Номер 870, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 870, страница 331.

Условие.

870. 1) $ \sin^4 x - \cos^4 x + 2\cos^2 x = \cos 2x; $

2) $ 2\sin^2 x - \cos^4 x = 1 - \sin^4 x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sin^4x - \cos^4x + 2\cos^2x = \cos2x$

Преобразуем левую часть уравнения. Разложим выражение $\sin^4x - \cos^4x$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^4x - \cos^4x = (\sin^2x - \cos^2x)(\sin^2x + \cos^2x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$(\sin^2x - \cos^2x)(1) = \sin^2x - \cos^2x$

Подставим это выражение обратно в левую часть исходного уравнения:

$(\sin^2x - \cos^2x) + 2\cos^2x$

Упростим выражение:

$\sin^2x - \cos^2x + 2\cos^2x = \sin^2x + \cos^2x = 1$

Таким образом, левая часть уравнения тождественно равна 1. Исходное уравнение сводится к следующему:

$1 = \cos2x$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Решением является:

$2x = 2\pi k$, где $k \in Z$

Разделив обе части на 2, получим окончательный ответ:

$x = \pi k$, где $k \in Z$

Ответ: $x = \pi k, k \in Z$.

2) $2\sin^2x - \cos^4x = 1 - \sin^4x$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$2\sin^2x - \cos^4x + \sin^4x = 1$

Сгруппируем члены и преобразуем выражение $\sin^4x - \cos^4x$, используя формулу разности квадратов:

$\sin^4x - \cos^4x = (\sin^2x - \cos^2x)(\sin^2x + \cos^2x)$

Так как $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$\sin^4x - \cos^4x = \sin^2x - \cos^2x$

Подставим это в наше уравнение:

$2\sin^2x + (\sin^2x - \cos^2x) = 1$

Упростим левую часть:

$3\sin^2x - \cos^2x = 1$

Теперь выразим $\cos^2x$ через $\sin^2x$ с помощью основного тригонометрического тождества $\cos^2x = 1 - \sin^2x$:

$3\sin^2x - (1 - \sin^2x) = 1$

$3\sin^2x - 1 + \sin^2x = 1$

$4\sin^2x = 2$

$\sin^2x = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = 0$

Решением этого уравнения является:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$

Разделив обе части на 2, получим окончательный ответ:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.