Номер 868, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 868, страница 331.
№868 (с. 331)
Условие. №868 (с. 331)
скриншот условия

868. 1) $4\sin^4 x + \sin^2 2x = 2;$
2) $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}.$
Решение 1. №868 (с. 331)


Решение 2. №868 (с. 331)

Решение 3. №868 (с. 331)
1) Дано уравнение $4\sin^4 x + \sin^2 2x = 2$.
Для решения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.
Преобразуем член $4\sin^4 x$:
$4\sin^4 x = 4(\sin^2 x)^2 = 4\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 = 4\frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = (1 - \cos 2x)^2 = 1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x) + \sin^2 2x = 2$.
Сгруппируем члены $\cos^2 2x$ и $\sin^2 2x$ и применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:
$1 - 2\cos 2x + (\cos^2 2x + \sin^2 2x) = 2$
$1 - 2\cos 2x + 1 = 2$
$2 - 2\cos 2x = 2$
Вычтем 2 из обеих частей:
$-2\cos 2x = 0$
$\cos 2x = 0$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
2) Дано уравнение $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}$.
Для удобства введем замену: пусть $y = \frac{x}{3}$. Уравнение примет вид:
$\sin^4 y + \cos^4 y = \frac{5}{8}$
Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат. Для этого используем тождество $a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2$:
$\sin^4 y + \cos^4 y = (\sin^2 y + \cos^2 y)^2 - 2\sin^2 y \cos^2 y$
Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, получаем:
$1^2 - 2\sin^2 y \cos^2 y = 1 - 2(\sin y \cos y)^2$
Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2\sin y \cos y$, откуда $\sin y \cos y = \frac{\sin 2y}{2}$:
$1 - 2\left(\frac{\sin 2y}{2}\right)^2 = 1 - 2\frac{\sin^2 2y}{4} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2y$
Подставим это преобразованное выражение обратно в уравнение:
$1 - \frac{1}{2}\sin^2 2y = \frac{5}{8}$
Выразим $\sin^2 2y$:
$\frac{1}{2}\sin^2 2y = 1 - \frac{5}{8}$
$\frac{1}{2}\sin^2 2y = \frac{3}{8}$
$\sin^2 2y = \frac{3}{4}$
Теперь используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2y$:
$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2y)}{2} = \frac{3}{4}$
$\frac{1 - \cos 4y}{2} = \frac{3}{4}$
Умножим обе части на 2:
$1 - \cos 4y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Выразим $\cos 4y$:
$\cos 4y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
Решением этого уравнения является:
$4y = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим на 4, чтобы найти $y$:
$y = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $y = \frac{x}{3}$:
$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$
Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = 3 \left( \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \right) = \pm \frac{3\pi}{6} + \frac{3\pi k}{2} = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 868 расположенного на странице 331 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №868 (с. 331), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.