Номер 913, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 913, страница 334.
№913 (с. 334)
Условие. №913 (с. 334)
скриншот условия

913. 1) $\log_{0.5}(x^2 - 5x + 6) > -1;$
2) $\log_{8}(x^2 - 4x + 3) \le 1.$
Решение 1. №913 (с. 334)


Решение 2. №913 (с. 334)


Решение 3. №913 (с. 334)
1) $\log_{0,5}(x^2 - 5x + 6) > -1$
Решение этого логарифмического неравенства состоит из двух шагов: нахождение области допустимых значений (ОДЗ) и решение самого неравенства с учетом ОДЗ.
Шаг 1: Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x^2 - 5x + 6 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.
Шаг 2: Решим основное неравенство.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,5: $-1 = \log_{0,5}(0,5^{-1}) = \log_{0,5}(2)$.
Теперь неравенство имеет вид: $\log_{0,5}(x^2 - 5x + 6) > \log_{0,5}(2)$
Так как основание логарифма $a = 0,5$ и $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный: $x^2 - 5x + 6 < 2$
$x^2 - 5x + 4 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Решение этого неравенства: $x \in (1; 4)$.
Шаг 3: Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ.
Мы должны найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in (1; 4)$ и $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.
Пересечением этих множеств являются интервалы $(1; 2)$ и $(3; 4)$.
Ответ: $x \in (1; 2) \cup (3; 4)$.
2) $\log_{8}(x^2 - 4x + 3) \le 1$
Данное логарифмическое неравенство равносильно системе двух неравенств.
1. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным (ОДЗ): $x^2 - 4x + 3 > 0$
2. Основное неравенство. Представим 1 как логарифм с основанием 8: $1 = \log_8(8)$.
Неравенство принимает вид: $\log_8(x^2 - 4x + 3) \le \log_8(8)$
Так как основание логарифма $a = 8 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется: $x^2 - 4x + 3 \le 8$
Объединим оба условия в систему: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \le 8 \end{cases} $$ Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x^2 - 4x + 3 \le 8$.
Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 \le 8$.
$x^2 - 4x - 5 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x \in [-1; 5]$.
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty; 1) \cup (3; \infty)) \cap [-1; 5]$.
Пересекая интервал $[-1; 5]$ с $(-\infty; 1)$, получаем $[-1; 1)$.
Пересекая интервал $[-1; 5]$ с $(3; \infty)$, получаем $(3; 5]$.
Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [-1; 1) \cup (3; 5]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 913 расположенного на странице 334 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №913 (с. 334), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.