Номер 943, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 943, страница 336.

Условие.

943. 1) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^4}{y^2} + xy = 72, \\ \frac{y^4}{x^2} + xy = 9; \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^3}{2y} + 3xy = 25, \\ \frac{y^3}{x} - 2xy = 16. \end{array} \right.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x^4}{y^2} + xy = 72 \\ \frac{y^4}{x^2} + xy = 9 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Сделаем замену переменных. Пусть $u = \frac{x^2}{y}$ и $v = \frac{y^2}{x}$.
Тогда произведение $uv = \frac{x^2}{y} \cdot \frac{y^2}{x} = xy$.
Система уравнений в новых переменных примет вид:
$ \begin{cases} u^2 + uv = 72 \\ v^2 + uv = 9 \end{cases} $
Вынесем общие множители за скобки:
$ \begin{cases} u(u+v) = 72 \\ v(u+v) = 9 \end{cases} $
Поскольку правая часть второго уравнения не равна нулю ($9 \neq 0$), то $v \neq 0$ и $(u+v) \neq 0$. Мы можем разделить первое уравнение на второе:
$\frac{u(u+v)}{v(u+v)} = \frac{72}{9}$
$\frac{u}{v} = 8 \implies u = 8v$.
Подставим $u = 8v$ во второе уравнение $v(u+v) = 9$:
$v(8v+v) = 9 \implies v(9v) = 9 \implies 9v^2 = 9 \implies v^2 = 1$.
Отсюда получаем два возможных значения для $v$: $v = 1$ и $v = -1$.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $v = 1$.
Тогда $u = 8v = 8(1) = 8$. Возвращаемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} = 8 \\ \frac{y^2}{x} = 1 \end{cases} $
Из второго уравнения выражаем $x = y^2$. Подставляем в первое уравнение:
$\frac{(y^2)^2}{y} = 8 \implies \frac{y^4}{y} = 8 \implies y^3 = 8$.
Отсюда $y=2$. Тогда $x = y^2 = 2^2 = 4$.
Получили решение $(4, 2)$.
Случай 2: $v = -1$.
Тогда $u = 8v = 8(-1) = -8$. Возвращаемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} = -8 \\ \frac{y^2}{x} = -1 \end{cases} $
Из второго уравнения выражаем $x = -y^2$. Подставляем в первое уравнение:
$\frac{(-y^2)^2}{y} = -8 \implies \frac{y^4}{y} = -8 \implies y^3 = -8$.
Отсюда $y=-2$. Тогда $x = -y^2 = -(-2)^2 = -4$.
Получили решение $(-4, -2)$.
Проверка подтверждает, что обе пары являются решениями системы.
Ответ: $(4, 2), (-4, -2)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x^3}{2y} + 3xy = 25 \\ \frac{y^3}{x} - 2xy = 16 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Сделаем подстановку $y = tx$. Подставим это выражение в оба уравнения системы.
Первое уравнение:
$\frac{x^3}{2(tx)} + 3x(tx) = 25 \implies \frac{x^2}{2t} + 3tx^2 = 25 \implies x^2(\frac{1}{2t} + 3t) = 25$.
$x^2(\frac{1+6t^2}{2t}) = 25 \implies x^2 = \frac{50t}{1+6t^2}$.
Второе уравнение:
$\frac{(tx)^3}{x} - 2x(tx) = 16 \implies t^3x^2 - 2tx^2 = 16 \implies x^2(t^3-2t) = 16$.
$x^2 = \frac{16}{t^3-2t}$.
Приравняем выражения для $x^2$:
$\frac{50t}{1+6t^2} = \frac{16}{t^3-2t}$
$50t(t^3-2t) = 16(1+6t^2)$
$50t^4 - 100t^2 = 16 + 96t^2$
$50t^4 - 196t^2 - 16 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$25t^4 - 98t^2 - 8 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z=t^2$, где $z \ge 0$:
$25z^2 - 98z - 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-98)^2 - 4(25)(-8) = 9604 + 800 = 10404 = 102^2$.
$z = \frac{98 \pm 102}{2 \cdot 25} = \frac{98 \pm 102}{50}$.
$z_1 = \frac{98+102}{50} = \frac{200}{50} = 4$.
$z_2 = \frac{98-102}{50} = -\frac{4}{50}$. Этот корень не подходит, так как $z \ge 0$.
Итак, $t^2 = 4$, откуда $t = 2$ или $t = -2$.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $t = 2$.
Это означает $y/x = 2$, то есть $y=2x$. Подставим $t=2$ в выражение $x^2(t^3-2t)=16$:
$x^2(2^3 - 2 \cdot 2) = 16 \implies x^2(8-4)=16 \implies 4x^2=16 \implies x^2=4$.
Отсюда $x=2$ или $x=-2$.
Если $x=2$, то $y=2x=2(2)=4$. Получаем решение $(2, 4)$.
Если $x=-2$, то $y=2x=2(-2)=-4$. Получаем решение $(-2, -4)$.
Случай 2: $t = -2$.
Это означает $y/x = -2$, то есть $y=-2x$. Подставим $t=-2$ в выражение $x^2(t^3-2t)=16$:
$x^2((-2)^3 - 2(-2)) = 16 \implies x^2(-8+4)=16 \implies -4x^2=16 \implies x^2=-4$.
Это уравнение не имеет действительных решений.
Проверка подтверждает, что найденные пары чисел являются решениями.
Ответ: $(2, 4), (-2, -4)$.