Номер 890, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 890, страница 332.
№890 (с. 332)
Условие. №890 (с. 332)
скриншот условия

890. 1) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} < 0;$
2) $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0.$
Решение 1. №890 (с. 332)


Решение 2. №890 (с. 332)

Решение 3. №890 (с. 332)
1)
Для решения неравенства $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} < 0$ воспользуемся методом интервалов.
Сначала разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} < 0$
Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых левая часть неравенства равна нулю или не определена.
Нули числителя: $(x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3$ и $x = -3$.
Нули знаменателя: $(x-2)(x+2) = 0 \implies x = 2$ и $x = -2$.
Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: -3, -2, 2, 3.
Поскольку неравенство строгое ($<0$), все точки будут "выколотыми", то есть не включаются в решение. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль, выкалываются всегда.
Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=4$:
$\frac{(4-3)(4+3)}{(4-2)(4+2)} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 6} = \frac{7}{12} > 0$. Знак "+".
Так как все множители в первой степени (нечетной), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем следующую последовательность знаков: +, -, +, -, +.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть имеет знак "минус".
Это интервалы $(-3; -2)$ и $(2; 3)$.
Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$.
2)
Решим неравенство $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0$.
Проанализируем каждый из множителей в левой части.
Первый множитель $(2x^2 + 3)$:
Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то $2x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $2x^2 + 3$ всегда будет больше или равно 3 ($2x^2 + 3 \ge 3$).
Это означает, что множитель $(2x^2 + 3)$ всегда положителен при любом действительном значении $x$.
Так как множитель $(2x^2 + 3)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, при этом знак неравенства не изменится:
$(x + 4)^3 > 0$
Выражение в нечетной степени (в данном случае в кубе) имеет тот же знак, что и его основание. Поэтому неравенство $(x + 4)^3 > 0$ равносильно более простому неравенству:
$x + 4 > 0$
Решим полученное линейное неравенство:
$x > -4$
Запишем решение в виде интервала.
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 890 расположенного на странице 332 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №890 (с. 332), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.