Номер 866, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 866, страница 330.

Условие.

866. 1) $cos x + cos 2x = 0;$

2) $cos x - cos 5x = 0;$

3) $sin 3x + sin x = 2sin 2x;$

4) $sin x + sin 2x + sin 3x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \cos x + \cos 2x = 0 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 2\cos^2x - 1 $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \cos x + (2\cos^2x - 1) = 0 $

$ 2\cos^2x + \cos x - 1 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ \cos x $. Сделаем замену переменной: пусть $ t = \cos x $, где $ |t| \le 1 $.

$ 2t^2 + t - 1 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $.

$ t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $

$ t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Оба корня удовлетворяют условию $ |t| \le 1 $. Теперь вернемся к исходной переменной $ x $.

1. $ \cos x = -1 $. Решением этого уравнения является серия корней: $ x = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos x = \frac{1}{2} $. Решением этого уравнения является серия корней: $ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. $

2) $ \cos x - \cos 5x = 0 $

Перенесем $ \cos 5x $ в правую часть:

$ \cos x = \cos 5x $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$ -2\sin\frac{x+5x}{2}\sin\frac{x-5x}{2} = 0 $

$ -2\sin(3x)\sin(-2x) = 0 $

Так как $ \sin(-2x) = -\sin(2x) $, получаем:

$ 2\sin(3x)\sin(2x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1. $ \sin(3x) = 0 $. Решением является $ 3x = \pi n $, откуда $ x = \frac{\pi n}{3}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin(2x) = 0 $. Решением является $ 2x = \pi k $, откуда $ x = \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}. $

3) $ \sin 3x + \sin x = 2\sin 2x $

Для левой части уравнения применим формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin 2x $

$ 2\sin(2x)\cos(x) = 2\sin 2x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ 2\sin(2x)\cos(x) - 2\sin 2x = 0 $

$ 2\sin(2x)(\cos x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $ \sin(2x) = 0 $. Отсюда $ 2x = \pi n $, что дает $ x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos x - 1 = 0 $, то есть $ \cos x = 1 $. Отсюда $ x = 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что вторая серия решений $ (x = 2\pi k) $ является подмножеством первой серии $ (x = \frac{\pi n}{2}) $, так как при $ n = 4k $ мы получаем $ x = \frac{\pi (4k)}{2} = 2\pi k $. Следовательно, достаточно указать только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}. $

4) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов:

$ (\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin(2x)\cos(x) + \sin 2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (2\cos x + 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \sin(2x) = 0 $. Отсюда $ 2x = \pi n $, что дает $ x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\cos x + 1 = 0 $, то есть $ \cos x = -\frac{1}{2} $. Отсюда $ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. $