Номер 949, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 949, страница 337.
№949 (с. 337)
Условие. №949 (с. 337)
скриншот условия

949. При каких значениях $a$ система уравнений
$\begin{cases} \log_3(y - 3) - 2\log_9 x = 0, \\ (x + a)^2 - 2y - 5a = 0 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение?
Решение 1. №949 (с. 337)

Решение 2. №949 (с. 337)


Решение 3. №949 (с. 337)
1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) и преобразование первого уравнения.
Исходная система уравнений:$$\begin{cases}\log_3(y - 3) - 2\log_9 x = 0, \\(x + a)^2 - 2y - 5a = 0\end{cases}$$Область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения определяется условиями существования логарифмов:
$y - 3 > 0 \implies y > 3$
$x > 0$
Преобразуем первое уравнение, используя формулу перехода к новому основанию логарифма: $\log_b c = \frac{\log_d c}{\log_d b}$.$$ \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2} $$Подставим это выражение в первое уравнение системы:$$ \log_3(y - 3) - 2 \cdot \frac{\log_3 x}{2} = 0 $$$$ \log_3(y - 3) - \log_3 x = 0 $$$$ \log_3(y - 3) = \log_3 x $$Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять ее аргументы:$$ y - 3 = x $$$$ y = x + 3 $$Проверим соответствие этого результата ОДЗ. Из $y > 3$ следует $x + 3 > 3$, что дает $x > 0$. Это полностью совпадает с условием ОДЗ для $x$. Таким образом, первое уравнение системы с учетом ОДЗ эквивалентно соотношению $y = x + 3$ при условии $x > 0$.
2. Подстановка и получение квадратного уравнения.
Подставим выражение $y = x + 3$ во второе уравнение системы:$$ (x + a)^2 - 2(x + 3) - 5a = 0 $$Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:$$ x^2 + 2ax + a^2 - 2x - 6 - 5a = 0 $$$$ x^2 + (2a - 2)x + (a^2 - 5a - 6) = 0 $$Задача свелась к нахождению таких значений параметра $a$, при которых это квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень ($x > 0$).
3. Анализ квадратного уравнения на наличие положительных корней.
Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 2(a - 1)x + (a^2 - 5a - 6) = 0$.
Для удобства разложим на множители свободный член: $a^2 - 5a - 6 = (a-6)(a+1)$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + 2(a - 1)x + (a - 6)(a + 1) = 0$.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:$$ D = (2(a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 5a - 6) = 4(a^2 - 2a + 1) - 4(a^2 - 5a - 6) $$$$ D = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 + 20a + 24 = 12a + 28 = 4(3a + 7) $$Уравнение имеет действительные корни при $D \ge 0$:$$ 4(3a + 7) \ge 0 \implies 3a + 7 \ge 0 \implies a \ge -\frac{7}{3} $$Система имеет хотя бы одно решение, если квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень. Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1: Оба корня положительны ($x_1 > 0, x_2 > 0$).
Это возможно, если выполняются условия (по теореме Виета):
– $D \ge 0 \implies a \ge -7/3$
– Произведение корней $x_1 x_2 = a^2 - 5a - 6 > 0 \implies (a-6)(a+1) > 0 \implies a \in (-\infty, -1) \cup (6, \infty)$
– Сумма корней $x_1 + x_2 = -2(a-1) > 0 \implies a-1 < 0 \implies a < 1$
Пересечение этих трех условий дает: $a \in [-7/3, -1)$.
Случай 2: Один корень положительный, а другой — неположительный ($x_1 > 0, x_2 \le 0$).
Это происходит, если произведение корней неположительно: $x_1 x_2 \le 0$.
Если $x_1 x_2 < 0$, то есть $a^2 - 5a - 6 < 0 \implies (a-6)(a+1) < 0 \implies -1 < a < 6$. В этом случае дискриминант $D = 12a + 28$ всегда положителен (так как для $a > -1$ имеем $12a+28 > 12(-1)+28 = 16 > 0$), значит, всегда есть два корня разного знака. Следовательно, интервал $a \in (-1, 6)$ подходит.
Если $x_1 x_2 = 0$, то один из корней равен нулю. Это происходит при $a^2 - 5a - 6 = 0$, то есть при $a = -1$ или $a = 6$.
– При $a = -1$ уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$, откуда $x(x-4)=0$. Корни $x_1=0, x_2=4$. Есть один положительный корень $x=4$, значит, $a=-1$ является решением.
– При $a = 6$ уравнение принимает вид $x^2 + 10x = 0$, откуда $x(x+10)=0$. Корни $x_1=0, x_2=-10$. Положительных корней нет, значит, $a=6$ не является решением.
4. Объединение результатов.
Соберем все найденные значения параметра $a$, при которых система имеет хотя бы одно решение:
– Из случая 1: $a \in [-7/3, -1)$.
– Из случая 2 (корни разных знаков): $a \in (-1, 6)$.
– Из случая 2 (один корень равен 0): $a = -1$.
Объединяя все эти множества, получаем итоговый промежуток:$$ [-7/3, -1) \cup \{-1\} \cup (-1, 6) = [-7/3, 6) $$
Ответ: $a \in [-7/3, 6)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 949 расположенного на странице 337 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №949 (с. 337), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.