Номер 953, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 953, страница 337.

Условие.

953. 1) $2\log_3^2(x+2y) = \log_{\frac{1}{3}}(x+2y)\log_{\frac{1}{3}}(x-y) + \log_3^2(x-y),$

$x^2+xy-2y^2=9;$

2) $2\log_2^2(x+y) + \log_{\frac{1}{2}}(x+y)\log_{\frac{1}{2}}(x-2y) = 2\log_2^2(x-2y),$

$x^2-xy-2y^2=4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2\log_3^2(x + 2y) = \log_{1/3}(x + 2y)\log_{1/3}(x - y) + \log_3^2(x - y) \\ x^2 + xy - 2y^2 = 9 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями положительности аргументов логарифмов:

$x + 2y > 0$

$x - y > 0$

Преобразуем первое уравнение системы, используя свойство логарифма $\log_{1/a} b = -\log_a b$.

$\log_{1/3}(x + 2y) = -\log_3(x + 2y)$

$\log_{1/3}(x - y) = -\log_3(x - y)$

Подставив эти выражения в первое уравнение, получим:

$2\log_3^2(x + 2y) = (-\log_3(x + 2y))(-\log_3(x - y)) + \log_3^2(x - y)$

Перенесем все члены в левую часть:

$2\log_3^2(x + 2y) - \log_3(x + 2y)\log_3(x - y) - \log_3^2(x - y) = 0$

Это однородное уравнение относительно $\log_3(x + 2y)$ и $\log_3(x - y)$. Сделаем замену: $a = \log_3(x + 2y)$ и $b = \log_3(x - y)$.

$2a^2 - ab - b^2 = 0$

Разложим левую часть на множители:

$2a^2 - 2ab + ab - b^2 = 0$

$2a(a - b) + b(a - b) = 0$

$(2a + b)(a - b) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $a - b = 0 \implies a = b$

2) $2a + b = 0 \implies b = -2a$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 + xy - 2y^2 = 9$.

Разложим его левую часть на множители:

$x^2 + 2xy - xy - 2y^2 = x(x + 2y) - y(x + 2y) = (x + 2y)(x - y) = 9$.

Теперь рассмотрим каждый из двух случаев, полученных из первого уравнения.

Случай 1: $a = b$

$\log_3(x + 2y) = \log_3(x - y)$

Так как логарифмическая функция монотонна, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:

$x + 2y = x - y \implies 3y = 0 \implies y = 0$

Подставим $y = 0$ во второе преобразованное уравнение $(x + 2y)(x - y) = 9$:

$(x + 0)(x - 0) = 9 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$ или $x = -3$.

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x + 2y > 0$ и $x - y > 0$. При $y=0$ условия сводятся к $x > 0$. Следовательно, нам подходит только $x = 3$.

Первое решение системы: $(3, 0)$.

Случай 2: $b = -2a$

$\log_3(x - y) = -2\log_3(x + 2y) \implies \log_3(x - y) = \log_3((x + 2y)^{-2})$

$x - y = \frac{1}{(x + 2y)^2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = \frac{1}{(x + 2y)^2} \\ (x + 2y)(x - y) = 9 \end{cases} $$

Подставим выражение для $(x-y)$ из первого уравнения во второе:

$(x + 2y) \cdot \frac{1}{(x + 2y)^2} = 9 \implies \frac{1}{x + 2y} = 9$

Отсюда $x + 2y = \frac{1}{9}$.

Теперь найдем $(x-y)$, подставив $(x+2y)=1/9$ во второе уравнение:

$\frac{1}{9} \cdot (x - y) = 9 \implies x - y = 81$

Решим полученную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y = 1/9 \\ x - y = 81 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого: $(x + 2y) - (x - y) = \frac{1}{9} - 81 \implies 3y = \frac{1 - 729}{9} = -\frac{728}{9}$.

$y = -\frac{728}{27}$

Найдем $x$ из уравнения $x = 81 + y$:

$x = 81 - \frac{728}{27} = \frac{81 \cdot 27 - 728}{27} = \frac{2187 - 728}{27} = \frac{1459}{27}$

Проверим ОДЗ для решения $(\frac{1459}{27}, -\frac{728}{27})$:

$x + 2y = 1/9 > 0$ (верно)

$x - y = 81 > 0$ (верно)

Второе решение системы: $(\frac{1459}{27}, -\frac{728}{27})$.

Ответ: $(3, 0), (\frac{1459}{27}, -\frac{728}{27})$.

---

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2\log_2^2(x + y) + \log_{1/2}(x + y)\log_{1/2}(x - 2y) = 2\log_2^2(x - 2y) \\ x^2 - xy - 2y^2 = 4 \end{cases} $$

ОДЗ: $x + y > 0$ и $x - 2y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя $\log_{1/2} z = -\log_2 z$:

$2\log_2^2(x + y) + (-\log_2(x + y))(-\log_2(x - 2y)) = 2\log_2^2(x - 2y)$

$2\log_2^2(x + y) + \log_2(x + y)\log_2(x - 2y) - 2\log_2^2(x - 2y) = 0$

Это однородное уравнение. Сделаем замену: $a = \log_2(x + y)$, $b = \log_2(x - 2y)$.

$2a^2 + ab - 2b^2 = 0$

Если $b=0$, то и $a=0$. Это соответствует $x+y=1$ и $x-2y=1$, откуда $x=1, y=0$. Подстановка во второе уравнение дает $(1+0)(1-0)=1$, что противоречит $x^2-xy-2y^2=4$. Значит $b \ne 0$. Разделим уравнение на $b^2$:

$2(\frac{a}{b})^2 + (\frac{a}{b}) - 2 = 0$

Пусть $t = a/b$. Решим квадратное уравнение $2t^2 + t - 2 = 0$ относительно $t$:

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Преобразуем второе уравнение: $x^2 - xy - 2y^2 = (x+y)(x-2y) = 4$.

Введем новые переменные $u = x + y$ и $v = x - 2y$. По ОДЗ $u > 0, v > 0$. Второе уравнение примет вид $uv = 4$.

Прологарифмируем обе части по основанию 2: $\log_2(uv) = \log_2 4 \implies \log_2 u + \log_2 v = 2$.

В наших заменах это $a+b=2$. Таким образом, мы решаем систему для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a/b = t \\ a + b = 2 \end{cases} $$

Из первого уравнения $a = bt$, подставляем во второе: $bt + b = 2 \implies b(t+1)=2 \implies b = \frac{2}{t+1}$. Тогда $a=2-b$.

Случай 1: $t = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$

$b = \frac{2}{\frac{-1+\sqrt{17}}{4} + 1} = \frac{2}{\frac{3+\sqrt{17}}{4}} = \frac{8}{3+\sqrt{17}} = \frac{8(3-\sqrt{17})}{9-17} = \frac{8(3-\sqrt{17})}{-8} = \sqrt{17}-3$.

$a = 2 - b = 2 - (\sqrt{17}-3) = 5-\sqrt{17}$.

Тогда $\log_2 u = a = 5-\sqrt{17}$ и $\log_2 v = b = \sqrt{17}-3$.

$u = 2^{5-\sqrt{17}}$, $v = 2^{\sqrt{17}-3}$.

Решим систему для $x$ и $y$: $ \begin{cases} x + y = u \\ x - 2y = v \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 2^{5-\sqrt{17}} \\ x - 2y = 2^{\sqrt{17}-3} \end{cases} $

Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $3y = u-v \implies y = \frac{1}{3}(2^{5-\sqrt{17}} - 2^{\sqrt{17}-3})$.

Умножив первое уравнение на 2 и сложив со вторым, получаем: $3x = 2u+v \implies x = \frac{1}{3}(2 \cdot 2^{5-\sqrt{17}} + 2^{\sqrt{17}-3}) = \frac{1}{3}(2^{6-\sqrt{17}} + 2^{\sqrt{17}-3})$.

Случай 2: $t = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$

$b = \frac{2}{\frac{-1-\sqrt{17}}{4} + 1} = \frac{2}{\frac{3-\sqrt{17}}{4}} = \frac{8}{3-\sqrt{17}} = \frac{8(3+\sqrt{17})}{9-17} = \frac{8(3+\sqrt{17})}{-8} = -(3+\sqrt{17})$.

$a = 2 - b = 2 - (-(3+\sqrt{17})) = 5+\sqrt{17}$.

Тогда $\log_2 u = a = 5+\sqrt{17}$ и $\log_2 v = b = -(3+\sqrt{17})$.

$u = 2^{5+\sqrt{17}}$, $v = 2^{-3-\sqrt{17}}$.

Решим систему для $x$ и $y$: $ \begin{cases} x + y = 2^{5+\sqrt{17}} \\ x - 2y = 2^{-3-\sqrt{17}} \end{cases} $

$y = \frac{1}{3}(u-v) = \frac{1}{3}(2^{5+\sqrt{17}} - 2^{-3-\sqrt{17}})$.

$x = \frac{1}{3}(2u+v) = \frac{1}{3}(2 \cdot 2^{5+\sqrt{17}} + 2^{-3-\sqrt{17}}) = \frac{1}{3}(2^{6+\sqrt{17}} + 2^{-3-\sqrt{17}})$.

Оба набора значений $u, v$ положительны, так как показательная функция всегда положительна, следовательно, ОДЗ выполняется для обоих решений.

Ответ: $(\frac{1}{3}(2^{6-\sqrt{17}} + 2^{\sqrt{17}-3}), \frac{1}{3}(2^{5-\sqrt{17}} - 2^{\sqrt{17}-3}))$, $(\frac{1}{3}(2^{6+\sqrt{17}} + 2^{-3-\sqrt{17}}), \frac{1}{3}(2^{5+\sqrt{17}} - 2^{-3-\sqrt{17}}))$.