Страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

867. 1) $2\cos^2 x + \sin x = 0$;

2) $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$.

1) Дано уравнение $2\cos x + \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка вида $a\sin x + b\cos x = 0$. Для его решения разделим обе части уравнения на $\cos x$.

Предварительно нужно убедиться, что $\cos x \ne 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из исходного уравнения $2\cdot0 + \sin x = 0$ следует, что и $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \ne 0$, и деление на него является корректным преобразованием.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{2\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$
$2 + \tan x = 0$
$\tan x = -2$

Общее решение для уравнения $\tan x = a$ имеет вид $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = -2$, поэтому решение:
$x = \arctan(-2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, можно записать ответ в виде:
$x = -\arctan(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Решим его аналогичным способом, разделив обе части на $\cos x$. Как и в предыдущем пункте, $\cos x \ne 0$, поскольку в противном случае и $\sin x$ должен быть равен нулю, что невозможно.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3}\cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$
$\tan x + \sqrt{3} = 0$
$\tan x = -\sqrt{3}$

Это табличное значение для тангенса. Общее решение уравнения:
$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем окончательное решение:
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

868. 1) $4\sin^4 x + \sin^2 2x = 2;$

2) $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}.$

1) Дано уравнение $4\sin^4 x + \sin^2 2x = 2$.

Для решения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.

Преобразуем член $4\sin^4 x$:

$4\sin^4 x = 4(\sin^2 x)^2 = 4\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 = 4\frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = (1 - \cos 2x)^2 = 1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x) + \sin^2 2x = 2$.

Сгруппируем члены $\cos^2 2x$ и $\sin^2 2x$ и применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:

$1 - 2\cos 2x + (\cos^2 2x + \sin^2 2x) = 2$

$1 - 2\cos 2x + 1 = 2$

$2 - 2\cos 2x = 2$

Вычтем 2 из обеих частей:

$-2\cos 2x = 0$

$\cos 2x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}$.

Для удобства введем замену: пусть $y = \frac{x}{3}$. Уравнение примет вид:

$\sin^4 y + \cos^4 y = \frac{5}{8}$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат. Для этого используем тождество $a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2$:

$\sin^4 y + \cos^4 y = (\sin^2 y + \cos^2 y)^2 - 2\sin^2 y \cos^2 y$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, получаем:

$1^2 - 2\sin^2 y \cos^2 y = 1 - 2(\sin y \cos y)^2$

Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2\sin y \cos y$, откуда $\sin y \cos y = \frac{\sin 2y}{2}$:

$1 - 2\left(\frac{\sin 2y}{2}\right)^2 = 1 - 2\frac{\sin^2 2y}{4} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2y$

Подставим это преобразованное выражение обратно в уравнение:

$1 - \frac{1}{2}\sin^2 2y = \frac{5}{8}$

Выразим $\sin^2 2y$:

$\frac{1}{2}\sin^2 2y = 1 - \frac{5}{8}$

$\frac{1}{2}\sin^2 2y = \frac{3}{8}$

$\sin^2 2y = \frac{3}{4}$

Теперь используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2y$:

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2y)}{2} = \frac{3}{4}$

$\frac{1 - \cos 4y}{2} = \frac{3}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos 4y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Выразим $\cos 4y$:

$\cos 4y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является:

$4y = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим на 4, чтобы найти $y$:

$y = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $y = \frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$

Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3 \left( \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \right) = \pm \frac{3\pi}{6} + \frac{3\pi k}{2} = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

869. 1) $ \sin^3 x + \cos^3 x = 0; $

2) $ 2\sin^2 x + \sin^2 2x = 2; $

3) $ 8\sin x \cos 2x \cos x = \sqrt{3}; $

4) $ 4\sin x \cos x \cos 2x = \cos 4x. $

1)Исходное уравнение: $ \sin^3 x + \cos^3 x = 0 $
Это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. Перенесем $ \cos^3 x $ в правую часть:
$ \sin^3 x = -\cos^3 x $
Разделим обе части уравнения на $ \cos^3 x $. Это возможно, так как если $ \cos x = 0 $, то из исходного уравнения следовало бы, что и $ \sin x = 0 $, что невозможно одновременно, так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.
$ \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} = -1 $
$ \text{tg}^3 x = -1 $
Извлекаем кубический корень:
$ \text{tg} x = -1 $
Находим общее решение для $ x $:
$ x = \text{arctg}(-1) + \pi n, n \in Z $
$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $

2)Исходное уравнение: $ 2\sin^2 x + \sin^2 2x = 2 $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ и основное тригонометрическое тождество $ 2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $.
$ 2\sin^2 x + (2\sin x \cos x)^2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $
$ 2\sin^2 x + 4\sin^2 x \cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x $
Вычтем $ 2\sin^2 x $ из обеих частей:
$ 4\sin^2 x \cos^2 x = 2\cos^2 x $
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:
$ 4\sin^2 x \cos^2 x - 2\cos^2 x = 0 $
$ 2\cos^2 x (2\sin^2 x - 1) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $ \cos^2 x = 0 $
$ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $
Случай 2: $ 2\sin^2 x - 1 = 0 $
$ \sin^2 x = \frac{1}{2} $
Можно решить это уравнение, используя формулу понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} $:
$ \frac{1-\cos 2x}{2} = \frac{1}{2} $
$ 1 - \cos 2x = 1 $
$ \cos 2x = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $
Объединяя решения, получаем два семейства корней.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $

3)Исходное уравнение: $ 8\sin x \cos 2x \cos x = \sqrt{3} $
Сгруппируем множители и используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.
$ 4 \cdot (2\sin x \cos x) \cdot \cos 2x = \sqrt{3} $
$ 4 \sin 2x \cos 2x = \sqrt{3} $
Еще раз применим формулу синуса двойного угла для аргумента $ 2x $:
$ 2 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) = \sqrt{3} $
$ 2 \sin(2 \cdot 2x) = \sqrt{3} $
$ 2 \sin 4x = \sqrt{3} $
$ \sin 4x = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Находим общее решение для $ 4x $:
$ 4x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, k \in Z $
$ 4x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $
Разделим на 4, чтобы найти $ x $:
$ x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z $
Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z $

4)Исходное уравнение: $ 4\sin x \cos x \cos 2x = \cos 4x $
Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла.
$ 2 \cdot (2\sin x \cos x) \cdot \cos 2x = \cos 4x $
$ 2 \sin 2x \cos 2x = \cos 4x $
Снова применяем формулу синуса двойного угла, теперь для аргумента $ 2x $:
$ \sin(2 \cdot 2x) = \cos 4x $
$ \sin 4x = \cos 4x $
Разделим обе части на $ \cos 4x $. Это возможно, так как если $ \cos 4x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin 4x = 0 $, что не может быть верным одновременно.
$ \frac{\sin 4x}{\cos 4x} = 1 $
$ \text{tg} 4x = 1 $
Находим общее решение для $ 4x $:
$ 4x = \text{arctg}(1) + \pi n, n \in Z $
$ 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $
Разделим на 4, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $

870. 1) $ \sin^4 x - \cos^4 x + 2\cos^2 x = \cos 2x; $

2) $ 2\sin^2 x - \cos^4 x = 1 - \sin^4 x. $

1) $\sin^4x - \cos^4x + 2\cos^2x = \cos2x$

Преобразуем левую часть уравнения. Разложим выражение $\sin^4x - \cos^4x$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^4x - \cos^4x = (\sin^2x - \cos^2x)(\sin^2x + \cos^2x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$(\sin^2x - \cos^2x)(1) = \sin^2x - \cos^2x$

Подставим это выражение обратно в левую часть исходного уравнения:

$(\sin^2x - \cos^2x) + 2\cos^2x$

Упростим выражение:

$\sin^2x - \cos^2x + 2\cos^2x = \sin^2x + \cos^2x = 1$

Таким образом, левая часть уравнения тождественно равна 1. Исходное уравнение сводится к следующему:

$1 = \cos2x$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Решением является:

$2x = 2\pi k$, где $k \in Z$

Разделив обе части на 2, получим окончательный ответ:

$x = \pi k$, где $k \in Z$

Ответ: $x = \pi k, k \in Z$.

2) $2\sin^2x - \cos^4x = 1 - \sin^4x$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$2\sin^2x - \cos^4x + \sin^4x = 1$

Сгруппируем члены и преобразуем выражение $\sin^4x - \cos^4x$, используя формулу разности квадратов:

$\sin^4x - \cos^4x = (\sin^2x - \cos^2x)(\sin^2x + \cos^2x)$

Так как $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$\sin^4x - \cos^4x = \sin^2x - \cos^2x$

Подставим это в наше уравнение:

$2\sin^2x + (\sin^2x - \cos^2x) = 1$

Упростим левую часть:

$3\sin^2x - \cos^2x = 1$

Теперь выразим $\cos^2x$ через $\sin^2x$ с помощью основного тригонометрического тождества $\cos^2x = 1 - \sin^2x$:

$3\sin^2x - (1 - \sin^2x) = 1$

$3\sin^2x - 1 + \sin^2x = 1$

$4\sin^2x = 2$

$\sin^2x = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = 0$

Решением этого уравнения является:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$

Разделив обе части на 2, получим окончательный ответ:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

871. 1) $\sin x + \sin 5x = \sin 3x;$

2) $\cos 7x - \cos 3x = 3\sin 5x.$

1) $\sin x + \sin 5x = \sin 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем:

$(\sin 5x + \sin x) - \sin 3x = 0$

Применим формулу суммы синусов для выражения в скобках: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} - \sin 3x = 0$

$2\sin 3x \cos 2x - \sin 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки:

$\sin 3x (2\cos 2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

а) $\sin 3x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$3x = k\pi$, где $k \in Z$ (Z - множество целых чисел).

$x = \frac{k\pi}{3}, k \in Z$.

б) $2\cos 2x - 1 = 0$

$2\cos 2x = 1$

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2n\pi$, где $n \in Z$.

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi, n \in Z$.

Объединяя решения из пунктов а) и б), получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{3}; x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi$, где $k, n \in Z$.

2) $\cos 7x - \cos 3x = 3\sin 5x$

Применим к левой части уравнения формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-2\sin\frac{7x+3x}{2}\sin\frac{7x-3x}{2} = 3\sin 5x$

$-2\sin 5x \sin 2x = 3\sin 5x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$-2\sin 5x \sin 2x - 3\sin 5x = 0$

Вынесем общий множитель $-\sin 5x$ за скобки:

$-\sin 5x (2\sin 2x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

а) $\sin 5x = 0$

Решение имеет вид:

$5x = k\pi$, где $k \in Z$.

$x = \frac{k\pi}{5}, k \in Z$.

б) $2\sin 2x + 3 = 0$

$2\sin 2x = -3$

$\sin 2x = -\frac{3}{2}$

$\sin 2x = -1.5$

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$, а $-1.5$ не входит в этот промежуток.

Таким образом, решением исходного уравнения является только серия корней из пункта а).

Ответ: $x = \frac{k\pi}{5}, k \in Z$.

872. 1) $ \cos x \sin 9x = \cos 3x \sin 7x; $

2) $ \sin x \cos 5x = \sin 9x \cos 3x. $

1)

Дано уравнение: $ \cos x \sin 9x = \cos 3x \sin 7x $.

Для решения этого уравнения преобразуем произведения синусов и косинусов в сумму с помощью формулы: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к обеим частям уравнения.

Левая часть: $ \sin 9x \cos x = \frac{1}{2}(\sin(9x + x) + \sin(9x - x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 8x) $.

Правая часть: $ \sin 7x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(7x + 3x) + \sin(7x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 4x) $.

Теперь приравняем полученные выражения:

$ \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 8x) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 4x) $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ \sin 10x + \sin 8x = \sin 10x + \sin 4x $

Вычтем $ \sin 10x $ из обеих частей:

$ \sin 8x = \sin 4x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \sin 8x - \sin 4x = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.

$ 2 \sin\frac{8x - 4x}{2} \cos\frac{8x + 4x}{2} = 0 $

$ 2 \sin 2x \cos 6x = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1. $ \sin 2x = 0 $

Решением этого уравнения является серия: $ 2x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos 6x = 0 $

Решением этого уравнения является серия: $ 6x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Обе серии корней являются решением исходного уравнения.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2}, \; x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{6} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение: $ \sin x \cos 5x = \sin 9x \cos 3x $.

Как и в предыдущем задании, воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Левая часть: $ \sin x \cos 5x = \frac{1}{2}(\sin(x + 5x) + \sin(x - 5x)) = \frac{1}{2}(\sin 6x + \sin(-4x)) $.

Поскольку синус — нечетная функция ($ \sin(-u) = -\sin u $), получаем: $ \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) $.

Правая часть: $ \sin 9x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(9x + 3x) + \sin(9x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $.

Приравниваем преобразованные части:

$ \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $

Умножим обе части на 2:

$ \sin 6x - \sin 4x = \sin 12x + \sin 6x $

Вычтем $ \sin 6x $ из обеих частей:

$ -\sin 4x = \sin 12x $

Перенесем все в одну сторону:

$ \sin 12x + \sin 4x = 0 $

Теперь применим формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

$ 2 \sin\frac{12x + 4x}{2} \cos\frac{12x - 4x}{2} = 0 $

$ 2 \sin 8x \cos 4x = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \sin 8x = 0 $

$ 8x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos 4x = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Проанализируем полученные решения. Вторую серию можно представить в виде $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{2n\pi}{8} = \frac{(2n+1)\pi}{8} $. Эта серия задает все нечетные кратные $ \frac{\pi}{8} $. Первая же серия, $ x = \frac{k\pi}{8} $, задает все целые кратные $ \frac{\pi}{8} $ (и четные, и нечетные). Таким образом, вторая серия решений является подмножеством первой. Поэтому для полного ответа достаточно указать только первую, более общую, серию.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

873. 1) $5 + \sin 2x = 5(\sin x + \cos x);$

2) $2 + 2\cos x = 3\sin x \cos x + 2\sin x.$

1) $5 + \sin 2x = 5(\sin x + \cos x)$

Данное уравнение является симметрическим относительно $\sin x$ и $\cos x$. Для его решения удобно использовать замену переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:

$t^2 = 1 + \sin 2x$

Отсюда выразим $\sin 2x$:

$\sin 2x = t^2 - 1$

Теперь подставим выражения для $\sin x + \cos x$ и $\sin 2x$ в исходное уравнение:

$5 + (t^2 - 1) = 5t$

Упростим и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения:

$t_1 = 1$, $t_2 = 4$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

Случай 1: $t = 4$

$\sin x + \cos x = 4$

Чтобы оценить это уравнение, преобразуем его левую часть методом вспомогательного угла:

$\sqrt{1^2+1^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 4$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

Поскольку $2\sqrt{2} > 1$, а область значений функции синус $[-1, 1]$, данное уравнение не имеет решений.

Случай 2: $t = 1$

$\sin x + \cos x = 1$

Аналогично первому случаю, преобразуем левую часть:

$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решения для аргумента $(x + \frac{\pi}{4})$ имеют вид:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Из первой серии решений получаем:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Из второй серии решений получаем:

$x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2 + 2\cos x = 3\sin x \cos x + 2\sin x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2 + 2\cos x - 2\sin x - 3\sin x \cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2 + 2\cos x) - (2\sin x + 3\sin x \cos x) = 0$

$2(1 + \cos x) - \sin x (2 + 3\cos x) = 0$

Эта группировка не приводит к простому решению. Попробуем использовать универсальную тригонометрическую подстановку через тангенс половинного угла. Пусть $t = \tan(\frac{x}{2})$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Этот метод требует отдельной проверки корней вида $x = \pi + 2\pi n$, так как для них $\tan(\frac{x}{2})$ не определен.

Проверка $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

При $x = \pi$, $\cos x = -1$ и $\sin x = 0$. Подставим в исходное уравнение:

ЛЧ: $2 + 2\cos(\pi) = 2 + 2(-1) = 0$

ПЧ: $3\sin(\pi)\cos(\pi) + 2\sin(\pi) = 3(0)(-1) + 2(0) = 0$

ЛЧ = ПЧ, значит $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ является серией решений.

Использование подстановки

Подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ в исходное уравнение:

$2 + 2\frac{1-t^2}{1+t^2} = 3\frac{2t}{1+t^2}\frac{1-t^2}{1+t^2} + 2\frac{2t}{1+t^2}$

Умножим обе части на $(1+t^2)^2$ для избавления от знаменателей:

$2(1+t^2)^2 + 2(1-t^2)(1+t^2) = 3(2t)(1-t^2) + 2(2t)(1+t^2)$

$2(1+2t^2+t^4) + 2(1-t^4) = 6t(1-t^2) + 4t(1+t^2)$

$2+4t^2+2t^4 + 2-2t^4 = 6t-6t^3 + 4t+4t^3$

$4+4t^2 = 10t - 2t^3$

Перенесем все в левую часть и упростим:

$2t^3 + 4t^2 - 10t + 4 = 0$

$t^3 + 2t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем целые корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена (числа 2): $\pm1, \pm2$.

Проверим $t=1$: $1^3 + 2(1)^2 - 5(1) + 2 = 1+2-5+2=0$. Значит, $t=1$ является корнем.

Разделим многочлен $(t^3 + 2t^2 - 5t + 2)$ на $(t-1)$:

$(t-1)(t^2+3t-2) = 0$

Теперь у нас два уравнения:

1) $t-1=0 \Rightarrow t_1=1$

2) $t^2+3t-2=0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 3^2 - 4(1)(-2) = 9+8=17$

$t_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Итак, мы нашли три значения для $t = \tan(\frac{x}{2})$. Вернемся к переменной $x$.

Случай 1: $\tan(\frac{x}{2}) = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $\tan(\frac{x}{2}) = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$

$\frac{x}{2} = \arctan\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Случай 3: $\tan(\frac{x}{2}) = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$

$\frac{x}{2} = \arctan\left(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan\left(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = 2\arctan\left(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

874. 1) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0;$

2) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0;$

3) $\cos x \cos 3x = -0,5.$

1) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы применить формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$(\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x) = 0$
Применим формулу к каждой группе:
$2\sin\frac{4x+x}{2}\cos\frac{4x-x}{2} + 2\sin\frac{3x+2x}{2}\cos\frac{3x-2x}{2} = 0$
$2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin\frac{5x}{2}$ за скобки:
$2\sin\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}) = 0$
К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$2\sin\frac{5x}{2}(2\cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}) = 0$
$2\sin\frac{5x}{2}(2\cos x \cos\frac{x}{2}) = 0$
$4\sin\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2} = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим три случая:
а) $\sin\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \pi k \implies x = \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
в) $\cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
Все три серии решений являются ответом.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$(\cos 4x + \cos x) + (\cos 3x + \cos 2x) = 0$
$2\cos\frac{4x+x}{2}\cos\frac{4x-x}{2} + 2\cos\frac{3x+2x}{2}\cos\frac{3x-2x}{2} = 0$
$2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{5x}{2}$ за скобки:
$2\cos\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}) = 0$
К выражению в скобках снова применим формулу суммы косинусов:
$2\cos\frac{5x}{2}(2\cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}) = 0$
$2\cos\frac{5x}{2}(2\cos x \cos\frac{x}{2}) = 0$
$4\cos\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2} = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
а) $\cos\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
в) $\cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
Проверим, не является ли одна серия решений подмножеством другой. Решения из серии (в) $x = \pi + 2\pi m$ можно представить в виде $x = \frac{5\pi + 10\pi m}{5} = \frac{\pi(5+10m)}{5}$. Это соответствует серии (а) $x = \frac{\pi(1+2k)}{5}$ при $k = 2+5m$. Таким образом, серия (в) является подмножеством серии (а), и ее можно не включать в ответ отдельно.
Ответ: $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos x \cos 3x = -0,5$

Перепишем уравнение: $\cos x \cos 3x = -\frac{1}{2}$.
Используем формулу произведения косинусов $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$.
$\frac{1}{2}(\cos(3x-x) + \cos(3x+x)) = -\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) = -\frac{1}{2}$
$\cos 2x + \cos 4x = -1$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$.
$\cos 2x + (2\cos^2 2x - 1) = -1$
$2\cos^2 2x + \cos 2x = 0$
Вынесем $\cos 2x$ за скобки:
$\cos 2x (2\cos 2x + 1) = 0$
Рассмотрим два случая:
а) $\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
б) $2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

875.

1) $\text{tg}^2 3x - 4\sin^2 3x = 0;$

2) $\sin x \text{tg} x = \cos x + \text{tg} x;$

3) $\text{ctg}x\left(\text{ctg}x + \frac{1}{\sin x}\right) = 1;$

4) $4\text{ctg}^2 x = 5 - \frac{9}{\sin x}.$

1) $tg^2{3x} - 4sin^2{3x} = 0$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс $tg(3x)$ определен, когда $cos(3x) \neq 0$, то есть $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.
Запишем $tg^2{3x}$ как $\frac{sin^2{3x}}{cos^2{3x}}$:
$\frac{sin^2{3x}}{cos^2{3x}} - 4sin^2{3x} = 0$
Вынесем $sin^2{3x}$ за скобки:
$sin^2{3x} \left( \frac{1}{cos^2{3x}} - 4 \right) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
а) $sin^2{3x} = 0 \implies sin(3x) = 0$
$3x = \pi n$, где $n \in Z$
$x = \frac{\pi n}{3}$
Проверим ОДЗ: при этих значениях $cos(3x) = cos(\pi n) = \pm 1 \neq 0$. Следовательно, эти корни подходят.
б) $\frac{1}{cos^2{3x}} - 4 = 0$
$\frac{1}{cos^2{3x}} = 4 \implies cos^2{3x} = \frac{1}{4}$
$cos(3x) = \pm\frac{1}{2}$
Это равносильно совокупности уравнений:
$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m$ и $3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in Z$.
Эти серии решений можно объединить в более компактную запись: $3x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m$.
$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}$
Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, так как для них $cos(3x) \neq 0$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}$, где $n, m \in Z$.

2) $sin(x)tg(x) = cos(x) + tg(x)$
ОДЗ: $cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем:
$sin(x)tg(x) - tg(x) - cos(x) = 0$
$tg(x)(sin(x) - 1) - cos(x) = 0$
Заменим $tg(x)$ на $\frac{sin(x)}{cos(x)}$:
$\frac{sin(x)}{cos(x)}(sin(x) - 1) - cos(x) = 0$
Умножим обе части уравнения на $cos(x)$, так как по ОДЗ он не равен нулю:
$sin(x)(sin(x) - 1) - cos^2(x) = 0$
$sin^2(x) - sin(x) - cos^2(x) = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2(x) = 1 - sin^2(x)$:
$sin^2(x) - sin(x) - (1 - sin^2(x)) = 0$
$2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0$
Сделаем замену $y = sin(x)$, где $|y| \le 1$. Получим квадратное уравнение:
$2y^2 - y - 1 = 0$
Корни этого уравнения: $y_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$ и $y_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Вернемся к замене:
а) $sin(x) = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Эти значения не удовлетворяют ОДЗ, так как $cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$, поэтому являются посторонними корнями.
б) $sin(x) = -\frac{1}{2}$
$x = (-1)^{m}arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi m = (-1)^{m}(-\frac{\pi}{6}) + \pi m = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in Z$.
При этих значениях $cos(x) \neq 0$, поэтому они являются решениями.
Ответ: $x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in Z$.

3) $ctgx \left( ctgx + \frac{1}{sinx} \right) = 1$
ОДЗ: $sin(x) \neq 0$, так как $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ и в знаменателе есть $sin(x)$. Это значит $x \neq \pi k$, где $k \in Z$.
Раскроем скобки и заменим $ctg(x)$ на $\frac{cos(x)}{sin(x)}$:
$\frac{cos(x)}{sin(x)} \left( \frac{cos(x)}{sin(x)} + \frac{1}{sin(x)} \right) = 1$
$\frac{cos(x)}{sin(x)} \cdot \frac{cos(x)+1}{sin(x)} = 1$
$\frac{cos(x)(cos(x)+1)}{sin^2(x)} = 1$
Умножим обе части на $sin^2(x)$, что допустимо по ОДЗ:
$cos^2(x) + cos(x) = sin^2(x)$
Используем тождество $sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$:
$cos^2(x) + cos(x) = 1 - cos^2(x)$
$2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0$
Сделаем замену $y = cos(x)$, где $|y| \le 1$.
$2y^2 + y - 1 = 0$
Корни уравнения: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.
Вернемся к замене:
а) $cos(x) = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Для этих значений $sin(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Корни удовлетворяют ОДЗ.
б) $cos(x) = -1$
$x = \pi + 2\pi n = \pi(2n+1)$, где $n \in Z$.
Для этих значений $sin(x) = 0$, что не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, это посторонние корни.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

4) $4ctg^2x = 5 - \frac{9}{sinx}$
ОДЗ: $sin(x) \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in Z$.
Используем тригонометрическое тождество $1+ctg^2(x) = \frac{1}{sin^2(x)}$, откуда $ctg^2(x) = \frac{1}{sin^2(x)} - 1$ :
$4\left(\frac{1}{sin^2(x)} - 1\right) = 5 - \frac{9}{sin(x)}$
$\frac{4}{sin^2(x)} - 4 = 5 - \frac{9}{sin(x)}$
Перенесем все в левую часть:
$\frac{4}{sin^2(x)} + \frac{9}{sin(x)} - 9 = 0$
Сделаем замену $y = \frac{1}{sin(x)}$. Так как $|sin(x)| \le 1$ и $sin(x) \neq 0$, то $|y| = |\frac{1}{sin(x)}| \ge 1$.
Получаем квадратное уравнение:
$4y^2 + 9y - 9 = 0$
Найдем корни по формуле:
$y = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(4)(-9)}}{2(4)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 144}}{8} = \frac{-9 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{-9 \pm 15}{8}$
$y_1 = \frac{-9+15}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$y_2 = \frac{-9-15}{8} = \frac{-24}{8} = -3$
Вернемся к замене:
а) $\frac{1}{sin(x)} = \frac{3}{4}$
Этот корень не удовлетворяет условию $|y| \ge 1$, так как $|\frac{3}{4}| < 1$. Если решить дальше, $sin(x) = \frac{4}{3}$, что больше 1, поэтому действительных решений нет.
б) $\frac{1}{sin(x)} = -3$
Этот корень удовлетворяет условию $|-3| \ge 1$.
$sin(x) = -\frac{1}{3}$. Так как $|-\frac{1}{3}| < 1$, решения есть, и они удовлетворяют ОДЗ ($sin(x) \neq 0$).
$x = (-1)^n arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.

876. 1) $tg 2x = 3tg x;$

2) $ctg 2x = 2ctg x;$

3) $tg(x + \frac{\pi}{4}) + tg(x - \frac{\pi}{4}) = 2;$

4) $tg (2x + 1)ctg(x + 1) = 1.$

1) $\tg(2x) = 3\tg x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс определен, если его аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.
$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Первое условие является более строгим и включает в себя второе. Итак, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу тангенса двойного угла: $\tg(2x) = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x}$.
Подставим в исходное уравнение:
$\frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} = 3\tg x$
Перенесем все в левую часть и вынесем $\tg x$ за скобки:
$\frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} - 3\tg x = 0$
$\tg x \left( \frac{2}{1 - \tg^2 x} - 3 \right) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:
1. $\tg x = 0$. Отсюда $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.
2. $\frac{2}{1 - \tg^2 x} - 3 = 0$.
$\frac{2}{1 - \tg^2 x} = 3$
$2 = 3(1 - \tg^2 x)$
$2 = 3 - 3\tg^2 x$
$3\tg^2 x = 1$
$\tg^2 x = \frac{1}{3}$
$\tg x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Отсюда $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Эти значения также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $\ctg(2x) = 2\ctg x$

ОДЗ: Котангенс определен, если его аргумент не равен $\pi n$.
$2x \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Первое условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ является более строгим.

Используем формулу котангенса двойного угла: $\ctg(2x) = \frac{\ctg^2 x - 1}{2\ctg x}$.
Подставим в уравнение:
$\frac{\ctg^2 x - 1}{2\ctg x} = 2\ctg x$
Умножим обе части на $2\ctg x$ (согласно ОДЗ, $\ctg x$ не может быть равен нулю или не определен):
$\ctg^2 x - 1 = 4\ctg^2 x$
$3\ctg^2 x = -1$
$\ctg^2 x = -\frac{1}{3}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корней нет.

3) $\tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 2$

ОДЗ: Аргументы тангенсов не должны быть равны $\frac{\pi}{2} + \pi n$.
$x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Это можно объединить в одно условие: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Применим формулы тангенса суммы и разности: $\tg(a \pm b) = \frac{\tg a \pm \tg b}{1 \mp \tg a \tg b}$. Учитывая, что $\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$:
$\tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg x + 1}{1 - \tg x}$
$\tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x}$
Подставляем в уравнение:
$\frac{\tg x + 1}{1 - \tg x} + \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x} = 2$
Приводим к общему знаменателю $(1 - \tg x)(1 + \tg x) = 1 - \tg^2 x$:
$\frac{(\tg x + 1)(1 + \tg x) + (\tg x - 1)(1 - \tg x)}{1 - \tg^2 x} = 2$
$\frac{(1 + \tg x)^2 - (1 - \tg x)^2}{1 - \tg^2 x} = 2$
В числителе используем формулу разности квадратов: $(1 + \tg x - (1 - \tg x))(1 + \tg x + 1 - \tg x) = (2\tg x)(2) = 4\tg x$.
$\frac{4\tg x}{1 - \tg^2 x} = 2$
Левая часть равна $2 \cdot \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} = 2\tg(2x)$.
$2\tg(2x) = 2$
$\tg(2x) = 1$
$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\tg(2x + 1)\ctg(x + 1) = 1$

ОДЗ:
1. Аргумент тангенса не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$: $2x + 1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
2. Аргумент котангенса не равен $\pi k$: $x + 1 \neq \pi k \implies x \neq -1 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Перепишем уравнение, используя свойство $\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$:
$\frac{\tg(2x + 1)}{\tg(x + 1)} = 1$
При этом должно выполняться условие $\tg(x+1) \neq 0$, что совпадает с ОДЗ для котангенса $x+1 \neq \pi k$. Также должно выполняться условие, что $\tg(x+1)$ определен, т.е. $x+1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$.
Из уравнения следует:
$\tg(2x + 1) = \tg(x + 1)$

Равенство тангенсов $\tg A = \tg B$ выполняется, если $A = B + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.
$2x + 1 = (x + 1) + \pi k$
$2x - x = 1 - 1 + \pi k$
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.
1. $x = \pi k$. Проверяем $x \neq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$. Равенство $\pi k = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$ невозможно, так как в левой части число, кратное $\pi$, а в правой — нет (из-за слагаемого $-\frac{1}{2}$).
2. Проверяем $x \neq -1 + \pi m$. Равенство $\pi k = -1 + \pi m \implies \pi(k-m) = -1$ невозможно для целых $k, m$.
3. Проверяем $x+1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$. $\pi k + 1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies \pi(k-m) \neq \frac{\pi}{2}-1$ невозможно для целых $k, m$.
Все условия ОДЗ выполняются.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

877. Решить графически уравнение:

1) $\cos x = 3x - 1$

2) $\sin x = 0.5x^3$

3) $\cos x = \sqrt{x}$

4) $\cos x = x^2$

1) Решить графически уравнение $cos x = 3x - 1$.

Для решения этого уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \cos x$ и $y = 3x - 1$. Координаты $x$ точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

1. График функции $y = \cos x$ – это косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$. Область значений этой функции – отрезок $[-1, 1]$.

2. График функции $y = 3x - 1$ – это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 3(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• при $x = 1/3$, $y = 3(1/3) - 1 = 0$. Точка $(1/3, 0)$.

Построим эскизы графиков. Так как значения функции $y = \cos x$ не могут быть больше 1 и меньше -1, то точки пересечения могут существовать только там, где $-1 \le 3x - 1 \le 1$. Решим это двойное неравенство:

$0 \le 3x \le 2$

$0 \le x \le 2/3$

Значит, корень уравнения (если он есть) находится на отрезке $[0, 2/3]$.

На этом отрезке функция $y = \cos x$ убывает (от $\cos 0 = 1$ до $\cos(2/3) \approx 0.78$), а функция $y = 3x - 1$ возрастает (от $-1$ до $1$). Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает на рассматриваемом интервале, они могут пересечься не более одного раза.

Проверим значения на концах отрезка:

• При $x=0$: $\cos(0) = 1$, а $3(0)-1 = -1$. График косинуса выше.
• При $x=2/3$: $\cos(2/3) \approx 0.78$, а $3(2/3)-1 = 1$. График прямой выше.

Поскольку на одном конце отрезка график косинуса выше, а на другом — ниже, то графики обязательно пересекутся внутри этого отрезка. Из графика видно, что точка пересечения одна. Ее абсцисса $x$ и есть решение уравнения. Приблизительное значение можно найти, подставив $x \approx 0.6$. $\cos(0.6) \approx 0.825$, а $3(0.6)-1 = 0.8$. Значения близки, так что $x \approx 0.6$ является хорошим приближением.

Ответ: $x \approx 0.6$.

2) Решить графически уравнение $\sin x = 0,5x^3$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sin x$ и $y = 0.5x^3$.

1. График функции $y = \sin x$ – это синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$. Функция является нечетной ($\sin(-x) = -\sin x$).

2. График функции $y = 0.5x^3$ – это кубическая парабола. Она проходит через начало координат $(0, 0)$ и также является нечетной ($0.5(-x)^3 = -0.5x^3$).

Поскольку обе функции нечетные и проходят через начало координат, точка $(0,0)$ является точкой их пересечения, следовательно, $x=0$ – один из корней уравнения.

Из-за нечетности обеих функций их графики симметричны относительно начала координат. Поэтому, если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем. Достаточно найти положительные корни.

Ищем корни при $x > 0$. Значения функции $y = \sin x$ лежат в пределах $[-1, 1]$, поэтому нас интересуют значения $x$, для которых $|0.5x^3| \le 1$, что дает $x^3 \le 2$, или $x \le \sqrt[3]{2} \approx 1.26$.

Рассмотрим поведение функций при $x > 0$. При малых $x$ (вблизи нуля) $\sin x \approx x$, а $0.5x^3$ растет медленнее, чем $x$. Поэтому сразу после нуля график синуса лежит выше графика кубической параболы. Однако при $x = \sqrt[3]{2}$, $\sin(\sqrt[3]{2}) \approx \sin(1.26) \approx 0.95$, а $0.5(\sqrt[3]{2})^3 = 1$. Здесь график параболы уже выше. Это означает, что на интервале $(0, \sqrt[3]{2})$ есть точка пересечения.

Из эскиза графиков видно, что кроме $x=0$, есть еще две симметричные точки пересечения. Положительный корень находится между 1 и 1.26. Подбирая значение, находим $x \approx 1.2$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 \approx 1.2, x_3 \approx -1.2$.

3) Решить графически уравнение $\cos x = \sqrt{x}$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = \sqrt{x}$.

1. График функции $y = \cos x$ – косинусоида.

2. График функции $y = \sqrt{x}$ – ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения функции $x \ge 0$.

Так как область определения $y = \sqrt{x}$ есть $x \ge 0$, решения могут быть только неотрицательными. Также, $\sqrt{x} \ge 0$, поэтому $\cos x$ тоже должен быть неотрицательным. Кроме того, значения $\cos x$ не превышают 1, поэтому $\sqrt{x} \le 1$, что означает $x \le 1$. Таким образом, решение должно находиться на отрезке $[0, 1]$.

На отрезке $[0, 1]$ функция $y = \cos x$ является убывающей (от $\cos 0 = 1$ до $\cos 1 \approx 0.54$). Функция $y = \sqrt{x}$ на этом же отрезке является возрастающей (от $\sqrt{0} = 0$ до $\sqrt{1} = 1$).

Поскольку на отрезке $[0, 1]$ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, они могут пересечься не более одного раза. При $x=0$, $\cos 0 = 1$, а $\sqrt{0} = 0$. График косинуса выше. При $x=1$, $\cos 1 \approx 0.54$, а $\sqrt{1} = 1$. График корня выше. Следовательно, на интервале $(0, 1)$ существует ровно одна точка пересечения.

Из графика видно, что абсцисса точки пересечения примерно равна $x \approx 0.65$.

Ответ: $x \approx 0.65$.

4) Решить графически уравнение $\cos x = x^2$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = \cos x$ – косинусоида. Это четная функция, ее график симметричен относительно оси Oy.

2. График функции $y = x^2$ – парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Это также четная функция, ее график симметричен относительно оси Oy.

Поскольку обе функции четные, если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем. Поэтому достаточно найти решения для $x \ge 0$.

Ищем решения при $x \ge 0$. Так как значения $\cos x$ не превышают 1, то и $x^2 \le 1$, что для $x \ge 0$ дает $0 \le x \le 1$.

Рассмотрим отрезок $[0, 1]$. При $x=0$: $\cos 0 = 1$, а $0^2 = 0$. График косинуса выше. При $x=1$: $\cos 1 \approx 0.54$, а $1^2 = 1$. График параболы выше.

На интервале $(0, 1)$ функция $y=\cos x$ убывает, а функция $y=x^2$ возрастает. Следовательно, на этом интервале они пересекаются ровно один раз.

Из графика видно, что есть одна точка пересечения для $x > 0$. Ее абсцисса $x \approx 0.82$. В силу симметрии графиков относительно оси Oy, существует и вторая точка пересечения с абсциссой $x \approx -0.82$. Всего два решения.

Ответ: $x_1 \approx 0.82, x_2 \approx -0.82$.

Решить уравнение (878–881).

878. 1) $\cos\sqrt{2-x^2}. = \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $\sin\frac{5\pi}{4}x = x^2 - 4x + 5.$

1) Решим уравнение $\cos\sqrt{2-x^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 2$
$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Теперь решим само уравнение. Пусть $t = \sqrt{2-x^2}$. Уравнение принимает вид $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения: $t = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
По определению, $t = \sqrt{2-x^2}$ должно быть неотрицательным. Также, исходя из ОДЗ для $x$, найдем область значений для $t$:
Если $x=0$, то $t = \sqrt{2-0} = \sqrt{2}$.
Если $x=\pm\sqrt{2}$, то $t = \sqrt{2-2} = 0$.
Следовательно, $0 \le t \le \sqrt{2}$.
Теперь нам нужно выбрать такие целые значения $k$, чтобы решения $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ попали в отрезок $[0, \sqrt{2}]$.
Приближенные значения: $\pi \approx 3.14159$, $\sqrt{2} \approx 1.414$.
$\frac{\pi}{6} \approx 0.524$.
Рассмотрим случаи:
1. $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=0$, $t = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le t \le \sqrt{2}$.
При $k \ge 1$, $t$ будет больше $\sqrt{2}$. При $k \le -1$, $t$ будет отрицательным.
2. $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=0$, $t = -\frac{\pi}{6} < 0$, что не подходит.
При $k \ge 1$, $t$ будет больше $\sqrt{2}$. При $k \le -1$, $t$ будет отрицательным.
Таким образом, единственное подходящее значение для $t$ это $t = \frac{\pi}{6}$.
Вернемся к переменной $x$:
$\sqrt{2-x^2} = \frac{\pi}{6}$
Возведем обе части в квадрат:
$2-x^2 = \left(\frac{\pi}{6}\right)^2$
$2-x^2 = \frac{\pi^2}{36}$
$x^2 = 2 - \frac{\pi^2}{36}$
$x^2 = \frac{72 - \pi^2}{36}$
$x = \pm \sqrt{\frac{72 - \pi^2}{36}} = \pm \frac{\sqrt{72 - \pi^2}}{6}$.
Эти значения принадлежат ОДЗ, так как $x^2 = 2 - \frac{\pi^2}{36} < 2$.
Ответ: $x = \pm \frac{\sqrt{72 - \pi^2}}{6}$.

2) Решим уравнение $\sin\frac{5\pi}{4}x = x^2 - 4x + 5$.
Этот тип уравнений решается методом оценки. Оценим левую и правую части уравнения.
1. Левая часть: $\sin\frac{5\pi}{4}x$.
Область значений функции синуса - отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого $x$:
$-1 \le \sin\frac{5\pi}{4}x \le 1$.
2. Правая часть: $x^2 - 4x + 5$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, выделив полный квадрат:
$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
Поскольку $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x - 2)^2 + 1$ равно 1 (достигается при $x=2$).
Следовательно, для любого $x$:
$x^2 - 4x + 5 \ge 1$.
Итак, мы имеем:
Левая часть уравнения не превосходит 1, а правая часть не меньше 1. Равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1.
Это эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} \sin\frac{5\pi}{4}x = 1 \\ x^2 - 4x + 5 = 1 \end{cases}$
Решим второе уравнение:
$x^2 - 4x + 5 = 1$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
$x = 2$.
Теперь подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:
$\sin\left(\frac{5\pi}{4} \cdot 2\right) = \sin\left(\frac{10\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
Первое уравнение выполняется. Следовательно, $x=2$ является единственным решением исходного уравнения.
Ответ: $2$.

879. 1) $ \cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = 2\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right); $

2) $ \operatorname{ctg} x + \sin 2x = \operatorname{ctg} 3x. $

1) $\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = 2\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Сначала упростим правую часть уравнения, используя формулу произведения тригонометрических функций $2\cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)$.

Пусть $\alpha = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$. Тогда:

$\alpha + \beta = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) + (\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{x+3x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$.

$\alpha - \beta = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) - (\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{x-3x}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{-2x}{2} + \frac{2\pi}{4} = -x + \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, правая часть уравнения равна:

$2\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin(2x) - \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, получаем:

$\sin(2x) - \cos x$.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = \sin 2x - \cos x$.

Сократим $\sin 2x$ в обеих частях и перенесем все слагаемые в левую часть:

$\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \cos x = 0$

$\cos^3 x - 3\cos^2 x + 2\cos x = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos^2 x - 3\cos x + 2) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1. $\cos x = 0$

2. $\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0$

Решим второе уравнение. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Корень $t_2=2$ не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.

Возвращаемся к переменной $x$. Получаем совокупность уравнений:

$\cos x = 0$ или $\cos x = 1$.

Из $\cos x = 0$ находим решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos x = 1$ находим решения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg } x + \sin 2x = \text{ctg } 3x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Котангенс определен, если его аргумент не кратен $\pi$.

$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

$\sin 3x \neq 0 \implies 3x \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Второе условие является более строгим и включает в себя первое. Итак, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение:

$\sin 2x = \text{ctg } 3x - \text{ctg } x$.

Воспользуемся формулой разности котангенсов: $\text{ctg } \alpha - \text{ctg } \beta = \frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin\alpha\sin\beta}$.

$\sin 2x = \frac{\sin(x-3x)}{\sin 3x \sin x} = \frac{\sin(-2x)}{\sin 3x \sin x} = -\frac{\sin 2x}{\sin 3x \sin x}$.

Перенесем все в левую часть:

$\sin 2x + \frac{\sin 2x}{\sin 3x \sin x} = 0$.

Вынесем $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x \left(1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x}\right) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\sin 2x = 0$

2. $1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x} = 0$

Рассмотрим первый случай: $\sin 2x = 0$.

$2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($x \neq \frac{\pi n}{3}$).

Если $m$ — четное число, т.е. $m=2j$, то $x = \frac{\pi(2j)}{2} = \pi j$. Эти значения не входят в ОДЗ, так как при $n=3j$ имеем $x = \frac{\pi (3j)}{3} = \pi j$.

Если $m$ — нечетное число, т.е. $m=2j+1$, то $x = \frac{\pi(2j+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi j$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\sin x = \pm 1 \neq 0$ и $\sin 3x = \sin(\frac{3\pi}{2} + 3\pi j) = \mp 1 \neq 0$.

Таким образом, из первого случая получаем решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй случай: $1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x} = 0$.

$\sin 3x \sin x = -1$.

Поскольку значения синуса находятся в диапазоне $[-1, 1]$, произведение двух синусов равно -1 только в двух ситуациях:

А) $\sin 3x = 1$ и $\sin x = -1$.

Из $\sin x = -1$ следует $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Подставим в первое уравнение: $\sin(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \sin(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$. Эта серия решений подходит.

Б) $\sin 3x = -1$ и $\sin x = 1$.

Из $\sin x = 1$ следует $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Подставим в первое уравнение: $\sin(3(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Эта серия решений также подходит.

Объединяя решения из А) и Б), получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения из первого и второго случаев совпадают.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

880. 1) $ \sin x + \cos x = \sqrt{1 + \operatorname{tg}x} $;

2) $ \sqrt{5\sin2x - 2} = \sin x - \cos x $.

1) $ \sin x + \cos x = \sqrt{1 + \tg x} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.
1. Выражение под знаком тангенса: $ \cos x \neq 0 $, что означает $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
2. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $ 1 + \tg x \ge 0 \implies \tg x \ge -1 $.
3. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому левая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $ \sin x + \cos x \ge 0 $.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sin x + \cos x)^2 = 1 + \tg x $

Раскроем скобки в левой части и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ 2\sin x \cos x = \sin(2x) $:
$ \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \tg x $
$ 1 + \sin(2x) = 1 + \tg x $
$ \sin(2x) = \tg x $

Заменим $ \sin(2x) $ и $ \tg x $ через функции от $ x $:
$ 2\sin x \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} $

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $ \sin x $:
$ 2\sin x \cos x - \frac{\sin x}{\cos x} = 0 $
$ \sin x \left(2\cos x - \frac{1}{\cos x}\right) = 0 $

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
а) $ \sin x = 0 $
б) $ 2\cos x - \frac{1}{\cos x} = 0 $

Решим каждое уравнение и проверим корни по ОДЗ.
а) $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Проверка по ОДЗ:
- $ \tg(\pi n) = 0 \ge -1 $. (Верно)
- Для $ x = 2\pi k $ (четные $ n $): $ \sin(2\pi k) + \cos(2\pi k) = 0 + 1 = 1 \ge 0 $. (Подходит)
- Для $ x = \pi + 2\pi k $ (нечетные $ n $): $ \sin(\pi + 2\pi k) + \cos(\pi + 2\pi k) = 0 - 1 = -1 < 0 $. (Не подходит)
Таким образом, из этого случая получаем решения: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ 2\cos x - \frac{1}{\cos x} = 0 \implies 2\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2} $.
Отсюда $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ или $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Проверка по ОДЗ:
- Условие $ \tg x \ge -1 $. Если $ \cos^2 x = 1/2 $, то $ \sin^2 x = 1/2 $. Тогда $ \tg^2 x = 1 $, и $ \tg x = \pm 1 $. Оба значения удовлетворяют условию $ \tg x \ge -1 $.
- Условие $ \sin x + \cos x \ge 0 $.
- Для $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $: $ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 0 $. (Подходит)
- Для $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $: $ \sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \ge 0 $. (Подходит)
- Для $ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $: $ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \ge 0 $. (Подходит)
- Для $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $: $ \sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0 $. (Не подходит)
Решения $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $ и $ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $ можно объединить в одну серию $ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k; \quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \quad x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}. $

2) $ \sqrt{5\sin(2x) - 2} = \sin x - \cos x $

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
1. Выражение под корнем неотрицательно: $ 5\sin(2x) - 2 \ge 0 \implies \sin(2x) \ge \frac{2}{5} $.
2. Правая часть уравнения неотрицательна: $ \sin x - \cos x \ge 0 $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ 5\sin(2x) - 2 = (\sin x - \cos x)^2 $

Преобразуем правую часть:
$ 5\sin(2x) - 2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x $
Используя $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и $ 2\sin x \cos x = \sin(2x) $, получаем:
$ 5\sin(2x) - 2 = 1 - \sin(2x) $

Решим полученное уравнение относительно $ \sin(2x) $:
$ 6\sin(2x) = 3 $
$ \sin(2x) = \frac{1}{2} $

Проверим первое условие ОДЗ: $ \sin(2x) \ge \frac{2}{5} $.
Так как $ \frac{1}{2} = 0.5 $, а $ \frac{2}{5} = 0.4 $, то условие $ 0.5 \ge 0.4 $ выполняется.

Теперь найдем значения $ x $. Из $ \sin(2x) = \frac{1}{2} $ следует:
$ 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad $ или $ \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Отсюда получаем две серии решений для $ x $:
а) $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k $
б) $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi k $

Проверим эти решения по второму условию ОДЗ: $ \sin x - \cos x \ge 0 $, что эквивалентно $ \sin x \ge \cos x $. Это неравенство верно на промежутке $ \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z} $.
а) Проверяем серию $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k $:
- При $ k=2n $ (четное): $ x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n $. Угол $ \frac{\pi}{12} $ не попадает в интервал $ [\pi/4, 5\pi/4] $, так как $ \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{4} $. Для этих корней $ \sin x < \cos x $. Решения посторонние.
- При $ k=2n+1 $ (нечетное): $ x = \frac{\pi}{12} + \pi(2n+1) = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n $. Угол $ \frac{13\pi}{12} $ попадает в интервал $ [\pi/4, 5\pi/4] $. Эти решения подходят.

б) Проверяем серию $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi k $:
- При $ k=2n $ (четное): $ x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n $. Угол $ \frac{5\pi}{12} $ попадает в интервал $ [\pi/4, 5\pi/4] $. Эти решения подходят.
- При $ k=2n+1 $ (нечетное): $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi(2n+1) = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n $. Угол $ \frac{17\pi}{12} $ не попадает в интервал $ [\pi/4, 5\pi/4] $, так как $ \frac{17\pi}{12} > \frac{5\pi}{4} $. Для этих корней $ \sin x < \cos x $. Решения посторонние.

Итак, окончательные серии решений:
$ x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k $
$ x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k $

Ответ: $ x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k; \quad x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}. $

881. 1) $\frac{2\sin x}{\cos x - \cos 3x} - \frac{1}{3} = 4\sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

2) $\frac{\sin 3x - 2\cos 2x - 1}{1 - \sin x} = |\sin x|.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{2\sin x}{\cos x - \cos 3x} - \frac{1}{3} = 4\sin^2(x + \frac{\pi}{4}) $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$ \cos x - \cos 3x \neq 0 $.

Используем формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} \neq 0 $

$ -2\sin(2x)\sin(-x) \neq 0 $

$ 2\sin(2x)\sin x \neq 0 $.

Отсюда получаем, что $ \sin x \neq 0 $ и $ \sin(2x) \neq 0 $.

$ \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

$ \sin(2x) \neq 0 \implies 2x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя найденное выражение для знаменателя:

$ \frac{2\sin x}{2\sin(2x)\sin x} - \frac{1}{3} = \frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{3} $.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} $:

$ 4\sin^2(x + \frac{\pi}{4}) = 4 \cdot \frac{1 - \cos(2(x + \frac{\pi}{4}))}{2} = 2(1 - \cos(2x + \frac{\pi}{2})) $.

Используя формулу приведения $ \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha $, получаем:

$ 2(1 - (-\sin(2x))) = 2(1 + \sin(2x)) $.

Теперь уравнение принимает вид:

$ \frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{3} = 2 + 2\sin(2x) $.

Сделаем замену $ t = \sin(2x) $. Учитывая ОДЗ, $ t \neq 0 $. Также $ |t| \le 1 $.

$ \frac{1}{t} - \frac{1}{3} = 2 + 2t $.

Умножим обе части на $ 3t $ (так как $ t \neq 0 $):

$ 3 - t = 6t(1 + t) $

$ 3 - t = 6t + 6t^2 $.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 6t^2 + 7t - 3 = 0 $.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $.

$ t_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.

$ t_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} $.

Корень $ t_2 = -1.5 $ не удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $, поэтому он является посторонним.

Остается один корень $ t = \frac{1}{3} $, который удовлетворяет условиям $ t \neq 0 $ и $ |t| \le 1 $.

Возвращаемся к исходной переменной:

$ \sin(2x) = \frac{1}{3} $.

Решения этого уравнения:

$ 2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Данные решения не совпадают с ограничениями ОДЗ ($ x \neq \frac{\pi m}{2} $), так как $ \arcsin(\frac{1}{3}) $ не является рациональным кратным $ \pi $.

Ответ: $ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{\sin 3x - 2\cos 2x - 1}{1 - \sin x} = |\sin x| $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$ 1 - \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 1 $.

Следовательно, $ x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Преобразуем числитель дроби. Используем формулу синуса тройного угла $ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $ и косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:

$ \sin 3x - 2\cos 2x - 1 = (3\sin x - 4\sin^3 x) - 2(1 - 2\sin^2 x) - 1 $

$ = 3\sin x - 4\sin^3 x - 2 + 4\sin^2 x - 1 $

$ = -4\sin^3 x + 4\sin^2 x + 3\sin x - 3 $.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$ (-4\sin^3 x + 4\sin^2 x) + (3\sin x - 3) = -4\sin^2 x(\sin x - 1) + 3(\sin x - 1) $

$ = (3 - 4\sin^2 x)(\sin x - 1) $.

Подставим преобразованный числитель обратно в уравнение:

$ \frac{(3 - 4\sin^2 x)(\sin x - 1)}{1 - \sin x} = |\sin x| $.

Так как $ \sin x \neq 1 $, то $ \sin x - 1 \neq 0 $. Можем сократить дробь на $ (1 - \sin x) $, при этом $ \frac{\sin x - 1}{1 - \sin x} = -1 $:

$ -(3 - 4\sin^2 x) = |\sin x| $

$ 4\sin^2 x - 3 = |\sin x| $.

Пусть $ y = |\sin x| $. Тогда $ \sin^2 x = |\sin x|^2 = y^2 $. Уравнение принимает вид:

$ 4y^2 - y - 3 = 0 $.

По определению модуля, $ y \ge 0 $. Также, так как $ y=|\sin x| $, то $ y \le 1 $. Итак, $ 0 \le y \le 1 $.

Решаем квадратное уравнение относительно $ y $:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $.

$ y_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 $.

$ y_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} $.

Корень $ y_2 = -3/4 $ не удовлетворяет условию $ y \ge 0 $, поэтому он посторонний.

Остается единственный корень $ y = 1 $, который удовлетворяет условию $ 0 \le y \le 1 $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ |\sin x| = 1 $.

Это равенство означает, что $ \sin x = 1 $ или $ \sin x = -1 $.

1. Если $ \sin x = 1 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти корни не удовлетворяют ОДЗ ($ \sin x \neq 1 $).

2. Если $ \sin x = -1 $, то $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, решениями уравнения являются только значения из второго случая.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

882. Найти все корни уравнения $\cos x + (1 + \cos x)\mathrm{tg}^2 x - 1 = 0$, удовлетворяющие неравенству $\mathrm{tg} x > 0$.

Дано уравнение $\cos x + (1 + \cos x)\mathrm{tg}^2 x - 1 = 0$ и условие $\mathrm{tg} x > 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Тангенс определен, если его знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем исходное уравнение. Используем тригонометрическое тождество $\mathrm{tg}^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}$.

$\cos x + (1 + \cos x)\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} - 1 = 0$

Заметим, что $1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$. Подставим это в уравнение:

$\cos x + \frac{(1 + \cos x)(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x} - 1 = 0$

$\cos x + \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)^2}{\cos^2 x} - 1 = 0$

Умножим все члены уравнения на $\cos^2 x$, чтобы избавиться от знаменателя (мы уже учли, что $\cos x \neq 0$):

$\cos^3 x + (1 - \cos x)(1 + \cos x)^2 - \cos^2 x = 0$

Раскроем скобки:

$(1 + \cos x)^2 = 1 + 2\cos x + \cos^2 x$

$(1 - \cos x)(1 + 2\cos x + \cos^2 x) = 1 + 2\cos x + \cos^2 x - \cos x - 2\cos^2 x - \cos^3 x = 1 + \cos x - \cos^2 x - \cos^3 x$

Подставим это обратно в уравнение:

$\cos^3 x + (1 + \cos x - \cos^2 x - \cos^3 x) - \cos^2 x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(\cos^3 x - \cos^3 x) + (-\cos^2 x - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$

$-2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $t = \cos x$. При этом $|t| \le 1$.

$2t^2 - t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$. Получаем два случая:

1) $\cos x = 1$

2) $\cos x = -1/2$

Теперь необходимо проверить, какие из этих корней удовлетворяют дополнительному условию $\mathrm{tg} x > 0$.

Случай 1: $\cos x = 1$.

Если $\cos x = 1$, то $\sin x = 0$. Тогда $\mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0}{1} = 0$. Условие $\mathrm{tg} x > 0$ не выполняется, так как $0$ не больше $0$. Следовательно, корни этого случая ($x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$) не являются решениями задачи.

Случай 2: $\cos x = -1/2$.

Общее решение для этого уравнения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Условие $\mathrm{tg} x > 0$ означает, что $\sin x$ и $\cos x$ должны иметь одинаковые знаки. Поскольку у нас $\cos x = -1/2$ (отрицательное значение), нам нужно, чтобы и $\sin x$ был отрицательным. Это соответствует углам, находящимся в III координатной четверти.

Рассмотрим две серии корней:

- $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Эти углы находятся во II координатной четверти, где $\sin x > 0$. Для этих углов $\mathrm{tg} x < 0$. Эта серия корней нам не подходит.

- $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Эти углы находятся в III координатной четверти (например, при $n=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$). Здесь $\sin x < 0$, и, следовательно, $\mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} > 0$. Эта серия корней удовлетворяет всем условиям задачи.

Таким образом, единственными решениями, удовлетворяющими всем условиям, являются $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

883. Найти все корни уравнения $\sin^4 x + \sin^4 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin^2 \frac{25\pi}{6}$,

удовлетворяющие неравенству $\lg(x - \sqrt{2x + 23}) > 0$.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно решить тригонометрическое уравнение, а затем из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют логарифмическому неравенству.

1. Решение уравнения $ \sin^4 x + \sin^4(x + \frac{\pi}{4}) = \sin^2 \frac{25\pi}{6} $

Сначала упростим правую часть уравнения.
$ \sin \frac{25\pi}{6} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ \sin^2 \frac{25\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $.
Уравнение принимает вид: $ \sin^4 x + \sin^4(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4} $.

Теперь преобразуем левую часть, используя формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.
$ \sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (\frac{1 - \cos(2x)}{2})^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} $.
Для второго слагаемого: $ \sin^4(x + \frac{\pi}{4}) = (\frac{1 - \cos(2(x + \frac{\pi}{4}))}{2})^2 = (\frac{1 - \cos(2x + \frac{\pi}{2})}{2})^2 $.
Используя формулу приведения $ \cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2x) $, получаем:
$ \sin^4(x + \frac{\pi}{4}) = (\frac{1 - (-\sin(2x))}{2})^2 = (\frac{1 + \sin(2x)}{2})^2 = \frac{1 + 2\sin(2x) + \sin^2(2x)}{4} $.

Подставим полученные выражения в уравнение:
$ \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} + \frac{1 + 2\sin(2x) + \sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4} $.
Умножим обе части на 4:
$ 1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x) + 1 + 2\sin(2x) + \sin^2(2x) = 1 $.
Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $:
$ 2 + 2\sin(2x) - 2\cos(2x) + (\sin^2(2x) + \cos^2(2x)) = 1 $.
$ 2 + 2\sin(2x) - 2\cos(2x) + 1 = 1 $.
$ 3 + 2\sin(2x) - 2\cos(2x) = 1 $.
$ 2\sin(2x) - 2\cos(2x) = -2 $.
$ \cos(2x) - \sin(2x) = 1 $.

Для решения уравнения вида $ a\cos\alpha + b\sin\alpha = c $ применим метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
$ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Заменим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на $ \cos\frac{\pi}{4} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} $:
$ \cos\frac{\pi}{4}\cos(2x) - \sin\frac{\pi}{4}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
По формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $:
$ \cos(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это уравнение распадается на два семейства решений:
1) $ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
2) $ 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: Корнями уравнения являются $ x = \pi k $ и $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

2. Решение неравенства $ \lg(x - \sqrt{2x + 23}) > 0 $

По определению десятичного логарифма, неравенство $ \lg(A) > 0 $ равносильно системе:
$ \begin{cases} A > 1 \\ \end{cases} $
В нашем случае $ A = x - \sqrt{2x + 23} $, поэтому получаем:
$ x - \sqrt{2x + 23} > 1 $.
Перенесем 1 в левую часть:
$ x - 1 > \sqrt{2x + 23} $.

Данное иррациональное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} 2x + 23 \geq 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x - 1 > 0 & \text{(левая часть больше правой, которая неотрицательна)} \\ (x - 1)^2 > 2x + 23 & \text{(возведение в квадрат обеих частей)} \end{cases} $

Решим систему:
1) $ 2x + 23 \geq 0 \implies 2x \geq -23 \implies x \geq -11.5 $.
2) $ x - 1 > 0 \implies x > 1 $.
3) $ x^2 - 2x + 1 > 2x + 23 \implies x^2 - 4x - 22 > 0 $.

Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 4x - 22 = 0 $:
$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 16 + 88 = 104 $.
$ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{104}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 2 \pm \sqrt{26} $.
Решением неравенства $ x^2 - 4x - 22 > 0 $ является $ x \in (-\infty; 2 - \sqrt{26}) \cup (2 + \sqrt{26}; +\infty) $.

Теперь найдем пересечение решений всех трех условий:
$ \begin{cases} x \geq -11.5 \\ x > 1 \\ x \in (-\infty; 2 - \sqrt{26}) \cup (2 + \sqrt{26}; +\infty) \end{cases} $
Оценим значения корней: $ 5 < \sqrt{26} < 6 $, поэтому $ 2 - \sqrt{26} < 0 $ и $ 2 + \sqrt{26} > 7 $.
Условие $ x \in (-\infty; 2 - \sqrt{26}) $ несовместимо с $ x > 1 $.
Таким образом, решением системы является $ x > 2 + \sqrt{26} $.

Ответ: Решением неравенства является $ x \in (2 + \sqrt{26}; +\infty) $.

3. Отбор корней

Найдем те корни уравнения, которые удовлетворяют условию $ x > 2 + \sqrt{26} $.
Оценим правую часть: $ \sqrt{25} < \sqrt{26} < \sqrt{36} $, т.е. $ 5 < \sqrt{26} < 6 $.
$ 2 + 5 < 2 + \sqrt{26} < 2 + 6 $, то есть $ 7 < 2 + \sqrt{26} < 8 $.
Используем также $ \pi \approx 3.14 $.

Рассмотрим первую серию корней $ x = \pi k $:
$ \pi k > 2 + \sqrt{26} $.
$ k > \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} $.
Поскольку $ 7 < 2 + \sqrt{26} < 8 $ и $ \pi \approx 3.14 $, то $ \frac{7}{3.14} < \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} < \frac{8}{3.14} $, что дает $ 2.23 < \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} < 2.55 $.
Так как $ k $ — целое число, то наименьшее значение $ k $, удовлетворяющее этому условию, равно 3.
Следовательно, подходят корни $ x = \pi k $ при $ k \in \mathbb{Z}, k \geq 3 $.

Рассмотрим вторую серию корней $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $:
$ -\frac{\pi}{4} + \pi n > 2 + \sqrt{26} $.
$ \pi n > 2 + \sqrt{26} + \frac{\pi}{4} $.
$ n > \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} + \frac{1}{4} $.
Используя полученную ранее оценку, $ 2.23 < \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} < 2.55 $.
$ 2.23 + 0.25 < n < 2.55 + 0.25 $, то есть $ 2.48 < n < 2.8 $.
Так как $ n $ — целое число, то наименьшее значение $ n $, удовлетворяющее этому условию, равно 3.
Следовательно, подходят корни $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $ при $ n \in \mathbb{Z}, n \geq 3 $.

Ответ: $ \pi k, k \in \mathbb{Z}, k \geq 3 $; $ -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}, n \geq 3 $.