Номер 868, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 868, страница 331.

Условие.

868. 1) $4\sin^4 x + \sin^2 2x = 2;$

2) $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано уравнение $4\sin^4 x + \sin^2 2x = 2$.

Для решения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.

Преобразуем член $4\sin^4 x$:

$4\sin^4 x = 4(\sin^2 x)^2 = 4\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 = 4\frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = (1 - \cos 2x)^2 = 1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x) + \sin^2 2x = 2$.

Сгруппируем члены $\cos^2 2x$ и $\sin^2 2x$ и применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:

$1 - 2\cos 2x + (\cos^2 2x + \sin^2 2x) = 2$

$1 - 2\cos 2x + 1 = 2$

$2 - 2\cos 2x = 2$

Вычтем 2 из обеих частей:

$-2\cos 2x = 0$

$\cos 2x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}$.

Для удобства введем замену: пусть $y = \frac{x}{3}$. Уравнение примет вид:

$\sin^4 y + \cos^4 y = \frac{5}{8}$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат. Для этого используем тождество $a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2$:

$\sin^4 y + \cos^4 y = (\sin^2 y + \cos^2 y)^2 - 2\sin^2 y \cos^2 y$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, получаем:

$1^2 - 2\sin^2 y \cos^2 y = 1 - 2(\sin y \cos y)^2$

Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2\sin y \cos y$, откуда $\sin y \cos y = \frac{\sin 2y}{2}$:

$1 - 2\left(\frac{\sin 2y}{2}\right)^2 = 1 - 2\frac{\sin^2 2y}{4} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2y$

Подставим это преобразованное выражение обратно в уравнение:

$1 - \frac{1}{2}\sin^2 2y = \frac{5}{8}$

Выразим $\sin^2 2y$:

$\frac{1}{2}\sin^2 2y = 1 - \frac{5}{8}$

$\frac{1}{2}\sin^2 2y = \frac{3}{8}$

$\sin^2 2y = \frac{3}{4}$

Теперь используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2y$:

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2y)}{2} = \frac{3}{4}$

$\frac{1 - \cos 4y}{2} = \frac{3}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos 4y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Выразим $\cos 4y$:

$\cos 4y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является:

$4y = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим на 4, чтобы найти $y$:

$y = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $y = \frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$

Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3 \left( \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \right) = \pm \frac{3\pi}{6} + \frac{3\pi k}{2} = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.