Номер 903, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 903, страница 333.

Условие.

Решить неравенство (903—917).

903. 1) $2,5^{1-x} > 2,5^{-3x}$;

2) $0,13^{x-4} \ge 0,13^{2-x}$;

3) $(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{3}{4})^{x-1}$;

4) $3^{-4x} > \sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $2,5^{1-x} > 2,5^{-3x}$
В данном показательном неравенстве основание степени $a = 2,5$. Так как основание больше единицы ($a > 1$), показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$1 - x > -3x$
Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые члены в правую:
$3x - x > -1$
$2x > -1$
Разделим обе части на 2:
$x > -\frac{1}{2}$
Таким образом, решение неравенства есть интервал от -0,5 до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in (-0,5; +\infty)$.

2) $0,13^{x-4} \ge 0,13^{2-x}$
Основание степени в этом неравенстве $a = 0,13$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$x - 4 \le 2 - x$
Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а константы в правой:
$x + x \le 2 + 4$
$2x \le 6$
Разделим обе части на 2:
$x \le 3$
Решением является числовой луч от минус бесконечности до 3, включая 3.
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

3) $(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{3}{4})^{x-1}$
В данном неравенстве основания степеней различны: $\frac{4}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Чтобы решить неравенство, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $\frac{3}{4} = \frac{1}{4/3} = (\frac{4}{3})^{-1}$.
Подставим это выражение в правую часть неравенства:
$(\frac{4}{3})^{2x} \le ((\frac{4}{3})^{-1})^{x-1}$
По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:
$(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{4}{3})^{-(x-1)}$
$(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{4}{3})^{1-x}$
Теперь обе части неравенства имеют одинаковое основание $a = \frac{4}{3}$. Так как $a > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется.
$2x \le 1 - x$
$2x + x \le 1$
$3x \le 1$
$x \le \frac{1}{3}$
Решение неравенства - числовой луч от минус бесконечности до $\frac{1}{3}$ включительно.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}]$.

4) $3^{-4x} > \sqrt{3}$
Для решения этого неравенства представим обе его части в виде степеней с одинаковым основанием 3. Правую часть можно записать как $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Неравенство примет вид:
$3^{-4x} > 3^{\frac{1}{2}}$
Основание степени $a = 3$, что больше 1. Следовательно, функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей степеней сохраняется.
$-4x > \frac{1}{2}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x < \frac{1/2}{-4}$
$x < -\frac{1}{8}$
Решением является интервал от минус бесконечности до $-\frac{1}{8}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{8})$.