Номер 920, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 920, страница 334.
№920 (с. 334)
Условие. №920 (с. 334)
скриншот условия

920. $\log_{|2x+2|}(1-9^x) < \log_{|2x+2|}(1+3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right)$
Решение 1. №920 (с. 334)

Решение 2. №920 (с. 334)


Решение 3. №920 (с. 334)
Решим данное логарифмическое неравенство: $ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) < \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $.
Область допустимых значений (ОДЗ)
Необходимо выполнение следующих условий:
1. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$1 - 9^x > 0 \implies 9^x < 1 \implies 3^{2x} < 3^0 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.
Выражения $1 + 3^x$ и $\frac{5}{9} + 3^{x-1}$ всегда положительны, так как показательная функция $a^t$ всегда больше нуля.
2. Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице:
$|2x+2| > 0 \implies 2x+2 \ne 0 \implies x \ne -1$.
$|2x+2| \ne 1 \implies 2x+2 \ne 1$ и $2x+2 \ne -1$.
Из $2x+2 \ne 1$ получаем $2x \ne -1$, то есть $x \ne -1/2$.
Из $2x+2 \ne -1$ получаем $2x \ne -3$, то есть $x \ne -3/2$.
Таким образом, ОДЗ определяется системой условий: $x < 0$, $x \ne -3/2$, $x \ne -1$, $x \ne -1/2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$.
Преобразование и решение неравенства
Используя свойства логарифмов, преобразуем исходное неравенство. Перенесем логарифмы в одну сторону и упростим:
$ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) - \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $
Воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$ \log_{|2x+2|}\left(\frac{1 - 9^x}{1 + 3^x}\right) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $
Упростим дробь в левой части, используя формулу разности квадратов $1 - 9^x = (1-3^x)(1+3^x)$:
$ \frac{1 - 9^x}{1 + 3^x} = \frac{(1-3^x)(1+3^x)}{1+3^x} = 1 - 3^x $
Неравенство принимает вид:
$ \log_{|2x+2|}(1 - 3^x) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + \frac{3^x}{3}\right) $
Дальнейшее решение зависит от основания логарифма. Рассмотрим два случая.
Случай 1: Основание больше 1, то есть $|2x+2| > 1$.
Это условие выполняется при $2x+2 > 1$ или $2x+2 < -1$, что дает $x > -1/2$ или $x < -3/2$. С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-1/2; 0)$.
При основании больше 1 знак неравенства для аргументов сохраняется:
$ 1 - 3^x < \frac{5}{9} + \frac{3^x}{3} $
$ 1 - \frac{5}{9} < 3^x + \frac{3^x}{3} \implies \frac{4}{9} < \frac{4}{3} \cdot 3^x \implies \frac{1}{9} < 3^{x-1} \implies 3^{-2} < 3^{x-1} $
Так как основание степени $3 > 1$, то $-2 < x-1$, откуда $x > -1$.
Пересекая полученное решение $x > -1$ с множеством $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-1/2; 0)$, находим решение для первого случая: $x \in (-1/2; 0)$.
Случай 2: Основание находится в интервале (0, 1), то есть $0 < |2x+2| < 1$.
Это условие выполняется при $-1 < 2x+2 < 1$ и $2x+2 \ne 0$, что дает $-3/2 < x < -1/2$ и $x \ne -1$. С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $x \in (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2)$.
При основании от 0 до 1 знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:
$ 1 - 3^x > \frac{5}{9} + \frac{3^x}{3} $
Аналогичные преобразования приводят к $3^{-2} > 3^{x-1}$.
Так как основание степени $3 > 1$, то $-2 > x-1$, откуда $x < -1$.
Пересекая полученное решение $x < -1$ с множеством $x \in (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2)$, находим решение для второго случая: $x \in (-3/2; -1)$.
Итоговое решение
Объединяем решения, полученные в обоих случаях:
$ x \in (-3/2; -1) \cup (-1/2; 0) $
Ответ: $x \in \left(-\frac{3}{2}; -1\right) \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 920 расположенного на странице 334 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №920 (с. 334), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.