Номер 920, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 920, страница 334.

Условие.

920. $\log_{|2x+2|}(1-9^x) < \log_{|2x+2|}(1+3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решим данное логарифмическое неравенство: $ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) < \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Необходимо выполнение следующих условий:

1. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$1 - 9^x > 0 \implies 9^x < 1 \implies 3^{2x} < 3^0 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.

Выражения $1 + 3^x$ и $\frac{5}{9} + 3^{x-1}$ всегда положительны, так как показательная функция $a^t$ всегда больше нуля.

2. Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице:

$|2x+2| > 0 \implies 2x+2 \ne 0 \implies x \ne -1$.

$|2x+2| \ne 1 \implies 2x+2 \ne 1$ и $2x+2 \ne -1$.

Из $2x+2 \ne 1$ получаем $2x \ne -1$, то есть $x \ne -1/2$.

Из $2x+2 \ne -1$ получаем $2x \ne -3$, то есть $x \ne -3/2$.

Таким образом, ОДЗ определяется системой условий: $x < 0$, $x \ne -3/2$, $x \ne -1$, $x \ne -1/2$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$.

Преобразование и решение неравенства

Используя свойства логарифмов, преобразуем исходное неравенство. Перенесем логарифмы в одну сторону и упростим:

$ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) - \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $

Воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$ \log_{|2x+2|}\left(\frac{1 - 9^x}{1 + 3^x}\right) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $

Упростим дробь в левой части, используя формулу разности квадратов $1 - 9^x = (1-3^x)(1+3^x)$:

$ \frac{1 - 9^x}{1 + 3^x} = \frac{(1-3^x)(1+3^x)}{1+3^x} = 1 - 3^x $

Неравенство принимает вид:

$ \log_{|2x+2|}(1 - 3^x) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + \frac{3^x}{3}\right) $

Дальнейшее решение зависит от основания логарифма. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, то есть $|2x+2| > 1$.

Это условие выполняется при $2x+2 > 1$ или $2x+2 < -1$, что дает $x > -1/2$ или $x < -3/2$. С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-1/2; 0)$.

При основании больше 1 знак неравенства для аргументов сохраняется:

$ 1 - 3^x < \frac{5}{9} + \frac{3^x}{3} $

$ 1 - \frac{5}{9} < 3^x + \frac{3^x}{3} \implies \frac{4}{9} < \frac{4}{3} \cdot 3^x \implies \frac{1}{9} < 3^{x-1} \implies 3^{-2} < 3^{x-1} $

Так как основание степени $3 > 1$, то $-2 < x-1$, откуда $x > -1$.

Пересекая полученное решение $x > -1$ с множеством $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-1/2; 0)$, находим решение для первого случая: $x \in (-1/2; 0)$.

Случай 2: Основание находится в интервале (0, 1), то есть $0 < |2x+2| < 1$.

Это условие выполняется при $-1 < 2x+2 < 1$ и $2x+2 \ne 0$, что дает $-3/2 < x < -1/2$ и $x \ne -1$. С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $x \in (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2)$.

При основании от 0 до 1 знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$ 1 - 3^x > \frac{5}{9} + \frac{3^x}{3} $

Аналогичные преобразования приводят к $3^{-2} > 3^{x-1}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то $-2 > x-1$, откуда $x < -1$.

Пересекая полученное решение $x < -1$ с множеством $x \in (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2)$, находим решение для второго случая: $x \in (-3/2; -1)$.

Итоговое решение

Объединяем решения, полученные в обоих случаях:

$ x \in (-3/2; -1) \cup (-1/2; 0) $

Ответ: $x \in \left(-\frac{3}{2}; -1\right) \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right)$.