Номер 953, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 953, страница 337.
№953 (с. 337)
Условие. №953 (с. 337)
скриншот условия

953. 1) $2\log_3^2(x+2y) = \log_{\frac{1}{3}}(x+2y)\log_{\frac{1}{3}}(x-y) + \log_3^2(x-y),$
$x^2+xy-2y^2=9;$
2) $2\log_2^2(x+y) + \log_{\frac{1}{2}}(x+y)\log_{\frac{1}{2}}(x-2y) = 2\log_2^2(x-2y),$
$x^2-xy-2y^2=4.$
Решение 1. №953 (с. 337)


Решение 2. №953 (с. 337)



Решение 3. №953 (с. 337)
1)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} 2\log_3^2(x + 2y) = \log_{1/3}(x + 2y)\log_{1/3}(x - y) + \log_3^2(x - y) \\ x^2 + xy - 2y^2 = 9 \end{cases} $$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями положительности аргументов логарифмов:
$x + 2y > 0$
$x - y > 0$
Преобразуем первое уравнение системы, используя свойство логарифма $\log_{1/a} b = -\log_a b$.
$\log_{1/3}(x + 2y) = -\log_3(x + 2y)$
$\log_{1/3}(x - y) = -\log_3(x - y)$
Подставив эти выражения в первое уравнение, получим:
$2\log_3^2(x + 2y) = (-\log_3(x + 2y))(-\log_3(x - y)) + \log_3^2(x - y)$
Перенесем все члены в левую часть:
$2\log_3^2(x + 2y) - \log_3(x + 2y)\log_3(x - y) - \log_3^2(x - y) = 0$
Это однородное уравнение относительно $\log_3(x + 2y)$ и $\log_3(x - y)$. Сделаем замену: $a = \log_3(x + 2y)$ и $b = \log_3(x - y)$.
$2a^2 - ab - b^2 = 0$
Разложим левую часть на множители:
$2a^2 - 2ab + ab - b^2 = 0$
$2a(a - b) + b(a - b) = 0$
$(2a + b)(a - b) = 0$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $a - b = 0 \implies a = b$
2) $2a + b = 0 \implies b = -2a$
Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 + xy - 2y^2 = 9$.
Разложим его левую часть на множители:
$x^2 + 2xy - xy - 2y^2 = x(x + 2y) - y(x + 2y) = (x + 2y)(x - y) = 9$.
Теперь рассмотрим каждый из двух случаев, полученных из первого уравнения.
Случай 1: $a = b$
$\log_3(x + 2y) = \log_3(x - y)$
Так как логарифмическая функция монотонна, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:
$x + 2y = x - y \implies 3y = 0 \implies y = 0$
Подставим $y = 0$ во второе преобразованное уравнение $(x + 2y)(x - y) = 9$:
$(x + 0)(x - 0) = 9 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$ или $x = -3$.
Проверим найденные значения по ОДЗ: $x + 2y > 0$ и $x - y > 0$. При $y=0$ условия сводятся к $x > 0$. Следовательно, нам подходит только $x = 3$.
Первое решение системы: $(3, 0)$.
Случай 2: $b = -2a$
$\log_3(x - y) = -2\log_3(x + 2y) \implies \log_3(x - y) = \log_3((x + 2y)^{-2})$
$x - y = \frac{1}{(x + 2y)^2}$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$$ \begin{cases} x - y = \frac{1}{(x + 2y)^2} \\ (x + 2y)(x - y) = 9 \end{cases} $$
Подставим выражение для $(x-y)$ из первого уравнения во второе:
$(x + 2y) \cdot \frac{1}{(x + 2y)^2} = 9 \implies \frac{1}{x + 2y} = 9$
Отсюда $x + 2y = \frac{1}{9}$.
Теперь найдем $(x-y)$, подставив $(x+2y)=1/9$ во второе уравнение:
$\frac{1}{9} \cdot (x - y) = 9 \implies x - y = 81$
Решим полученную систему линейных уравнений:
$$ \begin{cases} x + 2y = 1/9 \\ x - y = 81 \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого: $(x + 2y) - (x - y) = \frac{1}{9} - 81 \implies 3y = \frac{1 - 729}{9} = -\frac{728}{9}$.
$y = -\frac{728}{27}$
Найдем $x$ из уравнения $x = 81 + y$:
$x = 81 - \frac{728}{27} = \frac{81 \cdot 27 - 728}{27} = \frac{2187 - 728}{27} = \frac{1459}{27}$
Проверим ОДЗ для решения $(\frac{1459}{27}, -\frac{728}{27})$:
$x + 2y = 1/9 > 0$ (верно)
$x - y = 81 > 0$ (верно)
Второе решение системы: $(\frac{1459}{27}, -\frac{728}{27})$.
Ответ: $(3, 0), (\frac{1459}{27}, -\frac{728}{27})$.
2)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} 2\log_2^2(x + y) + \log_{1/2}(x + y)\log_{1/2}(x - 2y) = 2\log_2^2(x - 2y) \\ x^2 - xy - 2y^2 = 4 \end{cases} $$
ОДЗ: $x + y > 0$ и $x - 2y > 0$.
Преобразуем первое уравнение, используя $\log_{1/2} z = -\log_2 z$:
$2\log_2^2(x + y) + (-\log_2(x + y))(-\log_2(x - 2y)) = 2\log_2^2(x - 2y)$
$2\log_2^2(x + y) + \log_2(x + y)\log_2(x - 2y) - 2\log_2^2(x - 2y) = 0$
Это однородное уравнение. Сделаем замену: $a = \log_2(x + y)$, $b = \log_2(x - 2y)$.
$2a^2 + ab - 2b^2 = 0$
Если $b=0$, то и $a=0$. Это соответствует $x+y=1$ и $x-2y=1$, откуда $x=1, y=0$. Подстановка во второе уравнение дает $(1+0)(1-0)=1$, что противоречит $x^2-xy-2y^2=4$. Значит $b \ne 0$. Разделим уравнение на $b^2$:
$2(\frac{a}{b})^2 + (\frac{a}{b}) - 2 = 0$
Пусть $t = a/b$. Решим квадратное уравнение $2t^2 + t - 2 = 0$ относительно $t$:
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$
Преобразуем второе уравнение: $x^2 - xy - 2y^2 = (x+y)(x-2y) = 4$.
Введем новые переменные $u = x + y$ и $v = x - 2y$. По ОДЗ $u > 0, v > 0$. Второе уравнение примет вид $uv = 4$.
Прологарифмируем обе части по основанию 2: $\log_2(uv) = \log_2 4 \implies \log_2 u + \log_2 v = 2$.
В наших заменах это $a+b=2$. Таким образом, мы решаем систему для $a$ и $b$:
$$ \begin{cases} a/b = t \\ a + b = 2 \end{cases} $$
Из первого уравнения $a = bt$, подставляем во второе: $bt + b = 2 \implies b(t+1)=2 \implies b = \frac{2}{t+1}$. Тогда $a=2-b$.
Случай 1: $t = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$
$b = \frac{2}{\frac{-1+\sqrt{17}}{4} + 1} = \frac{2}{\frac{3+\sqrt{17}}{4}} = \frac{8}{3+\sqrt{17}} = \frac{8(3-\sqrt{17})}{9-17} = \frac{8(3-\sqrt{17})}{-8} = \sqrt{17}-3$.
$a = 2 - b = 2 - (\sqrt{17}-3) = 5-\sqrt{17}$.
Тогда $\log_2 u = a = 5-\sqrt{17}$ и $\log_2 v = b = \sqrt{17}-3$.
$u = 2^{5-\sqrt{17}}$, $v = 2^{\sqrt{17}-3}$.
Решим систему для $x$ и $y$: $ \begin{cases} x + y = u \\ x - 2y = v \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 2^{5-\sqrt{17}} \\ x - 2y = 2^{\sqrt{17}-3} \end{cases} $
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $3y = u-v \implies y = \frac{1}{3}(2^{5-\sqrt{17}} - 2^{\sqrt{17}-3})$.
Умножив первое уравнение на 2 и сложив со вторым, получаем: $3x = 2u+v \implies x = \frac{1}{3}(2 \cdot 2^{5-\sqrt{17}} + 2^{\sqrt{17}-3}) = \frac{1}{3}(2^{6-\sqrt{17}} + 2^{\sqrt{17}-3})$.
Случай 2: $t = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$
$b = \frac{2}{\frac{-1-\sqrt{17}}{4} + 1} = \frac{2}{\frac{3-\sqrt{17}}{4}} = \frac{8}{3-\sqrt{17}} = \frac{8(3+\sqrt{17})}{9-17} = \frac{8(3+\sqrt{17})}{-8} = -(3+\sqrt{17})$.
$a = 2 - b = 2 - (-(3+\sqrt{17})) = 5+\sqrt{17}$.
Тогда $\log_2 u = a = 5+\sqrt{17}$ и $\log_2 v = b = -(3+\sqrt{17})$.
$u = 2^{5+\sqrt{17}}$, $v = 2^{-3-\sqrt{17}}$.
Решим систему для $x$ и $y$: $ \begin{cases} x + y = 2^{5+\sqrt{17}} \\ x - 2y = 2^{-3-\sqrt{17}} \end{cases} $
$y = \frac{1}{3}(u-v) = \frac{1}{3}(2^{5+\sqrt{17}} - 2^{-3-\sqrt{17}})$.
$x = \frac{1}{3}(2u+v) = \frac{1}{3}(2 \cdot 2^{5+\sqrt{17}} + 2^{-3-\sqrt{17}}) = \frac{1}{3}(2^{6+\sqrt{17}} + 2^{-3-\sqrt{17}})$.
Оба набора значений $u, v$ положительны, так как показательная функция всегда положительна, следовательно, ОДЗ выполняется для обоих решений.
Ответ: $(\frac{1}{3}(2^{6-\sqrt{17}} + 2^{\sqrt{17}-3}), \frac{1}{3}(2^{5-\sqrt{17}} - 2^{\sqrt{17}-3}))$, $(\frac{1}{3}(2^{6+\sqrt{17}} + 2^{-3-\sqrt{17}}), \frac{1}{3}(2^{5+\sqrt{17}} - 2^{-3-\sqrt{17}}))$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 953 расположенного на странице 337 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №953 (с. 337), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.