Номер 913, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 913, страница 334.

Условие.

913. 1) $\log_{0.5}(x^2 - 5x + 6) > -1;$

2) $\log_{8}(x^2 - 4x + 3) \le 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\log_{0,5}(x^2 - 5x + 6) > -1$

Решение этого логарифмического неравенства состоит из двух шагов: нахождение области допустимых значений (ОДЗ) и решение самого неравенства с учетом ОДЗ.

Шаг 1: Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x^2 - 5x + 6 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Шаг 2: Решим основное неравенство.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,5: $-1 = \log_{0,5}(0,5^{-1}) = \log_{0,5}(2)$.
Теперь неравенство имеет вид: $\log_{0,5}(x^2 - 5x + 6) > \log_{0,5}(2)$
Так как основание логарифма $a = 0,5$ и $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный: $x^2 - 5x + 6 < 2$
$x^2 - 5x + 4 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Решение этого неравенства: $x \in (1; 4)$.

Шаг 3: Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ.
Мы должны найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in (1; 4)$ и $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.
Пересечением этих множеств являются интервалы $(1; 2)$ и $(3; 4)$.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (3; 4)$.

---

2) $\log_{8}(x^2 - 4x + 3) \le 1$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе двух неравенств.

1. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным (ОДЗ): $x^2 - 4x + 3 > 0$

2. Основное неравенство. Представим 1 как логарифм с основанием 8: $1 = \log_8(8)$.
Неравенство принимает вид: $\log_8(x^2 - 4x + 3) \le \log_8(8)$
Так как основание логарифма $a = 8 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется: $x^2 - 4x + 3 \le 8$

Объединим оба условия в систему: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \le 8 \end{cases} $$ Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x^2 - 4x + 3 \le 8$.

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 \le 8$.
$x^2 - 4x - 5 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x \in [-1; 5]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty; 1) \cup (3; \infty)) \cap [-1; 5]$.
Пересекая интервал $[-1; 5]$ с $(-\infty; 1)$, получаем $[-1; 1)$.
Пересекая интервал $[-1; 5]$ с $(3; \infty)$, получаем $(3; 5]$.
Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-1; 1) \cup (3; 5]$.