Номер 886, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 886, страница 332.

Условие.

886. При каких значениях x положительна дробь:

1) $\frac{5x-4}{7x+5}$;

2) $\frac{3x+10}{40-x}$;

3) $\frac{x+2}{5-4x}$;

4) $\frac{8-x}{6+3x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы дробь $\frac{5x-4}{7x+5}$ была положительна, необходимо решить неравенство $\frac{5x-4}{7x+5} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем значения $x$, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нуль числителя: $5x-4 = 0 \Rightarrow 5x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{5}$.
Нуль знаменателя: $7x+5 = 0 \Rightarrow 7x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{7}$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\frac{5}{7})$, $(-\frac{5}{7}; \frac{4}{5})$ и $(\frac{4}{5}; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале, выбрав пробную точку:

• В интервале $(\frac{4}{5}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{5(1)-4}{7(1)+5} = \frac{1}{12} > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-\frac{5}{7}; \frac{4}{5})$, возьмем $x=0$: $\frac{5(0)-4}{7(0)+5} = \frac{-4}{5} < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-\infty; -\frac{5}{7})$, возьмем $x=-1$: $\frac{5(-1)-4}{7(-1)+5} = \frac{-9}{-2} > 0$. Знак "+".

Неравенство выполняется на тех интервалах, где знак "+".
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{7}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.

2) Чтобы дробь $\frac{3x+10}{40-x}$ была положительна, необходимо решить неравенство $\frac{3x+10}{40-x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $3x+10 = 0 \Rightarrow 3x = -10 \Rightarrow x = -\frac{10}{3}$.
Нуль знаменателя: $40-x = 0 \Rightarrow x = 40$.
Отметим точки $-\frac{10}{3}$ и $40$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\frac{10}{3})$, $(-\frac{10}{3}; 40)$ и $(40; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале:

• В интервале $(40; +\infty)$, возьмем $x=50$: $\frac{3(50)+10}{40-50} = \frac{160}{-10} < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-\frac{10}{3}; 40)$, возьмем $x=0$: $\frac{3(0)+10}{40-0} = \frac{10}{40} > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-\infty; -\frac{10}{3})$, возьмем $x=-10$: $\frac{3(-10)+10}{40-(-10)} = \frac{-20}{50} < 0$. Знак "-".

Неравенство выполняется на интервале, где знак "+".
Ответ: $x \in (-\frac{10}{3}; 40)$.

3) Чтобы дробь $\frac{x+2}{5-4x}$ была положительна, необходимо решить неравенство $\frac{x+2}{5-4x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
Нуль знаменателя: $5-4x = 0 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{4}$.
Отметим точки $-2$ и $\frac{5}{4}$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; \frac{5}{4})$ и $(\frac{5}{4}; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале:

• В интервале $(\frac{5}{4}; +\infty)$, возьмем $x=2$: $\frac{2+2}{5-4(2)} = \frac{4}{-3} < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-2; \frac{5}{4})$, возьмем $x=0$: $\frac{0+2}{5-4(0)} = \frac{2}{5} > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $\frac{-3+2}{5-4(-3)} = \frac{-1}{17} < 0$. Знак "-".

Неравенство выполняется на интервале, где знак "+".
Ответ: $x \in (-2; \frac{5}{4})$.

4) Чтобы дробь $\frac{8-x}{6+3x}$ была положительна, необходимо решить неравенство $\frac{8-x}{6+3x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $8-x = 0 \Rightarrow x = 8$.
Нуль знаменателя: $6+3x = 0 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2$.
Отметим точки $-2$ и $8$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале:

• В интервале $(8; +\infty)$, возьмем $x=10$: $\frac{8-10}{6+3(10)} = \frac{-2}{36} < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-2; 8)$, возьмем $x=0$: $\frac{8-0}{6+3(0)} = \frac{8}{6} > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $\frac{8-(-3)}{6+3(-3)} = \frac{11}{-3} < 0$. Знак "-".

Неравенство выполняется на интервале, где знак "+".
Ответ: $x \in (-2; 8)$.