Номер 860, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 860, страница 330.

Условие.

860. С помощью графика синуса или косинуса найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3\pi]$:

1) $\cos x = -\frac{1}{2}$;

2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы найти все корни уравнения $cos(x) = -1/2$ на промежутке $[-π; 3π]$, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = cos(x)$ и прямой $y = -1/2$ на указанном промежутке.

Построим графики этих функций. График $y = cos(x)$ — это косинусоида, а график $y = -1/2$ — это прямая, параллельная оси Ox.

Рассмотрим, где эти графики пересекаются на интервале $[-π; 3π]$:

• На промежутке $[-π; 0]$ функция $cos(x)$ возрастает от $-1$ до $1$. Она пересекает прямую $y = -1/2$ один раз. Так как $cos(x)$ является четной функцией, и основной корень уравнения $cos(x) = -1/2$ в $[0; π]$ равен $x = arccos(-1/2) = 2π/3$, то симметричный ему корень в $[-π; 0]$ равен $x_1 = -2π/3$.
• На промежутке $[0; 2π]$ (полный период косинуса) уравнение $cos(x) = -1/2$ имеет два решения. Первое — $x_2 = 2π/3$. Второе решение находится как $x_3 = 2π - 2π/3 = 4π/3$. Оба этих значения лежат в заданном промежутке $[-π; 3π]$.
• На промежутке $[2π; 3π]$ функция $cos(x)$ убывает от $1$ до $-1$. Она пересекает прямую $y = -1/2$ еще раз. Этот корень можно найти, прибавив период $2π$ к наименьшему положительному корню $2π/3$: $x_4 = 2π/3 + 2π = 8π/3$. Так как $2π \le 8π/3 \le 3π$ ($6π/3 \le 8π/3 \le 9π/3$), этот корень принадлежит заданному промежутку.

Таким образом, мы нашли четыре корня уравнения на заданном промежутке.

Ответ: $-2π/3; 2π/3; 4π/3; 8π/3$.

2)

Чтобы найти все корни уравнения $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-π; 3π]$, найдем абсциссы точек пересечения графика функции $y = sin(x)$ и прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на этом промежутке.

Построим графики синусоиды $y = sin(x)$ и горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим пересечения на интервале $[-π; 3π]$:

• На промежутке $[-π; 0]$ функция $sin(x)$ изменяется от $0$ до $-1$ и обратно до $0$. Она пересекает прямую $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ дважды. Главное значение $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -π/3$. Это наш первый корень: $x_1 = -π/3$. Второй корень на этом отрезке можно найти из соображений симметрии графика синуса относительно точки $x = -π/2$: $x_2 = -π - (-π/3) = -π + π/3 = -2π/3$. Оба корня принадлежат промежутку $[-π; 3π]$.
• На промежутке $[0; 2π]$ (полный период синуса) уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения, расположенных в III и IV координатных четвертях. Первый корень: $x_3 = π + π/3 = 4π/3$. Второй корень: $x_4 = 2π - π/3 = 5π/3$. Оба значения входят в заданный промежуток $[-π; 3π]$.
• На промежутке $[2π; 3π]$ функция $sin(x)$ принимает неотрицательные значения (от $0$ до $1$ и обратно до $0$). Следовательно, на этом отрезке график $y = sin(x)$ не может пересечься с прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, так как ее значения отрицательны. Корней на этом участке нет.

Таким образом, мы нашли четыре корня уравнения на заданном промежутке.

Ответ: $-2π/3; -π/3; 4π/3; 5π/3$.