Номер 896, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 896, страница 332.

Условие.

896. Найти все значения a, для которых является верным при всех значениях x неравенство:

1) $\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1} \le a;$

2) $\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16} \ge a.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы данное неравенство было верным при всех значениях $x$, параметр $a$ должен быть больше или равен максимальному значению функции в случае (1) и меньше или равен минимальному значению функции в случае (2).

1) Рассмотрим неравенство $\frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1} \leq a$.

Оно должно выполняться для всех действительных чисел $x$. Это означает, что $a$ должно быть не меньше, чем наибольшее значение функции $f(x) = \frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1}$.

Исследуем знаменатель дроби: $4x^2 - 2x + 1$. Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом ($4 > 0$). Найдем ее дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, знаменатель не имеет корней и всегда положителен.

Преобразуем выражение для $f(x)$, выделив в числителе выражение из знаменателя:

$8x^2 - 4x + 3 = 2(4x^2 - 2x) + 3 = 2(4x^2 - 2x + 1) - 2 + 3 = 2(4x^2 - 2x + 1) + 1$.

Тогда функция примет вид:

$f(x) = \frac{2(4x^2 - 2x + 1) + 1}{4x^2 - 2x + 1} = 2 + \frac{1}{4x^2 - 2x + 1}$.

Чтобы найти максимальное значение $f(x)$, нужно найти максимальное значение дроби $\frac{1}{4x^2 - 2x + 1}$. Это произойдет, когда знаменатель $g(x) = 4x^2 - 2x + 1$ принимает минимальное значение.

Минимальное значение квадратичной функции $g(x)$ достигается в вершине параболы. Координата вершины $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}$.

Минимальное значение знаменателя равно:

$g_{min} = g(\frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{4}) + 1 = 4 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$.

Следовательно, максимальное значение функции $f(x)$ равно:

$f_{max} = 2 + \frac{1}{g_{min}} = 2 + \frac{1}{3/4} = 2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$.

Поскольку неравенство $f(x) \leq a$ должно выполняться для всех $x$, то $a$ должно быть не меньше максимального значения $f(x)$.

$a \geq \frac{10}{3}$.

Ответ: $a \in [\frac{10}{3}; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\frac{3x^2 - 4x + 8}{9x^2 - 12x + 16} \geq a$.

Оно должно выполняться для всех действительных чисел $x$. Это означает, что $a$ должно быть не больше, чем наименьшее значение функции $h(x) = \frac{3x^2 - 4x + 8}{9x^2 - 12x + 16}$.

Исследуем знаменатель $9x^2 - 12x + 16$. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 144 - 576 = -432$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $9 > 0$, знаменатель всегда положителен.

Заметим, что $9x^2 - 12x + 16 = 3(3x^2 - 4x) + 16$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 3x^2 - 4x$. Тогда функция $h(x)$ превращается в функцию от $t$:

$k(t) = \frac{t + 8}{3t + 16}$.

Найдем множество значений, которые может принимать переменная $t$. Функция $t(x) = 3x^2 - 4x$ — это парабола с ветвями вверх. Ее минимальное значение достигается в вершине $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}$.

Минимальное значение $t$ равно:

$t_{min} = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.

Таким образом, $t \in [-\frac{4}{3}; +\infty)$.

Теперь найдем наименьшее значение функции $k(t) = \frac{t+8}{3t+16}$ на промежутке $t \in [-\frac{4}{3}; +\infty)$. Найдем производную $k'(t)$:

$k'(t) = \frac{(t+8)'(3t+16) - (t+8)(3t+16)'}{(3t+16)^2} = \frac{1 \cdot (3t+16) - (t+8) \cdot 3}{(3t+16)^2} = \frac{3t + 16 - 3t - 24}{(3t+16)^2} = \frac{-8}{(3t+16)^2}$.

Поскольку $(3t+16)^2 > 0$ для всех $t$ из области определения, то $k'(t) < 0$. Это означает, что функция $k(t)$ монотонно убывает на всей своей области определения.

Наименьшее значение убывающей функции на промежутке $[-\frac{4}{3}; +\infty)$ будет достигаться при $t \to +\infty$. Найдем предел:

$\lim_{t \to \infty} k(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{t+8}{3t+16} = \lim_{t \to \infty} \frac{1 + 8/t}{3 + 16/t} = \frac{1}{3}$.

Этот предел является инфимумом (точной нижней гранью) значений функции $h(x)$. То есть $h(x) > \frac{1}{3}$ для всех $x$, и значения $h(x)$ могут быть сколь угодно близки к $\frac{1}{3}$.

Чтобы неравенство $h(x) \geq a$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не больше любого из значений функции, включая ее точную нижнюю грань.

$a \leq \frac{1}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{3}]$.