Номер 895, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 895, страница 332.

Условие.

895. $ \frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^3 + 6x^2 + 5x - 12} > 0 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данного неравенства необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем применить метод интервалов.

1. Разложим на множители числитель: $P(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$.
Сгруппируем слагаемые:$P(x) = (x^3 + x^2) - (4x + 4) = x^2(x + 1) - 4(x + 1)$Вынесем общий множитель $(x+1)$:$P(x) = (x + 1)(x^2 - 4)$Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $x^2 - 4$:$P(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$Корни числителя: $x = -1, x = 2, x = -2$.

2. Разложим на множители знаменатель: $Q(x) = x^3 + 6x^2 + 5x - 12$.
Найдем целые корни многочлена среди делителей свободного члена (-12): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.Проверим $x=1$:$Q(1) = 1^3 + 6(1)^2 + 5(1) - 12 = 1 + 6 + 5 - 12 = 0$.Следовательно, $x=1$ является корнем, а $(x-1)$ — одним из множителей. Разделим многочлен $Q(x)$ на $(x-1)$ (например, по схеме Горнера или "уголком"), чтобы найти оставшуюся часть.Деление "уголком":

 x³ + 6x² + 5x - 12 | x - 1-(x³ - x²) |--------- —————————— x² + 7x + 12 7x² + 5x -(7x² - 7x) ——————— 12x - 12 -(12x - 12) ——————— 0

Таким образом, $Q(x) = (x - 1)(x^2 + 7x + 12)$.Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 7x + 12$. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Сумма корней равна -7, а произведение 12. Это корни $x = -3$ и $x = -4$.Значит, $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$.Окончательно, знаменатель раскладывается на множители:$Q(x) = (x - 1)(x + 3)(x + 4)$Корни знаменателя: $x = 1, x = -3, x = -4$.

3. Перепишем исходное неравенство в новом виде:$$ \frac{(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x + 3)(x + 4)} > 0 $$

4. Применим метод интервалов.Нанесем на числовую ось все корни числителя и знаменателя в порядке возрастания: -4, -3, -2, -1, 1, 2. Так как неравенство строгое ($>0$), все точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.Эти точки разбивают числовую ось на 7 интервалов. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$. Все множители в числителе и знаменателе положительны. Дробь положительна (+).
• Интервал $(1, 2)$: знак меняется на (-).
• Интервал $(-1, 1)$: знак меняется на (+).
• Интервал $(-2, -1)$: знак меняется на (-).
• Интервал $(-3, -2)$: знак меняется на (+).
• Интервал $(-4, -3)$: знак меняется на (-).
• Интервал $(-\infty, -4)$: знак меняется на (+).

Знаки на интервалах чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1).

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это интервалы:$(-\infty, -4)$, $(-3, -2)$, $(-1, 1)$, $(2, +\infty)$.Объединение этих интервалов и является решением неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; -2) \cup (-1; 1) \cup (2; +\infty)$.