Номер 869, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 869, страница 331.

Условие.

869. 1) $ \sin^3 x + \cos^3 x = 0; $

2) $ 2\sin^2 x + \sin^2 2x = 2; $

3) $ 8\sin x \cos 2x \cos x = \sqrt{3}; $

4) $ 4\sin x \cos x \cos 2x = \cos 4x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)Исходное уравнение: $ \sin^3 x + \cos^3 x = 0 $
Это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. Перенесем $ \cos^3 x $ в правую часть:
$ \sin^3 x = -\cos^3 x $
Разделим обе части уравнения на $ \cos^3 x $. Это возможно, так как если $ \cos x = 0 $, то из исходного уравнения следовало бы, что и $ \sin x = 0 $, что невозможно одновременно, так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.
$ \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} = -1 $
$ \text{tg}^3 x = -1 $
Извлекаем кубический корень:
$ \text{tg} x = -1 $
Находим общее решение для $ x $:
$ x = \text{arctg}(-1) + \pi n, n \in Z $
$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $

2)Исходное уравнение: $ 2\sin^2 x + \sin^2 2x = 2 $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ и основное тригонометрическое тождество $ 2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $.
$ 2\sin^2 x + (2\sin x \cos x)^2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $
$ 2\sin^2 x + 4\sin^2 x \cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x $
Вычтем $ 2\sin^2 x $ из обеих частей:
$ 4\sin^2 x \cos^2 x = 2\cos^2 x $
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:
$ 4\sin^2 x \cos^2 x - 2\cos^2 x = 0 $
$ 2\cos^2 x (2\sin^2 x - 1) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $ \cos^2 x = 0 $
$ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $
Случай 2: $ 2\sin^2 x - 1 = 0 $
$ \sin^2 x = \frac{1}{2} $
Можно решить это уравнение, используя формулу понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} $:
$ \frac{1-\cos 2x}{2} = \frac{1}{2} $
$ 1 - \cos 2x = 1 $
$ \cos 2x = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $
Объединяя решения, получаем два семейства корней.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $

3)Исходное уравнение: $ 8\sin x \cos 2x \cos x = \sqrt{3} $
Сгруппируем множители и используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.
$ 4 \cdot (2\sin x \cos x) \cdot \cos 2x = \sqrt{3} $
$ 4 \sin 2x \cos 2x = \sqrt{3} $
Еще раз применим формулу синуса двойного угла для аргумента $ 2x $:
$ 2 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) = \sqrt{3} $
$ 2 \sin(2 \cdot 2x) = \sqrt{3} $
$ 2 \sin 4x = \sqrt{3} $
$ \sin 4x = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Находим общее решение для $ 4x $:
$ 4x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, k \in Z $
$ 4x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $
Разделим на 4, чтобы найти $ x $:
$ x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z $
Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z $

4)Исходное уравнение: $ 4\sin x \cos x \cos 2x = \cos 4x $
Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла.
$ 2 \cdot (2\sin x \cos x) \cdot \cos 2x = \cos 4x $
$ 2 \sin 2x \cos 2x = \cos 4x $
Снова применяем формулу синуса двойного угла, теперь для аргумента $ 2x $:
$ \sin(2 \cdot 2x) = \cos 4x $
$ \sin 4x = \cos 4x $
Разделим обе части на $ \cos 4x $. Это возможно, так как если $ \cos 4x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin 4x = 0 $, что не может быть верным одновременно.
$ \frac{\sin 4x}{\cos 4x} = 1 $
$ \text{tg} 4x = 1 $
Находим общее решение для $ 4x $:
$ 4x = \text{arctg}(1) + \pi n, n \in Z $
$ 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $
Разделим на 4, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $