Номер 860, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 860, страница 330.
№860 (с. 330)
Условие. №860 (с. 330)
скриншот условия

860. С помощью графика синуса или косинуса найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3\pi]$:
1) $\cos x = -\frac{1}{2}$;
2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решение 1. №860 (с. 330)


Решение 2. №860 (с. 330)


Решение 3. №860 (с. 330)
1)
Чтобы найти все корни уравнения $cos(x) = -1/2$ на промежутке $[-π; 3π]$, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = cos(x)$ и прямой $y = -1/2$ на указанном промежутке.
Построим графики этих функций. График $y = cos(x)$ — это косинусоида, а график $y = -1/2$ — это прямая, параллельная оси Ox.
Рассмотрим, где эти графики пересекаются на интервале $[-π; 3π]$:
- На промежутке $[-π; 0]$ функция $cos(x)$ возрастает от $-1$ до $1$. Она пересекает прямую $y = -1/2$ один раз. Так как $cos(x)$ является четной функцией, и основной корень уравнения $cos(x) = -1/2$ в $[0; π]$ равен $x = arccos(-1/2) = 2π/3$, то симметричный ему корень в $[-π; 0]$ равен $x_1 = -2π/3$.
- На промежутке $[0; 2π]$ (полный период косинуса) уравнение $cos(x) = -1/2$ имеет два решения. Первое — $x_2 = 2π/3$. Второе решение находится как $x_3 = 2π - 2π/3 = 4π/3$. Оба этих значения лежат в заданном промежутке $[-π; 3π]$.
- На промежутке $[2π; 3π]$ функция $cos(x)$ убывает от $1$ до $-1$. Она пересекает прямую $y = -1/2$ еще раз. Этот корень можно найти, прибавив период $2π$ к наименьшему положительному корню $2π/3$: $x_4 = 2π/3 + 2π = 8π/3$. Так как $2π \le 8π/3 \le 3π$ ($6π/3 \le 8π/3 \le 9π/3$), этот корень принадлежит заданному промежутку.
Таким образом, мы нашли четыре корня уравнения на заданном промежутке.
Ответ: $-2π/3; 2π/3; 4π/3; 8π/3$.
2)
Чтобы найти все корни уравнения $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-π; 3π]$, найдем абсциссы точек пересечения графика функции $y = sin(x)$ и прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на этом промежутке.
Построим графики синусоиды $y = sin(x)$ и горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Рассмотрим пересечения на интервале $[-π; 3π]$:
- На промежутке $[-π; 0]$ функция $sin(x)$ изменяется от $0$ до $-1$ и обратно до $0$. Она пересекает прямую $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ дважды. Главное значение $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -π/3$. Это наш первый корень: $x_1 = -π/3$. Второй корень на этом отрезке можно найти из соображений симметрии графика синуса относительно точки $x = -π/2$: $x_2 = -π - (-π/3) = -π + π/3 = -2π/3$. Оба корня принадлежат промежутку $[-π; 3π]$.
- На промежутке $[0; 2π]$ (полный период синуса) уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения, расположенных в III и IV координатных четвертях. Первый корень: $x_3 = π + π/3 = 4π/3$. Второй корень: $x_4 = 2π - π/3 = 5π/3$. Оба значения входят в заданный промежуток $[-π; 3π]$.
- На промежутке $[2π; 3π]$ функция $sin(x)$ принимает неотрицательные значения (от $0$ до $1$ и обратно до $0$). Следовательно, на этом отрезке график $y = sin(x)$ не может пересечься с прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, так как ее значения отрицательны. Корней на этом участке нет.
Таким образом, мы нашли четыре корня уравнения на заданном промежутке.
Ответ: $-2π/3; -π/3; 4π/3; 5π/3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 860 расположенного на странице 330 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №860 (с. 330), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.