Номер 949, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 949, страница 337.

Условие.

949. При каких значениях $a$ система уравнений

$\begin{cases} \log_3(y - 3) - 2\log_9 x = 0, \\ (x + a)^2 - 2y - 5a = 0 \end{cases}$

имеет хотя бы одно решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) и преобразование первого уравнения.

Исходная система уравнений:$$\begin{cases}\log_3(y - 3) - 2\log_9 x = 0, \\(x + a)^2 - 2y - 5a = 0\end{cases}$$Область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения определяется условиями существования логарифмов:
$y - 3 > 0 \implies y > 3$
$x > 0$

Преобразуем первое уравнение, используя формулу перехода к новому основанию логарифма: $\log_b c = \frac{\log_d c}{\log_d b}$.$$ \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2} $$Подставим это выражение в первое уравнение системы:$$ \log_3(y - 3) - 2 \cdot \frac{\log_3 x}{2} = 0 $$$$ \log_3(y - 3) - \log_3 x = 0 $$$$ \log_3(y - 3) = \log_3 x $$Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять ее аргументы:$$ y - 3 = x $$$$ y = x + 3 $$Проверим соответствие этого результата ОДЗ. Из $y > 3$ следует $x + 3 > 3$, что дает $x > 0$. Это полностью совпадает с условием ОДЗ для $x$. Таким образом, первое уравнение системы с учетом ОДЗ эквивалентно соотношению $y = x + 3$ при условии $x > 0$.

2. Подстановка и получение квадратного уравнения.

Подставим выражение $y = x + 3$ во второе уравнение системы:$$ (x + a)^2 - 2(x + 3) - 5a = 0 $$Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:$$ x^2 + 2ax + a^2 - 2x - 6 - 5a = 0 $$$$ x^2 + (2a - 2)x + (a^2 - 5a - 6) = 0 $$Задача свелась к нахождению таких значений параметра $a$, при которых это квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень ($x > 0$).

3. Анализ квадратного уравнения на наличие положительных корней.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 2(a - 1)x + (a^2 - 5a - 6) = 0$.
Для удобства разложим на множители свободный член: $a^2 - 5a - 6 = (a-6)(a+1)$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + 2(a - 1)x + (a - 6)(a + 1) = 0$.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:$$ D = (2(a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 5a - 6) = 4(a^2 - 2a + 1) - 4(a^2 - 5a - 6) $$$$ D = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 + 20a + 24 = 12a + 28 = 4(3a + 7) $$Уравнение имеет действительные корни при $D \ge 0$:$$ 4(3a + 7) \ge 0 \implies 3a + 7 \ge 0 \implies a \ge -\frac{7}{3} $$Система имеет хотя бы одно решение, если квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1: Оба корня положительны ($x_1 > 0, x_2 > 0$).
Это возможно, если выполняются условия (по теореме Виета):
– $D \ge 0 \implies a \ge -7/3$
– Произведение корней $x_1 x_2 = a^2 - 5a - 6 > 0 \implies (a-6)(a+1) > 0 \implies a \in (-\infty, -1) \cup (6, \infty)$
– Сумма корней $x_1 + x_2 = -2(a-1) > 0 \implies a-1 < 0 \implies a < 1$
Пересечение этих трех условий дает: $a \in [-7/3, -1)$.

Случай 2: Один корень положительный, а другой — неположительный ($x_1 > 0, x_2 \le 0$).
Это происходит, если произведение корней неположительно: $x_1 x_2 \le 0$.
Если $x_1 x_2 < 0$, то есть $a^2 - 5a - 6 < 0 \implies (a-6)(a+1) < 0 \implies -1 < a < 6$. В этом случае дискриминант $D = 12a + 28$ всегда положителен (так как для $a > -1$ имеем $12a+28 > 12(-1)+28 = 16 > 0$), значит, всегда есть два корня разного знака. Следовательно, интервал $a \in (-1, 6)$ подходит.
Если $x_1 x_2 = 0$, то один из корней равен нулю. Это происходит при $a^2 - 5a - 6 = 0$, то есть при $a = -1$ или $a = 6$.
– При $a = -1$ уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$, откуда $x(x-4)=0$. Корни $x_1=0, x_2=4$. Есть один положительный корень $x=4$, значит, $a=-1$ является решением.
– При $a = 6$ уравнение принимает вид $x^2 + 10x = 0$, откуда $x(x+10)=0$. Корни $x_1=0, x_2=-10$. Положительных корней нет, значит, $a=6$ не является решением.

4. Объединение результатов.

Соберем все найденные значения параметра $a$, при которых система имеет хотя бы одно решение:
– Из случая 1: $a \in [-7/3, -1)$.
– Из случая 2 (корни разных знаков): $a \in (-1, 6)$.
– Из случая 2 (один корень равен 0): $a = -1$.
Объединяя все эти множества, получаем итоговый промежуток:$$ [-7/3, -1) \cup \{-1\} \cup (-1, 6) = [-7/3, 6) $$

Ответ: $a \in [-7/3, 6)$.