Номер 927, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 927, страница 335.

Условие.

Решить неравенство (927-930).

927.

1) $\sqrt{9x-20} < x;$

2) $\sqrt{x+7} > x+1;$

3) $\sqrt{\frac{x+4}{2-x}} > x;$

4) $\sqrt{\frac{1+5x}{1+2x}} \le 1-x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $\sqrt{9x - 20} < x$.
Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$, которое равносильно следующей системе неравенств: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $$ Применительно к нашему случаю, система выглядит так: $$ \begin{cases} 9x - 20 \ge 0 \\ x > 0 \\ 9x - 20 < x^2 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1. $9x - 20 \ge 0 \implies 9x \ge 20 \implies x \ge \frac{20}{9}$.
2. $x > 0$.
3. $9x - 20 < x^2 \implies x^2 - 9x + 20 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение 20. Корни равны $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y = x^2 - 9x + 20$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 9x + 20 > 0$ выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями, то есть $x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty)$.
Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех неравенств: $$ \begin{cases} x \ge \frac{20}{9} \\ x > 0 \\ x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty) \end{cases} $$ Условие $x > 0$ является избыточным, так как из $x \ge \frac{20}{9}$ следует, что $x$ положителен ($\frac{20}{9} \approx 2.22$).
Таким образом, ищем пересечение множеств $[\frac{20}{9}, +\infty)$ и $(-\infty, 4) \cup (5, +\infty)$.
На числовой оси это будет объединение интервалов $[\frac{20}{9}, 4)$ и $(5, +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{20}{9}, 4) \cup (5, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x + 7} > x + 1$.
Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$, решение которого распадается на два случая.
Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна. $$ \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 1 < 0 \\ x + 7 \ge 0 \end{cases} $$ Решаем систему: $$ \begin{cases} x < -1 \\ x \ge -7 \end{cases} \implies x \in [-7, -1) $$ В этом случае неравенство выполняется, так как неотрицательное число (значение корня) всегда больше отрицательного.
Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна. $$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x + 7 > (x + 1)^2 \end{cases} $$ Решаем систему: $$ \begin{cases} x \ge -1 \\ x + 7 > x^2 + 2x + 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x^2 + x - 6 < 0 \end{cases} $$ Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется между корнями, то есть $-3 < x < 2$. Теперь найдем пересечение решений системы: $$ \begin{cases} x \ge -1 \\ -3 < x < 2 \end{cases} \implies x \in [-1, 2) $$ Общее решение исходного неравенства является объединением решений обоих случаев.
Объединяем множества $[-7, -1)$ и $[-1, 2)$: $[-7, -1) \cup [-1, 2) = [-7, 2)$.
Ответ: $x \in [-7, 2)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{\frac{x+4}{2-x}} > x$.
Данное неравенство также имеет вид $\sqrt{f(x)} > g(x)$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$\frac{x+4}{2-x} \ge 0$. Решая методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in [-4, 2)$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x < 0$.
В этом случае правая часть неравенства отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$ из ОДЗ, которые удовлетворяют условию $x < 0$.
Пересечение $x \in [-4, 2)$ и $x < 0$ дает $x \in [-4, 0)$.
Случай 2: $x \ge 0$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат. Решение ищем на пересечении ОДЗ и условия $x \ge 0$, то есть для $x \in [0, 2)$.
$\frac{x+4}{2-x} > x^2$.
Так как на интервале $[0, 2)$ знаменатель $2-x$ положителен, можно умножить обе части на него, не меняя знака неравенства:
$x+4 > x^2(2-x)$
$x+4 > 2x^2 - x^3$
$x^3 - 2x^2 + x + 4 > 0$
Найдем корень многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 + x + 4$ подбором. $P(-1) = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$. Значит, $x=-1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x+1)$: $(x^3 - 2x^2 + x + 4) : (x+1) = x^2 - 3x + 4$.
Неравенство принимает вид $(x+1)(x^2 - 3x + 4) > 0$.
Квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 4$ имеет отрицательный дискриминант ($D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$) и положительный старший коэффициент, поэтому он положителен при всех значениях $x$.
Следовательно, неравенство $(x+1)(x^2 - 3x + 4) > 0$ равносильно $x+1 > 0$, то есть $x > -1$.
Ищем пересечение решения $x > -1$ с условием данного случая $x \in [0, 2)$. Получаем $x \in [0, 2)$.
Общее решение является объединением решений двух случаев: $[-4, 0) \cup [0, 2) = [-4, 2)$.
Ответ: $x \in [-4, 2)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{\frac{1+5x}{1+2x}} \le 1-x$.
Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$, которое равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1+5x}{1+2x} \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \\ \frac{1+5x}{1+2x} \le (1-x)^2 \end{cases} $$ 1. ОДЗ: $\frac{1+5x}{1+2x} \ge 0$. Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -1/2) \cup [-1/5, +\infty)$.
2. $1-x \ge 0 \implies x \le 1$.
Пересечение условий 1 и 2 дает: $x \in (-\infty, -1/2) \cup [-1/5, 1]$.
3. $\frac{1+5x}{1+2x} \le (1-x)^2 \implies \frac{1+5x}{1+2x} - (1-2x+x^2) \le 0$.
Приводим к общему знаменателю:
$\frac{1+5x - (1+2x)(1-2x+x^2)}{1+2x} \le 0$
$\frac{1+5x - (1 - 2x + x^2 + 2x - 4x^2 + 2x^3)}{1+2x} \le 0$
$\frac{1+5x - (2x^3 - 3x^2 + 1)}{1+2x} \le 0$
$\frac{-2x^3 + 3x^2 + 5x}{1+2x} \le 0$
Вынесем $-x$ в числителе: $\frac{-x(2x^2 - 3x - 5)}{1+2x} \le 0$.
Найдем корни $2x^2 - 3x - 5 = 0$: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-5)}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4}$. Корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 5/2$.
Неравенство принимает вид $\frac{-x(x+1)(2x-5)}{2x+1} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x(x+1)(2x-5)}{2x+1} \ge 0$.
Решаем методом интервалов с точками $-1, -1/2, 0, 5/2$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1] \cup (-1/2, 0] \cup [5/2, +\infty)$.
Теперь найдем пересечение этого решения с множеством, полученным из условий 1 и 2: $x \in (-\infty, -1/2) \cup [-1/5, 1]$.
- Пересечение $(-\infty, -1] \cup (-1/2, 0] \cup [5/2, +\infty)$ с $(-\infty, -1/2)$ дает $(-\infty, -1]$. - Пересечение $(-\infty, -1] \cup (-1/2, 0] \cup [5/2, +\infty)$ с $[-1/5, 1]$ дает $[-1/5, 0]$.
Объединяя полученные множества, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [-1/5, 0]$.