Номер 907, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 907, страница 333.

Условие.

907.1) $2^{2x} - 4^{x-1} + 8^{\frac{2}{3}x} \cdot 2^{-4} > 52;$

2) $2^{x+2} - 2^{x+3} + 5^{x-2} > 5^{x+1} + 2^{x+4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано показательное неравенство:

$2^{2x} - 4^{x-1} + 8^{\frac{2}{3}x} \cdot 2^{-4} > 52$

Для решения приведем все члены неравенства к одному основанию, в данном случае к 2. Для этого воспользуемся свойствами степеней:

$4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2} = 2^{2x} \cdot 2^{-2} = \frac{1}{4} \cdot 2^{2x}$

$8^{\frac{2}{3}x} = (2^3)^{\frac{2}{3}x} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}x} = 2^{2x}$

Теперь подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$2^{2x} - \frac{1}{4} \cdot 2^{2x} + 2^{2x} \cdot \frac{1}{16} > 52$

Вынесем общий множитель $2^{2x}$ за скобки:

$2^{2x} \left(1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16}\right) > 52$

Вычислим значение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 16:

$1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{12+1}{16} = \frac{13}{16}$

Неравенство принимает вид:

$2^{2x} \cdot \frac{13}{16} > 52$

Чтобы выразить $2^{2x}$, умножим обе части на $\frac{16}{13}$:

$2^{2x} > 52 \cdot \frac{16}{13}$

Сократим 52 и 13 ($52 = 4 \cdot 13$):

$2^{2x} > 4 \cdot 16$

$2^{2x} > 64$

Представим 64 как степень числа 2: $64 = 2^6$.

$2^{2x} > 2^6$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение показателя степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей:

$2x > 6$

Разделим обе части на 2:

$x > 3$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

2)

Дано показательное неравенство:

$2^{x+2} - 2^{x+3} + 5^{x-2} > 5^{x+1} + 2^{x+4}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Перенесем все слагаемые с основанием 2 в левую часть, а с основанием 5 — в правую.

$2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} > 5^{x+1} - 5^{x-2}$

Применим свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем за скобки общие множители $2^x$ и $5^x$.

Преобразуем левую часть:

$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^4 = 2^x(2^2 - 2^3 - 2^4) = 2^x(4 - 8 - 16) = 2^x(-20) = -20 \cdot 2^x$

Преобразуем правую часть:

$5^x \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^{-2} = 5^x(5^1 - 5^{-2}) = 5^x\left(5 - \frac{1}{25}\right) = 5^x\left(\frac{125 - 1}{25}\right) = \frac{124}{25} \cdot 5^x$

Теперь неравенство имеет вид:

$-20 \cdot 2^x > \frac{124}{25} \cdot 5^x$

Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как $5^x$ всегда положительно ($5^x > 0$ для любого $x$), знак неравенства не меняется.

$-20 \cdot \frac{2^x}{5^x} > \frac{124}{25}$

$-20 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x > \frac{124}{25}$

Разделим обе части на -20. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$\left(\frac{2}{5}\right)^x < \frac{124}{25 \cdot (-20)}$

$\left(\frac{2}{5}\right)^x < -\frac{124}{500}$

Упростим дробь в правой части, сократив на 4:

$\left(\frac{2}{5}\right)^x < -\frac{31}{125}$

Левая часть неравенства, $\left(\frac{2}{5}\right)^x$, представляет собой показательную функцию. Для любого действительного числа $x$ значение этой функции всегда положительно: $\left(\frac{2}{5}\right)^x > 0$.

Правая часть неравенства, $-\frac{31}{125}$, является отрицательным числом.

Таким образом, мы получили неравенство, в котором положительное число должно быть меньше отрицательного, что невозможно ни при каких значениях $x$.

Ответ: $x \in \emptyset$.