Номер 935, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 935, страница 335.

Условие.

Доказать неравенство (935—937).

935. 1) $ab \le \frac{a^2 + b^2}{2}$;

2) $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3$, если $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Докажем неравенство $ab \le \frac{a^2+b^2}{2}$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы сравнить выражение с нулем. Для этого умножим обе части неравенства на 2:

$2ab \le a^2+b^2$

Теперь перенесем $2ab$ в правую часть:

$0 \le a^2 - 2ab + b^2$

Правая часть этого неравенства является полным квадратом разности двух чисел $a$ и $b$:

$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$0 \le (a-b)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, неравенство $(a-b)^2 \ge 0$ верно для любых значений $a$ и $b$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается при $a=b$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $\frac{a^3+b^3}{2} > (\frac{a+b}{2})^3$ при условиях $a>0, b>0, a \ne b$.

Преобразуем правую часть неравенства:

$(\frac{a+b}{2})^3 = \frac{(a+b)^3}{2^3} = \frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$\frac{a^3+b^3}{2} > \frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}$

Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателей:

$4(a^3+b^3) > a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$4a^3+4b^3 > a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$(4a^3-a^3) + (4b^3-b^3) - 3a^2b - 3ab^2 > 0$

$3a^3 + 3b^3 - 3a^2b - 3ab^2 > 0$

Разделим обе части на 3:

$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 > 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3) > 0$

$a^2(a - b) - b^2(a - b) > 0$

Вынесем общий множитель $(a-b)$:

$(a-b)(a^2-b^2) > 0$

Разложим $(a^2-b^2)$ по формуле разности квадратов:

$(a-b)(a-b)(a+b) > 0$

$(a-b)^2(a+b) > 0$

Проанализируем полученное выражение с учетом заданных условий:

1. По условию $a \ne b$, следовательно, $a-b \ne 0$. Квадрат любого ненулевого числа всегда строго положителен, поэтому $(a-b)^2 > 0$.
2. По условию $a>0$ и $b>0$, следовательно, их сумма $a+b$ также будет строго положительной, то есть $a+b > 0$.

Произведение двух строго положительных чисел ($(a-b)^2$ и $(a+b)$) всегда является строго положительным числом. Таким образом, неравенство $(a-b)^2(a+b) > 0$ верно при заданных условиях. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.