученные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = k\pi - \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, y = k\pi - \frac{\pi}{4} - \frac{n\pi}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ 3\text{tg}x = \text{ctg}y. \end{cases} $

ОДЗ: $\cos x \neq 0$ ($x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$) и $\sin y \neq 0$ ($y \neq m\pi$).

Преобразуем второе уравнение, используя определения тангенса и котангенса:

$3\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos y}{\sin y}$

Умножим обе части на $\cos x \sin y$ (что не равно нулю в силу ОДЗ):

$3\sin x \sin y = \cos x \cos y$

Из первого уравнения системы известно, что $\sin x \sin y = \frac{1}{4}$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$3 \cdot \frac{1}{4} = \cos x \cos y \implies \cos x \cos y = \frac{3}{4}$

Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4}. \end{cases} $

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Подставим в них полученные значения:

$\cos(x-y) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

$\cos(x+y) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Из этих двух уравнений находим выражения для $x-y$ и $x+y$:

Из $\cos(x-y) = 1$ следует, что $x-y = 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos(x+y) = \frac{1}{2}$ следует, что $x+y = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Это приводит к двум системам линейных уравнений.

Случай 1:

$ \begin{cases} x - y = 2k\pi \\ x + y = \frac{\pi}{3} + 2m\pi \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{\pi}{3} + 2(k+m)\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + (k+m)\pi$.

Вычитая первое из второго, получаем $2y = \frac{\pi}{3} + 2(m-k)\pi \implies y = \frac{\pi}{6} + (m-k)\pi$.

Случай 2:

$ \begin{cases} x - y = 2k\pi \\ x + y = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = -\frac{\pi}{3} + 2(k+m)\pi \implies x = -\frac{\pi}{6} + (k+m)\pi$.

Вычитая первое из второго, получаем $2y = -\frac{\pi}{3} + 2(m-k)\pi \implies y = -\frac{\pi}{6} + (m-k)\pi$.

Объединим решения. Обозначим $n = k+m$ и $l = m-k$. Поскольку $n-l = (k+m) - (m-k) = 2k$, разность $n-l$ всегда является четным числом, что означает, что $n$ и $l$ имеют одинаковую четность.

Ответ: $(x, y) = (\frac{\pi}{6} + n\pi, \frac{\pi}{6} + l\pi)$ и $(x, y) = (-\frac{\pi}{6} + n\pi, -\frac{\pi}{6} + l\pi)$, где $n, l \in \mathbb{Z}$ и имеют одинаковую четность (т.е. $n-l$ — четное число).

957. Найти наименьшее и наибольшее целые решения системы неравенств

$$\begin{cases} \frac{2x-3}{2} - \frac{3x+5}{3} - \frac{x}{6} < 3 - \frac{x+4}{2}, \\ 1 - \frac{2x-8}{3} + \frac{4-3x}{2} < 2x - \frac{x+2}{3}. \end{cases}$$

Для нахождения наименьшего и наибольшего целых решений системы, сначала решим каждое неравенство отдельно и найдем общее решение системы.

Решение первого неравенства

$ \frac{2x-3}{2} - \frac{3x+5}{3} - \frac{x}{6} < 3 - \frac{x+4}{2} $

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3, 6), равное 6, чтобы избавиться от дробей:

$ 6 \cdot \left( \frac{2x-3}{2} \right) - 6 \cdot \left( \frac{3x+5}{3} \right) - 6 \cdot \left( \frac{x}{6} \right) < 6 \cdot 3 - 6 \cdot \left( \frac{x+4}{2} \right) $

$ 3(2x-3) - 2(3x+5) - x < 18 - 3(x+4) $

Раскроем скобки:

$ 6x - 9 - 6x - 10 - x < 18 - 3x - 12 $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$ -x - 19 < 6 - 3x $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ -x + 3x < 6 + 19 $

$ 2x < 25 $

$ x < \frac{25}{2} $ или $ x < 12.5 $

Решение второго неравенства

$ 1 - \frac{2x-8}{3} + \frac{4-3x}{2} < 2x - \frac{x+2}{3} $

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3), равное 6:

$ 6 \cdot 1 - 6 \cdot \left( \frac{2x-8}{3} \right) + 6 \cdot \left( \frac{4-3x}{2} \right) < 6 \cdot (2x) - 6 \cdot \left( \frac{x+2}{3} \right) $

$ 6 - 2(2x-8) + 3(4-3x) < 12x - 2(x+2) $

Раскроем скобки:

$ 6 - 4x + 16 + 12 - 9x < 12x - 2x - 4 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 34 - 13x < 10x - 4 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$ 34 + 4 < 10x + 13x $

$ 38 < 23x $

$ x > \frac{38}{23} $

Решение системы неравенств

Мы получили два условия для $x$, которые должны выполняться одновременно:

$ \begin{cases} x > \frac{38}{23} \\ x < 12.5 \end{cases} $

Таким образом, решение системы — это интервал $ (\frac{38}{23}; 12.5) $.

Поскольку $ \frac{38}{23} = 1\frac{15}{23} \approx 1.65 $, интервал решений можно представить как $ (1\frac{15}{23}; 12.5) $.

Теперь, имея решение системы, найдем требуемые целые решения.

Наименьшее целое решение

Нам нужно найти наименьшее целое число, которое принадлежит интервалу $ (1\frac{15}{23}; 12.5) $. Первое целое число, которое больше $1\frac{15}{23}$, это 2.

Ответ: 2.

Наибольшее целое решение

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое принадлежит интервалу $ (1\frac{15}{23}; 12.5) $. Последнее целое число, которое меньше 12.5, это 12.

Ответ: 12.

958. Решить систему неравенств

$\begin{cases} \frac{x+1}{5} - \frac{x+2}{4} < \frac{x-3}{3} + \frac{x-4}{2}, \\ \frac{x-2}{3} > 1 + \frac{x-5}{15}. \end{cases}$

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство:

$$ \frac{x+1}{5} - \frac{x+2}{4} < \frac{x-3}{3} + \frac{x-4}{2} $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 5, 4, 3 и 2. НОК(5, 4, 3, 2) = 60.

$$ 60 \cdot \left(\frac{x+1}{5} - \frac{x+2}{4}\right) < 60 \cdot \left(\frac{x-3}{3} + \frac{x-4}{2}\right) $$

$$ \frac{60(x+1)}{5} - \frac{60(x+2)}{4} < \frac{60(x-3)}{3} + \frac{60(x-4)}{2} $$

$$ 12(x+1) - 15(x+2) < 20(x-3) + 30(x-4) $$

Раскроем скобки:

$$ 12x + 12 - 15x - 30 < 20x - 60 + 30x - 120 $$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$$ -3x - 18 < 50x - 180 $$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$$ 180 - 18 < 50x + 3x $$

$$ 162 < 53x $$

Разделим обе части на 53:

$$ x > \frac{162}{53} $$

2. Решим второе неравенство:

$$ \frac{x-2}{3} > 1 + \frac{x-5}{15} $$

Умножим обе части неравенства на НОК(3, 15), которое равно 15:

$$ 15 \cdot \frac{x-2}{3} > 15 \cdot \left(1 + \frac{x-5}{15}\right) $$

$$ 5(x-2) > 15 \cdot 1 + 15 \cdot \frac{x-5}{15} $$

$$ 5x - 10 > 15 + x - 5 $$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$$ 5x - 10 > x + 10 $$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$$ 5x - x > 10 + 10 $$

$$ 4x > 20 $$

Разделим обе части на 4:

$$ x > 5 $$

3. Найдем решение системы.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x > \frac{162}{53}$ и $x > 5$.

Для того чтобы найти пересечение, сравним числа $\frac{162}{53}$ и $5$.

Представим $5$ в виде дроби со знаменателем 53: $5 = \frac{5 \cdot 53}{53} = \frac{265}{53}$.

Так как $162 < 265$, то $\frac{162}{53} < \frac{265}{53}$, следовательно, $\frac{162}{53} < 5$.

Система неравенств равносильна системе:

$$\begin{cases}x > \frac{162}{53} \\x > 5\end{cases}$$

Общим решением для этой системы является более сильное неравенство, то есть $x > 5$.

Ответ: $x \in (5, +\infty)$.