Номер 870, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 870, страница 331.
№870 (с. 331)
Условие. №870 (с. 331)
скриншот условия

870. 1) $ \sin^4 x - \cos^4 x + 2\cos^2 x = \cos 2x; $
2) $ 2\sin^2 x - \cos^4 x = 1 - \sin^4 x. $
Решение 1. №870 (с. 331)


Решение 2. №870 (с. 331)

Решение 3. №870 (с. 331)
1) $\sin^4x - \cos^4x + 2\cos^2x = \cos2x$
Преобразуем левую часть уравнения. Разложим выражение $\sin^4x - \cos^4x$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\sin^4x - \cos^4x = (\sin^2x - \cos^2x)(\sin^2x + \cos^2x)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:
$(\sin^2x - \cos^2x)(1) = \sin^2x - \cos^2x$
Подставим это выражение обратно в левую часть исходного уравнения:
$(\sin^2x - \cos^2x) + 2\cos^2x$
Упростим выражение:
$\sin^2x - \cos^2x + 2\cos^2x = \sin^2x + \cos^2x = 1$
Таким образом, левая часть уравнения тождественно равна 1. Исходное уравнение сводится к следующему:
$1 = \cos2x$
Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Решением является:
$2x = 2\pi k$, где $k \in Z$
Разделив обе части на 2, получим окончательный ответ:
$x = \pi k$, где $k \in Z$
Ответ: $x = \pi k, k \in Z$.
2) $2\sin^2x - \cos^4x = 1 - \sin^4x$
Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения:
$2\sin^2x - \cos^4x + \sin^4x = 1$
Сгруппируем члены и преобразуем выражение $\sin^4x - \cos^4x$, используя формулу разности квадратов:
$\sin^4x - \cos^4x = (\sin^2x - \cos^2x)(\sin^2x + \cos^2x)$
Так как $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:
$\sin^4x - \cos^4x = \sin^2x - \cos^2x$
Подставим это в наше уравнение:
$2\sin^2x + (\sin^2x - \cos^2x) = 1$
Упростим левую часть:
$3\sin^2x - \cos^2x = 1$
Теперь выразим $\cos^2x$ через $\sin^2x$ с помощью основного тригонометрического тождества $\cos^2x = 1 - \sin^2x$:
$3\sin^2x - (1 - \sin^2x) = 1$
$3\sin^2x - 1 + \sin^2x = 1$
$4\sin^2x = 2$
$\sin^2x = \frac{1}{2}$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$
$1 - \cos(2x) = 1$
$\cos(2x) = 0$
Решением этого уравнения является:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$
Разделив обе части на 2, получим окончательный ответ:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 870 расположенного на странице 331 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №870 (с. 331), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.