Номер 896, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 896, страница 332.

№896 (с. 332)
Условие. №896 (с. 332)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 332, номер 896, Условие

896. Найти все значения a, для которых является верным при всех значениях x неравенство:

1) $\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1} \le a;$

2) $\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16} \ge a.$

Решение 1. №896 (с. 332)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 332, номер 896, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 332, номер 896, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №896 (с. 332)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 332, номер 896, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 332, номер 896, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №896 (с. 332)

Чтобы данное неравенство было верным при всех значениях $x$, параметр $a$ должен быть больше или равен максимальному значению функции в случае (1) и меньше или равен минимальному значению функции в случае (2).

1) Рассмотрим неравенство $\frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1} \leq a$.

Оно должно выполняться для всех действительных чисел $x$. Это означает, что $a$ должно быть не меньше, чем наибольшее значение функции $f(x) = \frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1}$.

Исследуем знаменатель дроби: $4x^2 - 2x + 1$. Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом ($4 > 0$). Найдем ее дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, знаменатель не имеет корней и всегда положителен.

Преобразуем выражение для $f(x)$, выделив в числителе выражение из знаменателя:

$8x^2 - 4x + 3 = 2(4x^2 - 2x) + 3 = 2(4x^2 - 2x + 1) - 2 + 3 = 2(4x^2 - 2x + 1) + 1$.

Тогда функция примет вид:

$f(x) = \frac{2(4x^2 - 2x + 1) + 1}{4x^2 - 2x + 1} = 2 + \frac{1}{4x^2 - 2x + 1}$.

Чтобы найти максимальное значение $f(x)$, нужно найти максимальное значение дроби $\frac{1}{4x^2 - 2x + 1}$. Это произойдет, когда знаменатель $g(x) = 4x^2 - 2x + 1$ принимает минимальное значение.

Минимальное значение квадратичной функции $g(x)$ достигается в вершине параболы. Координата вершины $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}$.

Минимальное значение знаменателя равно:

$g_{min} = g(\frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{4}) + 1 = 4 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$.

Следовательно, максимальное значение функции $f(x)$ равно:

$f_{max} = 2 + \frac{1}{g_{min}} = 2 + \frac{1}{3/4} = 2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$.

Поскольку неравенство $f(x) \leq a$ должно выполняться для всех $x$, то $a$ должно быть не меньше максимального значения $f(x)$.

$a \geq \frac{10}{3}$.

Ответ: $a \in [\frac{10}{3}; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\frac{3x^2 - 4x + 8}{9x^2 - 12x + 16} \geq a$.

Оно должно выполняться для всех действительных чисел $x$. Это означает, что $a$ должно быть не больше, чем наименьшее значение функции $h(x) = \frac{3x^2 - 4x + 8}{9x^2 - 12x + 16}$.

Исследуем знаменатель $9x^2 - 12x + 16$. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 144 - 576 = -432$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $9 > 0$, знаменатель всегда положителен.

Заметим, что $9x^2 - 12x + 16 = 3(3x^2 - 4x) + 16$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 3x^2 - 4x$. Тогда функция $h(x)$ превращается в функцию от $t$:

$k(t) = \frac{t + 8}{3t + 16}$.

Найдем множество значений, которые может принимать переменная $t$. Функция $t(x) = 3x^2 - 4x$ — это парабола с ветвями вверх. Ее минимальное значение достигается в вершине $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}$.

Минимальное значение $t$ равно:

$t_{min} = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.

Таким образом, $t \in [-\frac{4}{3}; +\infty)$.

Теперь найдем наименьшее значение функции $k(t) = \frac{t+8}{3t+16}$ на промежутке $t \in [-\frac{4}{3}; +\infty)$. Найдем производную $k'(t)$:

$k'(t) = \frac{(t+8)'(3t+16) - (t+8)(3t+16)'}{(3t+16)^2} = \frac{1 \cdot (3t+16) - (t+8) \cdot 3}{(3t+16)^2} = \frac{3t + 16 - 3t - 24}{(3t+16)^2} = \frac{-8}{(3t+16)^2}$.

Поскольку $(3t+16)^2 > 0$ для всех $t$ из области определения, то $k'(t) < 0$. Это означает, что функция $k(t)$ монотонно убывает на всей своей области определения.

Наименьшее значение убывающей функции на промежутке $[-\frac{4}{3}; +\infty)$ будет достигаться при $t \to +\infty$. Найдем предел:

$\lim_{t \to \infty} k(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{t+8}{3t+16} = \lim_{t \to \infty} \frac{1 + 8/t}{3 + 16/t} = \frac{1}{3}$.

Этот предел является инфимумом (точной нижней гранью) значений функции $h(x)$. То есть $h(x) > \frac{1}{3}$ для всех $x$, и значения $h(x)$ могут быть сколь угодно близки к $\frac{1}{3}$.

Чтобы неравенство $h(x) \geq a$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не больше любого из значений функции, включая ее точную нижнюю грань.

$a \leq \frac{1}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{3}]$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 896 расположенного на странице 332 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №896 (с. 332), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.