Номер 940, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 940, страница 336.

Условие.

Найти действительные решения системы уравнений (940–944).

940. 1) $\begin{cases} y + 5 = x^2, \\ x^2 + y^2 = 25; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy = 16, \\ \frac{x}{y} = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96, \\ x = 2y. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y + 5 = x^2 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$ Это система нелинейных уравнений. Для ее решения воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения уже выражено $x^2$: $$ x^2 = y + 5 $$ Подставим это выражение для $x^2$ во второе уравнение системы: $$ (y + 5) + y^2 = 25 $$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $y$: $$ y^2 + y + 5 - 25 = 0 $$ $$ y^2 + y - 20 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней равно -20, а их сумма равна -1. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и -5. Либо можно использовать формулу для корней квадратного уравнения: $$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 $$ $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2} $$ Отсюда получаем два корня: $$ y_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ y_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$ Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x^2 = y + 5$.
1. При $y = 4$: $$ x^2 = 4 + 5 = 9 $$ Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Таким образом, мы получаем две пары решений: $(3, 4)$ и $(-3, 4)$.
2. При $y = -5$: $$ x^2 = -5 + 5 = 0 $$ Это уравнение имеет один корень: $x_3 = 0$. Мы получаем еще одну пару решений: $(0, -5)$.
В результате мы нашли три действительных решения системы.

Ответ: $(3, 4)$, $(-3, 4)$, $(0, -5)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy = 16 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases} $$ Из второго уравнения следует, что $y \neq 0$. Выразим $x$ из второго уравнения: $$ x = 4y $$ Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ (4y) \cdot y = 16 $$ $$ 4y^2 = 16 $$ Разделим обе части уравнения на 4: $$ y^2 = 4 $$ Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$ по формуле $x = 4y$.
1. При $y = 2$: $$ x = 4 \cdot 2 = 8 $$ Получаем пару решений: $(8, 2)$.
2. При $y = -2$: $$ x = 4 \cdot (-2) = -8 $$ Получаем вторую пару решений: $(-8, -2)$.
Оба решения являются действительными.

Ответ: $(8, 2)$, $(-8, -2)$.

3)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96 \\ x = 2y \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Второе уравнение уже выражает $x$ через $y$. Подставим $x = 2y$ в первое уравнение: $$ (2y)^2 + 2y^2 = 96 $$ Возведем в квадрат и упростим полученное уравнение: $$ 4y^2 + 2y^2 = 96 $$ $$ 6y^2 = 96 $$ Разделим обе части на 6: $$ y^2 = \frac{96}{6} $$ $$ y^2 = 16 $$ Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя соотношение $x = 2y$.
1. При $y = 4$: $$ x = 2 \cdot 4 = 8 $$ Получаем пару решений: $(8, 4)$.
2. При $y = -4$: $$ x = 2 \cdot (-4) = -8 $$ Получаем вторую пару решений: $(-8, -4)$.
Оба решения являются действительными.

Ответ: $(8, 4)$, $(-8, -4)$.