Номер 881, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 881, страница 331.

Условие.

881. 1) $\frac{2\sin x}{\cos x - \cos 3x} - \frac{1}{3} = 4\sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

2) $\frac{\sin 3x - 2\cos 2x - 1}{1 - \sin x} = |\sin x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{2\sin x}{\cos x - \cos 3x} - \frac{1}{3} = 4\sin^2(x + \frac{\pi}{4}) $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$ \cos x - \cos 3x \neq 0 $.

Используем формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} \neq 0 $

$ -2\sin(2x)\sin(-x) \neq 0 $

$ 2\sin(2x)\sin x \neq 0 $.

Отсюда получаем, что $ \sin x \neq 0 $ и $ \sin(2x) \neq 0 $.

$ \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

$ \sin(2x) \neq 0 \implies 2x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя найденное выражение для знаменателя:

$ \frac{2\sin x}{2\sin(2x)\sin x} - \frac{1}{3} = \frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{3} $.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} $:

$ 4\sin^2(x + \frac{\pi}{4}) = 4 \cdot \frac{1 - \cos(2(x + \frac{\pi}{4}))}{2} = 2(1 - \cos(2x + \frac{\pi}{2})) $.

Используя формулу приведения $ \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha $, получаем:

$ 2(1 - (-\sin(2x))) = 2(1 + \sin(2x)) $.

Теперь уравнение принимает вид:

$ \frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{3} = 2 + 2\sin(2x) $.

Сделаем замену $ t = \sin(2x) $. Учитывая ОДЗ, $ t \neq 0 $. Также $ |t| \le 1 $.

$ \frac{1}{t} - \frac{1}{3} = 2 + 2t $.

Умножим обе части на $ 3t $ (так как $ t \neq 0 $):

$ 3 - t = 6t(1 + t) $

$ 3 - t = 6t + 6t^2 $.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 6t^2 + 7t - 3 = 0 $.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $.

$ t_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.

$ t_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} $.

Корень $ t_2 = -1.5 $ не удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $, поэтому он является посторонним.

Остается один корень $ t = \frac{1}{3} $, который удовлетворяет условиям $ t \neq 0 $ и $ |t| \le 1 $.

Возвращаемся к исходной переменной:

$ \sin(2x) = \frac{1}{3} $.

Решения этого уравнения:

$ 2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Данные решения не совпадают с ограничениями ОДЗ ($ x \neq \frac{\pi m}{2} $), так как $ \arcsin(\frac{1}{3}) $ не является рациональным кратным $ \pi $.

Ответ: $ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{\sin 3x - 2\cos 2x - 1}{1 - \sin x} = |\sin x| $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$ 1 - \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 1 $.

Следовательно, $ x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Преобразуем числитель дроби. Используем формулу синуса тройного угла $ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $ и косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:

$ \sin 3x - 2\cos 2x - 1 = (3\sin x - 4\sin^3 x) - 2(1 - 2\sin^2 x) - 1 $

$ = 3\sin x - 4\sin^3 x - 2 + 4\sin^2 x - 1 $

$ = -4\sin^3 x + 4\sin^2 x + 3\sin x - 3 $.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$ (-4\sin^3 x + 4\sin^2 x) + (3\sin x - 3) = -4\sin^2 x(\sin x - 1) + 3(\sin x - 1) $

$ = (3 - 4\sin^2 x)(\sin x - 1) $.

Подставим преобразованный числитель обратно в уравнение:

$ \frac{(3 - 4\sin^2 x)(\sin x - 1)}{1 - \sin x} = |\sin x| $.

Так как $ \sin x \neq 1 $, то $ \sin x - 1 \neq 0 $. Можем сократить дробь на $ (1 - \sin x) $, при этом $ \frac{\sin x - 1}{1 - \sin x} = -1 $:

$ -(3 - 4\sin^2 x) = |\sin x| $

$ 4\sin^2 x - 3 = |\sin x| $.

Пусть $ y = |\sin x| $. Тогда $ \sin^2 x = |\sin x|^2 = y^2 $. Уравнение принимает вид:

$ 4y^2 - y - 3 = 0 $.

По определению модуля, $ y \ge 0 $. Также, так как $ y=|\sin x| $, то $ y \le 1 $. Итак, $ 0 \le y \le 1 $.

Решаем квадратное уравнение относительно $ y $:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $.

$ y_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 $.

$ y_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} $.

Корень $ y_2 = -3/4 $ не удовлетворяет условию $ y \ge 0 $, поэтому он посторонний.

Остается единственный корень $ y = 1 $, который удовлетворяет условию $ 0 \le y \le 1 $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ |\sin x| = 1 $.

Это равенство означает, что $ \sin x = 1 $ или $ \sin x = -1 $.

1. Если $ \sin x = 1 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти корни не удовлетворяют ОДЗ ($ \sin x \neq 1 $).

2. Если $ \sin x = -1 $, то $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, решениями уравнения являются только значения из второго случая.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.