Номер 935, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 935, страница 335.
№935 (с. 335)
Условие. №935 (с. 335)
скриншот условия

Доказать неравенство (935—937).
935. 1) $ab \le \frac{a^2 + b^2}{2}$;
2) $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3$, если $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$.
Решение 1. №935 (с. 335)


Решение 2. №935 (с. 335)

Решение 3. №935 (с. 335)
1) Докажем неравенство $ab \le \frac{a^2+b^2}{2}$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы сравнить выражение с нулем. Для этого умножим обе части неравенства на 2:
$2ab \le a^2+b^2$
Теперь перенесем $2ab$ в правую часть:
$0 \le a^2 - 2ab + b^2$
Правая часть этого неравенства является полным квадратом разности двух чисел $a$ и $b$:
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$0 \le (a-b)^2$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, неравенство $(a-b)^2 \ge 0$ верно для любых значений $a$ и $b$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается при $a=b$.
Ответ: Неравенство доказано.
2) Докажем неравенство $\frac{a^3+b^3}{2} > (\frac{a+b}{2})^3$ при условиях $a>0, b>0, a \ne b$.
Преобразуем правую часть неравенства:
$(\frac{a+b}{2})^3 = \frac{(a+b)^3}{2^3} = \frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}$
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$\frac{a^3+b^3}{2} > \frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}$
Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателей:
$4(a^3+b^3) > a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$4a^3+4b^3 > a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$(4a^3-a^3) + (4b^3-b^3) - 3a^2b - 3ab^2 > 0$
$3a^3 + 3b^3 - 3a^2b - 3ab^2 > 0$
Разделим обе части на 3:
$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 > 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3) > 0$
$a^2(a - b) - b^2(a - b) > 0$
Вынесем общий множитель $(a-b)$:
$(a-b)(a^2-b^2) > 0$
Разложим $(a^2-b^2)$ по формуле разности квадратов:
$(a-b)(a-b)(a+b) > 0$
$(a-b)^2(a+b) > 0$
Проанализируем полученное выражение с учетом заданных условий:
- По условию $a \ne b$, следовательно, $a-b \ne 0$. Квадрат любого ненулевого числа всегда строго положителен, поэтому $(a-b)^2 > 0$.
- По условию $a>0$ и $b>0$, следовательно, их сумма $a+b$ также будет строго положительной, то есть $a+b > 0$.
Произведение двух строго положительных чисел ($(a-b)^2$ и $(a+b)$) всегда является строго положительным числом. Таким образом, неравенство $(a-b)^2(a+b) > 0$ верно при заданных условиях. Следовательно, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 935 расположенного на странице 335 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №935 (с. 335), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.