Номер 942, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 942, страница 336.

Условие.

942. 1) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{3}{2}, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 3\frac{1}{3}, \\ x^2 - y^2 = 8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 = 13x + 4y, \\ y^2 = 4x + 13y; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 + y^2 - 4x = 40, \\ 2x^2 + y^2 + 3x = 52. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{3}{2} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.
Введем замену: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда первое уравнение примет вид:
$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$
Приведем к общему знаменателю и решим уравнение относительно $t$:
$\frac{t^2 - 1}{t} = \frac{3}{2}$
$2(t^2 - 1) = 3t$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = 2$
$t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(2y)^2 + y^2 = 20$
$4y^2 + y^2 = 20$
$5y^2 = 20 \implies y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2, y_2 = -2$.
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$. Получаем решение $(4, 2)$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$. Получаем решение $(-4, -2)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x^2 + (-2x)^2 = 20$
$x^2 + 4x^2 = 20$
$5x^2 = 20 \implies x^2 = 4$, откуда $x_3 = 2, x_4 = -2$.
Если $x_3 = 2$, то $y_3 = -2 \cdot 2 = -4$. Получаем решение $(2, -4)$.
Если $x_4 = -2$, то $y_4 = -2 \cdot (-2) = 4$. Получаем решение $(-2, 4)$.
Ответ: $(4, 2), (-4, -2), (2, -4), (-2, 4)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 3\frac{1}{3} \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases} $.
ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.
Преобразуем первое уравнение: $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{10}{3}$.
Введем замену: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда первое уравнение примет вид:
$\frac{1}{t} + t = \frac{10}{3}$
Приведем к общему знаменателю и решим уравнение относительно $t$:
$3 + 3t^2 = 10t$
$3t^2 - 10t + 3 = 0$
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{6} = \frac{10 + 8}{6} = 3$
$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{6} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = 3$, откуда $x = 3y$.
Подставим во второе уравнение системы:
$(3y)^2 - y^2 = 8$
$9y^2 - y^2 = 8 \implies 8y^2 = 8 \implies y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1, y_2 = -1$.
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Получаем решение $(3, 1)$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$. Получаем решение $(-3, -1)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$, откуда $y = 3x$.
Подставим во второе уравнение системы:
$x^2 - (3x)^2 = 8$
$x^2 - 9x^2 = 8 \implies -8x^2 = 8 \implies x^2 = -1$. В этом случае действительных решений нет.
Ответ: $(3, 1), (-3, -1)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 = 13x + 4y \\ y^2 = 4x + 13y \end{cases} $.
Вычтем из первого уравнения второе:
$x^2 - y^2 = (13x + 4y) - (4x + 13y)$
$x^2 - y^2 = 9x - 9y$
$(x - y)(x + y) = 9(x - y)$
$(x - y)(x + y) - 9(x - y) = 0$
$(x - y)(x + y - 9) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x - y = 0$, откуда $x = y$.
Подставим $x=y$ в первое уравнение системы:
$x^2 = 13x + 4x \implies x^2 = 17x \implies x^2 - 17x = 0 \implies x(x - 17) = 0$.
$x_1 = 0$ или $x_2 = 17$.
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.
Если $x_2 = 17$, то $y_2 = 17$. Получаем решение $(17, 17)$.
Случай 2: $x + y - 9 = 0$, откуда $y = 9 - x$.
Подставим $y = 9 - x$ в первое уравнение системы:
$x^2 = 13x + 4(9 - x)$
$x^2 = 13x + 36 - 4x$
$x^2 - 9x - 36 = 0$
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$.
$x_3 = \frac{9 + \sqrt{225}}{2} = \frac{9+15}{2} = 12$
$x_4 = \frac{9 - \sqrt{225}}{2} = \frac{9-15}{2} = -3$
Если $x_3 = 12$, то $y_3 = 9 - 12 = -3$. Получаем решение $(12, -3)$.
Если $x_4 = -3$, то $y_4 = 9 - (-3) = 12$. Получаем решение $(-3, 12)$.
Ответ: $(0, 0), (17, 17), (12, -3), (-3, 12)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x^2 + y^2 - 4x = 40 \\ 2x^2 + y^2 + 3x = 52 \end{cases} $.
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от $y^2$:
$(3x^2 + y^2 - 4x) - (2x^2 + y^2 + 3x) = 40 - 52$
$x^2 - 7x = -12$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3, x_2 = 4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ во второе уравнение $y^2 = 52 - 2x^2 - 3x$.
Случай 1: $x = 3$.
$y^2 = 52 - 2(3^2) - 3(3) = 52 - 18 - 9 = 25$
$y^2 = 25$, откуда $y_1 = 5, y_2 = -5$.
Получаем два решения: $(3, 5)$ и $(3, -5)$.
Случай 2: $x = 4$.
$y^2 = 52 - 2(4^2) - 3(4) = 52 - 32 - 12 = 8$
$y^2 = 8$, откуда $y_3 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}, y_4 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$.
Получаем еще два решения: $(4, 2\sqrt{2})$ и $(4, -2\sqrt{2})$.
Ответ: $(3, 5), (3, -5), (4, 2\sqrt{2}), (4, -2\sqrt{2})$.