Номер 890, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 890, страница 332.

Условие.

890. 1) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} < 0;$

2) $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для решения неравенства $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} < 0$ воспользуемся методом интервалов.
Сначала разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых левая часть неравенства равна нулю или не определена.
Нули числителя: $(x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3$ и $x = -3$.
Нули знаменателя: $(x-2)(x+2) = 0 \implies x = 2$ и $x = -2$.

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: -3, -2, 2, 3.
Поскольку неравенство строгое ($<0$), все точки будут "выколотыми", то есть не включаются в решение. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль, выкалываются всегда.
Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=4$:
$\frac{(4-3)(4+3)}{(4-2)(4+2)} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 6} = \frac{7}{12} > 0$. Знак "+".
Так как все множители в первой степени (нечетной), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем следующую последовательность знаков: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть имеет знак "минус".
Это интервалы $(-3; -2)$ и $(2; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$.

2)

Решим неравенство $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0$.

Проанализируем каждый из множителей в левой части.
Первый множитель $(2x^2 + 3)$:
Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то $2x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $2x^2 + 3$ всегда будет больше или равно 3 ($2x^2 + 3 \ge 3$).
Это означает, что множитель $(2x^2 + 3)$ всегда положителен при любом действительном значении $x$.

Так как множитель $(2x^2 + 3)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, при этом знак неравенства не изменится:
$(x + 4)^3 > 0$

Выражение в нечетной степени (в данном случае в кубе) имеет тот же знак, что и его основание. Поэтому неравенство $(x + 4)^3 > 0$ равносильно более простому неравенству:
$x + 4 > 0$

Решим полученное линейное неравенство:
$x > -4$

Запишем решение в виде интервала.

Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.