Номер 931, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 931, страница 335.

Условие.

931. Решить графически неравенство:

1) $ \sin x < \frac{1}{4} $;

2) $ \sin x > -\frac{1}{4} $;

3) $ \operatorname{tg} x - 3 \le 0 $;

4) $ \cos x > \frac{1}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для того чтобы решить неравенство $ \sin x < \frac{1}{4} $ графическим методом, необходимо построить в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = \frac{1}{4} $. График функции $ y = \sin x $ — это синусоида, а график $ y = \frac{1}{4} $ — это прямая, параллельная оси абсцисс. Решениями неравенства являются те значения $ x $, для которых точки графика функции $ y = \sin x $ лежат ниже прямой $ y = \frac{1}{4} $. Сначала найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $ \sin x = \frac{1}{4} $. Корни этого уравнения имеют вид $ x = \arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k $ и $ x = \pi - \arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Анализируя график, видим, что синусоида находится ниже прямой на интервалах, заключенных между точками вида $ \pi - \arcsin\frac{1}{4} $ и $ 2\pi + \arcsin\frac{1}{4} $. Учитывая периодичность, общее решение можно записать в виде множества интервалов.

Ответ: $x \in (-\pi - \arcsin\frac{1}{4} + 2\pi k, \arcsin\frac{1}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) Для решения неравенства $ \sin x > -\frac{1}{4} $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ (синусоида) и $ y = -\frac{1}{4} $ (горизонтальная прямая). Нас интересуют те значения $ x $, для которых синусоида лежит выше прямой. Найдем точки пересечения, решив уравнение $ \sin x = -\frac{1}{4} $. Его корни: $ x = \arcsin(-\frac{1}{4}) + 2\pi k = -\arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k $ и $ x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{4}) + 2\pi k = \pi + \arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Из графика видно, что синусоида находится выше прямой на интервалах между точками пересечения вида $ -\arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k $ и $ \pi + \arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k $.

Ответ: $x \in (-\arcsin\frac{1}{4} + 2\pi k, \pi + \arcsin\frac{1}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

3) Неравенство $ \text{tg } x - 3 \le 0 $ равносильно неравенству $ \text{tg } x \le 3 $. Решим его графически, построив в одной системе координат графики $ y = \text{tg } x $ и $ y = 3 $. График $ y=\text{tg } x $ (тангенсоида) имеет вертикальные асимптоты в точках $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Нас интересуют значения $ x $, для которых график тангенса лежит не выше горизонтальной прямой $ y=3 $. Точки пересечения находятся из уравнения $ \text{tg } x = 3 $, откуда $ x = \text{arctg}(3) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Рассмотрим одну ветвь тангенса, например, на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция возрастает. Неравенство $ \text{tg } x \le 3 $ выполняется от левой асимптоты до точки пересечения включительно. Таким образом, решение на одном периоде: $ (-\frac{\pi}{2}, \text{arctg}(3)] $. Обобщая на все периоды, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \text{arctg}(3) + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4) Для решения неравенства $ \cos x > \frac{1}{3} $ графическим методом построим графики функций $ y = \cos x $ (косинусоида) и $ y = \frac{1}{3} $ (горизонтальная прямая). Нас интересуют значения $ x $, для которых график косинуса находится выше прямой. Точки пересечения графиков найдем из уравнения $ \cos x = \frac{1}{3} $. Его решения: $ x = \pm\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Рассмотрим один период, например, на отрезке $ [-\pi, \pi] $. Точки пересечения на этом отрезке — это $ -\arccos(\frac{1}{3}) $ и $ \arccos(\frac{1}{3}) $. Поскольку $ \cos(0) = 1 > \frac{1}{3} $, косинусоида находится выше прямой на интервале между этими точками. Обобщая результат с учетом периодичности, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (-\arccos\frac{1}{3} + 2\pi k, \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.