Номер 941, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 941, страница 336.

Условие.

941. 1) $$\begin{cases} x^2 - y^2 = 13, \\ x - y = 1; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ 7x + 3y = 23. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим данную систему уравнений:$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 13 \\ x - y = 1 \end{cases} $$Воспользуемся методом подстановки. Из второго, более простого, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$x = y + 1$.
Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(y + 1)^2 - y^2 = 13$.
Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(y^2 + 2y + 1) - y^2 = 13$.
Упростим полученное уравнение, приведя подобные слагаемые:
$y^2 + 2y + 1 - y^2 = 13$
$2y + 1 = 13$.
Решим это простое линейное уравнение относительно $y$:
$2y = 13 - 1$
$2y = 12$
$y = \frac{12}{2} = 6$.
Найдем соответствующее значение $x$, подставив $y=6$ в выражение $x = y + 1$:
$x = 6 + 1 = 7$.
Таким образом, решением системы является пара чисел $(7, 6)$. Сделаем проверку, подставив значения в исходные уравнения:
$7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$ (верно).
$7 - 6 = 1$ (верно).
Ответ: $(7; 6)$

2) Решим систему уравнений:$$ \begin{cases} x^2 - 3y = -5 \\ 7x + 3y = 23 \end{cases} $$Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ в уравнениях являются противоположными числами ($-3$ и $3$).
Сложим левые и правые части уравнений почленно:
$(x^2 - 3y) + (7x + 3y) = -5 + 23$.
Упростим полученное уравнение:
$x^2 + 7x = 18$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 7x - 18 = 0$.
Решим это уравнение. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Мы получили два значения для $x$. Для каждого из них найдем соответствующее значение $y$. Для этого подставим найденные значения $x$ во второе уравнение $7x + 3y = 23$.
Выразим $y$: $3y = 23 - 7x \implies y = \frac{23 - 7x}{3}$.
1. Для $x_1 = -9$:
$y_1 = \frac{23 - 7(-9)}{3} = \frac{23 + 63}{3} = \frac{86}{3}$.
Первая пара решений: $(-9; \frac{86}{3})$.
2. Для $x_2 = 2$:
$y_2 = \frac{23 - 7(2)}{3} = \frac{23 - 14}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
Вторая пара решений: $(2; 3)$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-9; \frac{86}{3}), (2; 3)$