Номер 945, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 945, страница 336.

Условие.

Решить систему уравнений (945–948).

945. 1) $\begin{cases} 2^{x+y} = 32, \\ 3^{3y-x} = 27; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x - 2 \cdot 2^y = 77, \\ \frac{x}{3^2} - 2y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \lg x + \lg y = 4, \\ x^{\lg y} = 1000. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)Дана система уравнений:
$\begin{cases}2^{x+y} = 32 \\3^{3y-x} = 27\end{cases}$
Представим правые части уравнений в виде степеней с основаниями 2 и 3 соответственно:
$32 = 2^5$
$27 = 3^3$
Тогда система примет вид:
$\begin{cases}2^{x+y} = 2^5 \\3^{3y-x} = 3^3\end{cases}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\begin{cases}x+y = 5 \\3y-x = 3\end{cases}$
Получилась система линейных уравнений. Сложим первое уравнение со вторым:
$(x+y) + (3y-x) = 5+3$
$4y = 8$
$y = 2$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы:
$x+2 = 5$
$x = 3$
Проверим решение: $2^{3+2} = 2^5 = 32$; $3^{3 \cdot 2 - 3} = 3^{6-3} = 3^3 = 27$. Решение верное.
Ответ: (3, 2).

2)Дана система уравнений:
$\begin{cases}3^x - 2 \cdot 2^y = 77 \\3^{\frac{x}{2}} - 2y = 7\end{cases}$
Во втором уравнении, скорее всего, опечатка, и оно должно иметь вид $3^{\frac{x}{2}} - 2^y = 7$, так как смешение показательных и линейных функций в таких задачах нетипично. Будем решать исправленную систему:
$\begin{cases}3^x - 2 \cdot 2^y = 77 \\3^{\frac{x}{2}} - 2^y = 7\end{cases}$
Введем замену переменных. Пусть $u = 3^{\frac{x}{2}}$ и $v = 2^y$. Заметим, что $u > 0$ и $v > 0$.
Тогда $3^x = (3^{\frac{x}{2}})^2 = u^2$. Система примет вид:
$\begin{cases}u^2 - 2v = 77 \\u - v = 7\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $v$: $v = u - 7$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$u^2 - 2(u-7) = 77$
$u^2 - 2u + 14 = 77$
$u^2 - 2u - 63 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $u_1 = 9$ и $u_2 = -7$.
Так как $u=3^{\frac{x}{2}}$, значение $u$ должно быть положительным, поэтому корень $u = -7$ не подходит.
Остается $u = 9$.
Вернемся к исходным переменным:
$3^{\frac{x}{2}} = 9 = 3^2$
$\frac{x}{2} = 2$
$x = 4$
Теперь найдем $v$:
$v = u - 7 = 9 - 7 = 2$
$2^y = 2 = 2^1$
$y = 1$
Проверим решение (4, 1) в исправленной системе: $3^4 - 2 \cdot 2^1 = 81 - 4 = 77$; $3^{4/2} - 2^1 = 3^2 - 2 = 9-2 = 7$. Решение верное.
Ответ: (4, 1).

3)Дана система уравнений:
$\begin{cases}3^x \cdot 2^y = 576 \\\log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4\end{cases}$
Сначала решим второе, логарифмическое, уравнение. Область допустимых значений: $y-x > 0$.
По определению логарифма:
$y - x = (\sqrt{2})^4$
$y - x = (2^{\frac{1}{2}})^4 = 2^{\frac{4}{2}} = 2^2 = 4$
$y = x + 4$
Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$3^x \cdot 2^{x+4} = 576$
$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576$
$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576$
$6^x \cdot 16 = 576$
$6^x = \frac{576}{16}$
$6^x = 36$
$6^x = 6^2$
$x = 2$
Найдем $y$:
$y = x + 4 = 2 + 4 = 6$
Проверим ОДЗ: $y-x = 6-2=4 > 0$.
Ответ: (2, 6).

4)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\lg x + \lg y = 4 \\x^{\lg y} = 1000\end{cases}$
Область допустимых значений: $x>0$, $y>0$.
Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\lg(xy) = 4$
По определению десятичного логарифма:
$xy = 10^4 = 10000$
Теперь прологарифмируем обе части второго уравнения по основанию 10:
$\lg(x^{\lg y}) = \lg(1000)$
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \log_a b$, получим:
$\lg y \cdot \lg x = 3$
Введем замену переменных: пусть $a = \lg x$ и $b = \lg y$. Система примет вид:
$\begin{cases}a + b = 4 \\a \cdot b = 3\end{cases}$
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Найдем корни: $(t-1)(t-3) = 0$, откуда $t_1=1$, $t_2=3$.
Это дает нам два случая:
Случай 1: $a = 1, b = 3$.
$\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$
$\lg y = 3 \implies y = 10^3 = 1000$
Получаем решение (10, 1000).
Случай 2: $a = 3, b = 1$.
$\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$
$\lg y = 1 \implies y = 10^1 = 10$
Получаем решение (1000, 10).
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (10, 1000), (1000, 10).