Номер 860, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 860, страница 330.

№860 (с. 330)
Условие. №860 (с. 330)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 860, Условие

860. С помощью графика синуса или косинуса найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3\pi]$:

1) $\cos x = -\frac{1}{2}$;

2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1. №860 (с. 330)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 860, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 860, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №860 (с. 330)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 860, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 860, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №860 (с. 330)

1)

Чтобы найти все корни уравнения $cos(x) = -1/2$ на промежутке $[-π; 3π]$, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = cos(x)$ и прямой $y = -1/2$ на указанном промежутке.

Построим графики этих функций. График $y = cos(x)$ — это косинусоида, а график $y = -1/2$ — это прямая, параллельная оси Ox.

Рассмотрим, где эти графики пересекаются на интервале $[-π; 3π]$:

  • На промежутке $[-π; 0]$ функция $cos(x)$ возрастает от $-1$ до $1$. Она пересекает прямую $y = -1/2$ один раз. Так как $cos(x)$ является четной функцией, и основной корень уравнения $cos(x) = -1/2$ в $[0; π]$ равен $x = arccos(-1/2) = 2π/3$, то симметричный ему корень в $[-π; 0]$ равен $x_1 = -2π/3$.
  • На промежутке $[0; 2π]$ (полный период косинуса) уравнение $cos(x) = -1/2$ имеет два решения. Первое — $x_2 = 2π/3$. Второе решение находится как $x_3 = 2π - 2π/3 = 4π/3$. Оба этих значения лежат в заданном промежутке $[-π; 3π]$.
  • На промежутке $[2π; 3π]$ функция $cos(x)$ убывает от $1$ до $-1$. Она пересекает прямую $y = -1/2$ еще раз. Этот корень можно найти, прибавив период $2π$ к наименьшему положительному корню $2π/3$: $x_4 = 2π/3 + 2π = 8π/3$. Так как $2π \le 8π/3 \le 3π$ ($6π/3 \le 8π/3 \le 9π/3$), этот корень принадлежит заданному промежутку.

Таким образом, мы нашли четыре корня уравнения на заданном промежутке.

Ответ: $-2π/3; 2π/3; 4π/3; 8π/3$.

2)

Чтобы найти все корни уравнения $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-π; 3π]$, найдем абсциссы точек пересечения графика функции $y = sin(x)$ и прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на этом промежутке.

Построим графики синусоиды $y = sin(x)$ и горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим пересечения на интервале $[-π; 3π]$:

  • На промежутке $[-π; 0]$ функция $sin(x)$ изменяется от $0$ до $-1$ и обратно до $0$. Она пересекает прямую $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ дважды. Главное значение $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -π/3$. Это наш первый корень: $x_1 = -π/3$. Второй корень на этом отрезке можно найти из соображений симметрии графика синуса относительно точки $x = -π/2$: $x_2 = -π - (-π/3) = -π + π/3 = -2π/3$. Оба корня принадлежат промежутку $[-π; 3π]$.
  • На промежутке $[0; 2π]$ (полный период синуса) уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения, расположенных в III и IV координатных четвертях. Первый корень: $x_3 = π + π/3 = 4π/3$. Второй корень: $x_4 = 2π - π/3 = 5π/3$. Оба значения входят в заданный промежуток $[-π; 3π]$.
  • На промежутке $[2π; 3π]$ функция $sin(x)$ принимает неотрицательные значения (от $0$ до $1$ и обратно до $0$). Следовательно, на этом отрезке график $y = sin(x)$ не может пересечься с прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, так как ее значения отрицательны. Корней на этом участке нет.

Таким образом, мы нашли четыре корня уравнения на заданном промежутке.

Ответ: $-2π/3; -π/3; 4π/3; 5π/3$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 860 расположенного на странице 330 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №860 (с. 330), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.