Номер 923, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 923, страница 334.

Условие.

923. 1) $ \left|\sqrt{32^x + 4} - \sqrt{32^x - 7}\right| < 1; $

2) $ 3^x \left(\sqrt{9^{1-x} - 1} + 1\right) < 3\left|3^x - 1\right| $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $\sqrt{32^x + 4 - \sqrt{32^x - 7}} < 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным:$32^x - 7 \ge 0 \implies 32^x \ge 7 \implies 5x \ge \log_2 7 \implies x \ge \frac{1}{5}\log_2 7$.Выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным, но так как левая часть неравенства является квадратным корнем, она по определению неотрицательна. Условие $\text{LHS} < 1$ уже подразумевает, что подкоренное выражение определено и положительно.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{32^x - 7}$. Из ОДЗ следует, что $y \ge 0$.Тогда $y^2 = 32^x - 7$, откуда $32^x = y^2 + 7$.Подставим это в исходное неравенство:$\sqrt{(y^2 + 7) + 4 - y} < 1$$\sqrt{y^2 - y + 11} < 1$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:$y^2 - y + 11 < 1^2$$y^2 - y + 10 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $f(y) = y^2 - y + 10$. Найдем ее дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 1 - 40 = -39$.Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), парабола $f(y)$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $y^2 - y + 10 > 0$ для любого действительного значения $y$.Следовательно, неравенство $y^2 - y + 10 < 0$ не имеет решений.

Поскольку для переменной $y$ нет решений, то и для исходной переменной $x$ решений нет.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

2) Решим неравенство $3^x (\sqrt{9^{1-x} - 1} + 1) < 3|3^x - 1|$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$9^{1-x} - 1 \ge 0 \implies 9^{1-x} \ge 9^0 \implies 1-x \ge 0 \implies x \le 1$.

Преобразуем выражение в левой части неравенства:$\sqrt{9^{1-x} - 1} = \sqrt{\frac{9}{9^x} - 1} = \sqrt{\frac{9 - (3^x)^2}{(3^x)^2}} = \frac{\sqrt{9 - (3^x)^2}}{3^x}$, так как $3^x > 0$.Подставим это в исходное неравенство:$3^x \left(\frac{\sqrt{9 - (3^x)^2}}{3^x} + 1\right) < 3|3^x - 1|$$\sqrt{9 - (3^x)^2} + 3^x < 3|3^x - 1|$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Учитывая ОДЗ ($x \le 1$), получаем ограничение на $t$: $0 < t \le 3^1$, то есть $0 < t \le 3$.Неравенство принимает вид:$\sqrt{9 - t^2} + t < 3|t - 1|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $t - 1 \ge 0$, то есть $t \ge 1$. С учетом области определения $t$, получаем $1 \le t \le 3$.Неравенство принимает вид $\sqrt{9 - t^2} + t < 3(t - 1)$, или $\sqrt{9 - t^2} < 2t - 3$.Левая часть неотрицательна, поэтому правая часть должна быть строго положительной: $2t - 3 > 0 \implies t > 1.5$.Таким образом, рассматриваем интервал $1.5 < t \le 3$. На этом интервале обе части неравенства положительны, можно возвести в квадрат:$9 - t^2 < (2t - 3)^2$$9 - t^2 < 4t^2 - 12t + 9$$0 < 5t^2 - 12t$$t(5t - 12) > 0$.Поскольку на рассматриваемом интервале $t > 0$, то должно выполняться $5t - 12 > 0 \implies t > 2.4$.Пересекая полученное решение $t > 2.4$ с условием $1.5 < t \le 3$, получаем $2.4 < t \le 3$.

Случай 2: $t - 1 < 0$, то есть $t < 1$. С учетом области определения $t$, получаем $0 < t < 1$.Неравенство принимает вид $\sqrt{9 - t^2} + t < -3(t - 1)$, или $\sqrt{9 - t^2} < 3 - 4t$.Правая часть должна быть положительной: $3 - 4t > 0 \implies t < 0.75$.Таким образом, рассматриваем интервал $0 < t < 0.75$. На этом интервале обе части положительны, возводим в квадрат:$9 - t^2 < (3 - 4t)^2$$9 - t^2 < 9 - 24t + 16t^2$$0 < 17t^2 - 24t$$t(17t - 24) > 0$.Поскольку $t > 0$, то $17t - 24 > 0 \implies t > \frac{24}{17}$.Но $\frac{24}{17} > 1$, что не входит в рассматриваемый интервал $0 < t < 0.75$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственное решение для $t$: $2.4 < t \le 3$.

Выполним обратную замену $t = 3^x$:$2.4 < 3^x \le 3$.Прологарифмируем все части неравенства по основанию 3 (так как $3 > 1$, знаки неравенства сохраняются):$\log_3 2.4 < \log_3(3^x) \le \log_3 3$$\log_3 2.4 < x \le 1$.

Ответ: $(\log_3 2.4, 1]$.