Номер 875, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 875, страница 331.

Условие.

875.

1) $\text{tg}^2 3x - 4\sin^2 3x = 0;$

2) $\sin x \text{tg} x = \cos x + \text{tg} x;$

3) $\text{ctg}x\left(\text{ctg}x + \frac{1}{\sin x}\right) = 1;$

4) $4\text{ctg}^2 x = 5 - \frac{9}{\sin x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $tg^2{3x} - 4sin^2{3x} = 0$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс $tg(3x)$ определен, когда $cos(3x) \neq 0$, то есть $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.
Запишем $tg^2{3x}$ как $\frac{sin^2{3x}}{cos^2{3x}}$:
$\frac{sin^2{3x}}{cos^2{3x}} - 4sin^2{3x} = 0$
Вынесем $sin^2{3x}$ за скобки:
$sin^2{3x} \left( \frac{1}{cos^2{3x}} - 4 \right) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
а) $sin^2{3x} = 0 \implies sin(3x) = 0$
$3x = \pi n$, где $n \in Z$
$x = \frac{\pi n}{3}$
Проверим ОДЗ: при этих значениях $cos(3x) = cos(\pi n) = \pm 1 \neq 0$. Следовательно, эти корни подходят.
б) $\frac{1}{cos^2{3x}} - 4 = 0$
$\frac{1}{cos^2{3x}} = 4 \implies cos^2{3x} = \frac{1}{4}$
$cos(3x) = \pm\frac{1}{2}$
Это равносильно совокупности уравнений:
$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m$ и $3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in Z$.
Эти серии решений можно объединить в более компактную запись: $3x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m$.
$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}$
Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, так как для них $cos(3x) \neq 0$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}$, где $n, m \in Z$.

2) $sin(x)tg(x) = cos(x) + tg(x)$
ОДЗ: $cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем:
$sin(x)tg(x) - tg(x) - cos(x) = 0$
$tg(x)(sin(x) - 1) - cos(x) = 0$
Заменим $tg(x)$ на $\frac{sin(x)}{cos(x)}$:
$\frac{sin(x)}{cos(x)}(sin(x) - 1) - cos(x) = 0$
Умножим обе части уравнения на $cos(x)$, так как по ОДЗ он не равен нулю:
$sin(x)(sin(x) - 1) - cos^2(x) = 0$
$sin^2(x) - sin(x) - cos^2(x) = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2(x) = 1 - sin^2(x)$:
$sin^2(x) - sin(x) - (1 - sin^2(x)) = 0$
$2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0$
Сделаем замену $y = sin(x)$, где $|y| \le 1$. Получим квадратное уравнение:
$2y^2 - y - 1 = 0$
Корни этого уравнения: $y_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$ и $y_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Вернемся к замене:
а) $sin(x) = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Эти значения не удовлетворяют ОДЗ, так как $cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$, поэтому являются посторонними корнями.
б) $sin(x) = -\frac{1}{2}$
$x = (-1)^{m}arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi m = (-1)^{m}(-\frac{\pi}{6}) + \pi m = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in Z$.
При этих значениях $cos(x) \neq 0$, поэтому они являются решениями.
Ответ: $x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in Z$.

3) $ctgx \left( ctgx + \frac{1}{sinx} \right) = 1$
ОДЗ: $sin(x) \neq 0$, так как $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ и в знаменателе есть $sin(x)$. Это значит $x \neq \pi k$, где $k \in Z$.
Раскроем скобки и заменим $ctg(x)$ на $\frac{cos(x)}{sin(x)}$:
$\frac{cos(x)}{sin(x)} \left( \frac{cos(x)}{sin(x)} + \frac{1}{sin(x)} \right) = 1$
$\frac{cos(x)}{sin(x)} \cdot \frac{cos(x)+1}{sin(x)} = 1$
$\frac{cos(x)(cos(x)+1)}{sin^2(x)} = 1$
Умножим обе части на $sin^2(x)$, что допустимо по ОДЗ:
$cos^2(x) + cos(x) = sin^2(x)$
Используем тождество $sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$:
$cos^2(x) + cos(x) = 1 - cos^2(x)$
$2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0$
Сделаем замену $y = cos(x)$, где $|y| \le 1$.
$2y^2 + y - 1 = 0$
Корни уравнения: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.
Вернемся к замене:
а) $cos(x) = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Для этих значений $sin(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Корни удовлетворяют ОДЗ.
б) $cos(x) = -1$
$x = \pi + 2\pi n = \pi(2n+1)$, где $n \in Z$.
Для этих значений $sin(x) = 0$, что не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, это посторонние корни.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

4) $4ctg^2x = 5 - \frac{9}{sinx}$
ОДЗ: $sin(x) \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in Z$.
Используем тригонометрическое тождество $1+ctg^2(x) = \frac{1}{sin^2(x)}$, откуда $ctg^2(x) = \frac{1}{sin^2(x)} - 1$ :
$4\left(\frac{1}{sin^2(x)} - 1\right) = 5 - \frac{9}{sin(x)}$
$\frac{4}{sin^2(x)} - 4 = 5 - \frac{9}{sin(x)}$
Перенесем все в левую часть:
$\frac{4}{sin^2(x)} + \frac{9}{sin(x)} - 9 = 0$
Сделаем замену $y = \frac{1}{sin(x)}$. Так как $|sin(x)| \le 1$ и $sin(x) \neq 0$, то $|y| = |\frac{1}{sin(x)}| \ge 1$.
Получаем квадратное уравнение:
$4y^2 + 9y - 9 = 0$
Найдем корни по формуле:
$y = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(4)(-9)}}{2(4)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 144}}{8} = \frac{-9 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{-9 \pm 15}{8}$
$y_1 = \frac{-9+15}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$y_2 = \frac{-9-15}{8} = \frac{-24}{8} = -3$
Вернемся к замене:
а) $\frac{1}{sin(x)} = \frac{3}{4}$
Этот корень не удовлетворяет условию $|y| \ge 1$, так как $|\frac{3}{4}| < 1$. Если решить дальше, $sin(x) = \frac{4}{3}$, что больше 1, поэтому действительных решений нет.
б) $\frac{1}{sin(x)} = -3$
Этот корень удовлетворяет условию $|-3| \ge 1$.
$sin(x) = -\frac{1}{3}$. Так как $|-\frac{1}{3}| < 1$, решения есть, и они удовлетворяют ОДЗ ($sin(x) \neq 0$).
$x = (-1)^n arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.