Номер 881, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 881, страница 331.
№881 (с. 331)
Условие. №881 (с. 331)
скриншот условия

881. 1) $\frac{2\sin x}{\cos x - \cos 3x} - \frac{1}{3} = 4\sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$
2) $\frac{\sin 3x - 2\cos 2x - 1}{1 - \sin x} = |\sin x|.$
Решение 1. №881 (с. 331)


Решение 2. №881 (с. 331)


Решение 3. №881 (с. 331)
1)
Исходное уравнение: $ \frac{2\sin x}{\cos x - \cos 3x} - \frac{1}{3} = 4\sin^2(x + \frac{\pi}{4}) $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$ \cos x - \cos 3x \neq 0 $.
Используем формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} \neq 0 $
$ -2\sin(2x)\sin(-x) \neq 0 $
$ 2\sin(2x)\sin x \neq 0 $.
Отсюда получаем, что $ \sin x \neq 0 $ и $ \sin(2x) \neq 0 $.
$ \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
$ \sin(2x) \neq 0 \implies 2x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя найденное выражение для знаменателя:
$ \frac{2\sin x}{2\sin(2x)\sin x} - \frac{1}{3} = \frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{3} $.
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} $:
$ 4\sin^2(x + \frac{\pi}{4}) = 4 \cdot \frac{1 - \cos(2(x + \frac{\pi}{4}))}{2} = 2(1 - \cos(2x + \frac{\pi}{2})) $.
Используя формулу приведения $ \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha $, получаем:
$ 2(1 - (-\sin(2x))) = 2(1 + \sin(2x)) $.
Теперь уравнение принимает вид:
$ \frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{3} = 2 + 2\sin(2x) $.
Сделаем замену $ t = \sin(2x) $. Учитывая ОДЗ, $ t \neq 0 $. Также $ |t| \le 1 $.
$ \frac{1}{t} - \frac{1}{3} = 2 + 2t $.
Умножим обе части на $ 3t $ (так как $ t \neq 0 $):
$ 3 - t = 6t(1 + t) $
$ 3 - t = 6t + 6t^2 $.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ 6t^2 + 7t - 3 = 0 $.
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $.
$ t_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.
$ t_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} $.
Корень $ t_2 = -1.5 $ не удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $, поэтому он является посторонним.
Остается один корень $ t = \frac{1}{3} $, который удовлетворяет условиям $ t \neq 0 $ и $ |t| \le 1 $.
Возвращаемся к исходной переменной:
$ \sin(2x) = \frac{1}{3} $.
Решения этого уравнения:
$ 2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
Данные решения не совпадают с ограничениями ОДЗ ($ x \neq \frac{\pi m}{2} $), так как $ \arcsin(\frac{1}{3}) $ не является рациональным кратным $ \pi $.
Ответ: $ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
2)
Исходное уравнение: $ \frac{\sin 3x - 2\cos 2x - 1}{1 - \sin x} = |\sin x| $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:
$ 1 - \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 1 $.
Следовательно, $ x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Преобразуем числитель дроби. Используем формулу синуса тройного угла $ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $ и косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:
$ \sin 3x - 2\cos 2x - 1 = (3\sin x - 4\sin^3 x) - 2(1 - 2\sin^2 x) - 1 $
$ = 3\sin x - 4\sin^3 x - 2 + 4\sin^2 x - 1 $
$ = -4\sin^3 x + 4\sin^2 x + 3\sin x - 3 $.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$ (-4\sin^3 x + 4\sin^2 x) + (3\sin x - 3) = -4\sin^2 x(\sin x - 1) + 3(\sin x - 1) $
$ = (3 - 4\sin^2 x)(\sin x - 1) $.
Подставим преобразованный числитель обратно в уравнение:
$ \frac{(3 - 4\sin^2 x)(\sin x - 1)}{1 - \sin x} = |\sin x| $.
Так как $ \sin x \neq 1 $, то $ \sin x - 1 \neq 0 $. Можем сократить дробь на $ (1 - \sin x) $, при этом $ \frac{\sin x - 1}{1 - \sin x} = -1 $:
$ -(3 - 4\sin^2 x) = |\sin x| $
$ 4\sin^2 x - 3 = |\sin x| $.
Пусть $ y = |\sin x| $. Тогда $ \sin^2 x = |\sin x|^2 = y^2 $. Уравнение принимает вид:
$ 4y^2 - y - 3 = 0 $.
По определению модуля, $ y \ge 0 $. Также, так как $ y=|\sin x| $, то $ y \le 1 $. Итак, $ 0 \le y \le 1 $.
Решаем квадратное уравнение относительно $ y $:
$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $.
$ y_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 $.
$ y_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} $.
Корень $ y_2 = -3/4 $ не удовлетворяет условию $ y \ge 0 $, поэтому он посторонний.
Остается единственный корень $ y = 1 $, который удовлетворяет условию $ 0 \le y \le 1 $.
Возвращаемся к переменной $ x $:
$ |\sin x| = 1 $.
Это равенство означает, что $ \sin x = 1 $ или $ \sin x = -1 $.
1. Если $ \sin x = 1 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти корни не удовлетворяют ОДЗ ($ \sin x \neq 1 $).
2. Если $ \sin x = -1 $, то $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.
Таким образом, решениями уравнения являются только значения из второго случая.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 881 расположенного на странице 331 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №881 (с. 331), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.