Номер 866, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 866, страница 330.
№866 (с. 330)
Условие. №866 (с. 330)
скриншот условия

866. 1) $cos x + cos 2x = 0;$
2) $cos x - cos 5x = 0;$
3) $sin 3x + sin x = 2sin 2x;$
4) $sin x + sin 2x + sin 3x = 0.$
Решение 1. №866 (с. 330)




Решение 2. №866 (с. 330)



Решение 3. №866 (с. 330)
1) $ \cos x + \cos 2x = 0 $
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 2\cos^2x - 1 $.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \cos x + (2\cos^2x - 1) = 0 $
$ 2\cos^2x + \cos x - 1 = 0 $
Это квадратное уравнение относительно $ \cos x $. Сделаем замену переменной: пусть $ t = \cos x $, где $ |t| \le 1 $.
$ 2t^2 + t - 1 = 0 $
Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $.
$ t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $
$ t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
Оба корня удовлетворяют условию $ |t| \le 1 $. Теперь вернемся к исходной переменной $ x $.
1. $ \cos x = -1 $. Решением этого уравнения является серия корней: $ x = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.
2. $ \cos x = \frac{1}{2} $. Решением этого уравнения является серия корней: $ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. $
2) $ \cos x - \cos 5x = 0 $
Перенесем $ \cos 5x $ в правую часть:
$ \cos x = \cos 5x $
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к нашему уравнению:
$ -2\sin\frac{x+5x}{2}\sin\frac{x-5x}{2} = 0 $
$ -2\sin(3x)\sin(-2x) = 0 $
Так как $ \sin(-2x) = -\sin(2x) $, получаем:
$ 2\sin(3x)\sin(2x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:
1. $ \sin(3x) = 0 $. Решением является $ 3x = \pi n $, откуда $ x = \frac{\pi n}{3}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.
2. $ \sin(2x) = 0 $. Решением является $ 2x = \pi k $, откуда $ x = \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}. $
3) $ \sin 3x + \sin x = 2\sin 2x $
Для левой части уравнения применим формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin 2x $
$ 2\sin(2x)\cos(x) = 2\sin 2x $
Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$ 2\sin(2x)\cos(x) - 2\sin 2x = 0 $
$ 2\sin(2x)(\cos x - 1) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1. $ \sin(2x) = 0 $. Отсюда $ 2x = \pi n $, что дает $ x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.
2. $ \cos x - 1 = 0 $, то есть $ \cos x = 1 $. Отсюда $ x = 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Заметим, что вторая серия решений $ (x = 2\pi k) $ является подмножеством первой серии $ (x = \frac{\pi n}{2}) $, так как при $ n = 4k $ мы получаем $ x = \frac{\pi (4k)}{2} = 2\pi k $. Следовательно, достаточно указать только первую, более общую, серию решений.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}. $
4) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $
Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов:
$ (\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0 $
$ 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0 $
$ 2\sin(2x)\cos(x) + \sin 2x = 0 $
Вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки:
$ \sin 2x (2\cos x + 1) = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1. $ \sin(2x) = 0 $. Отсюда $ 2x = \pi n $, что дает $ x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.
2. $ 2\cos x + 1 = 0 $, то есть $ \cos x = -\frac{1}{2} $. Отсюда $ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 866 расположенного на странице 330 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №866 (с. 330), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.