Страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

853. 1) $9 \cdot 4^x + 5 \cdot 6^x = 4 \cdot 9^x;$

2) $\log_2(x^2 - 3) - \log_2(6x - 10) + 1 = 0;$

3) $2\log_2 x - 2\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{\log_2 x};$

4) $\log_x(2x^2 - 3x - 4) = 2.$

1) $9 \cdot 4^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 9^{\frac{1}{x}}$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что основания степеней можно выразить через 2 и 3: $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $6 = 2 \cdot 3$. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 0$.

Перепишем уравнение в виде:

$9 \cdot (2^2)^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot (3^2)^{\frac{1}{x}}$

$9 \cdot 2^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot 2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 3^{\frac{2}{x}}$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $9^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{2}{x}}$, что всегда больше нуля, поэтому данное действие является равносильным преобразованием.

$9 \cdot \frac{2^{\frac{2}{x}}}{3^{\frac{2}{x}}} + 5 \cdot \frac{2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}}}{3^{\frac{2}{x}}} = 4 \cdot \frac{3^{\frac{2}{x}}}{3^{\frac{2}{x}}}$

$9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}}$. Так как основание степени положительное, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$9t^2 + 5t - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$

$t_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной с $t_2 = \frac{4}{9}$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{4}{9}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$\frac{1}{x} = 2$

$x = \frac{1}{2}$

Данное значение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2) $\log_2(x^2 - 3) - \log_2(6x - 10) + 1 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x^2 - 3 > 0 \\ 6x - 10 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $x^2 > 3$, что означает $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

Из второго неравенства: $6x > 10$, что означает $x > \frac{10}{6}$ или $x > \frac{5}{3}$.

Пересекая эти два условия, и учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, а $\frac{5}{3} \approx 1.667$, получаем, что ОДЗ: $x > \sqrt{3}$.

Теперь решим уравнение. Перенесем 1 в правую часть и используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_2(x^2 - 3) - \log_2(6x - 10) = -1$

$\log_2\left(\frac{x^2 - 3}{6x - 10}\right) = -1$

По определению логарифма:

$\frac{x^2 - 3}{6x - 10} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Решим полученное уравнение:

$2(x^2 - 3) = 6x - 10$

$2x^2 - 6 = 6x - 10$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

Разделим на 2:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \sqrt{3}$).

$x_1 = 1$. Так как $1 < \sqrt{3}$, этот корень не входит в ОДЗ.

$x_2 = 2$. Так как $2 > \sqrt{3}$, этот корень является решением.

Ответ: $x = 2$.

3) $2\log_2 x - 2\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{\log_2 x}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным ($x > 0$), а выражение под корнем — неотрицательным ($\log_2 x \ge 0$).

Из $\log_2 x \ge 0$ следует $\log_2 x \ge \log_2 1$, что при основании $2 > 1$ равносильно $x \ge 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ge 1$.

Упростим второй член в левой части уравнения:

$2\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\log_2 2^{-1/2} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \log_2 2 = -1 \cdot 1 = -1$.

Подставим это значение в уравнение:

$2\log_2 x - (-1) = 3\sqrt{\log_2 x}$

$2\log_2 x + 1 = 3\sqrt{\log_2 x}$

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\log_2 x}$. Из ОДЗ ($x \ge 1$) следует, что $\log_2 x \ge 0$, поэтому $t \ge 0$. Тогда $\log_2 x = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$2t^2 + 1 = 3t$

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену.

Если $t = \frac{1}{2}$, то $\sqrt{\log_2 x} = \frac{1}{2}$. Возводим в квадрат: $\log_2 x = \frac{1}{4}$, откуда $x = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}$.

Если $t = 1$, то $\sqrt{\log_2 x} = 1$. Возводим в квадрат: $\log_2 x = 1$, откуда $x = 2^1 = 2$.

Оба найденных значения $x = \sqrt[4]{2}$ и $x = 2$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 1$).

Ответ: $x_1 = \sqrt[4]{2}, x_2 = 2$.

4) $\log_x (2x^2 - 3x - 4) = 2$

Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, а аргумент логарифма — строго положительным.

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x^2 - 3x - 4 > 0 \end{cases}$

Для решения неравенства $2x^2 - 3x - 4 > 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 4 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9 + 32 = 41$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$.

Так как парабола $y = 2x^2 - 3x - 4$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $x < \frac{3 - \sqrt{41}}{4}$ и $x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$.

Объединим все условия ОДЗ. Так как $\sqrt{41} \approx 6.4$, то $\frac{3 - \sqrt{41}}{4} < 0$. Условие $x > 0$ отсекает левый интервал. Условие $x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$ ($\approx 2.35$) автоматически удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Итак, ОДЗ: $x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$.

По определению логарифма, $\log_a b = c \iff a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:

$x^2 = 2x^2 - 3x - 4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$.

$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$, значит, это посторонний корень.

Для $x_1 = 4$ проверим неравенство $4 > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$.

$16 > 3 + \sqrt{41}$

$13 > \sqrt{41}$

Возведем обе части в квадрат (так как они положительны): $169 > 41$. Неравенство верное.

Следовательно, корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 4$.

854. 1) $1 + \log_x(5 - x) = \log_7 4 \cdot \log_x 7;$

2) $(\log_9(7 - x) + 1)\log_{3 - x} 3 = 1.$

1) $1 + \log_x(5 - x) = \log_7 4 \cdot \log_x 7$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основание логарифма $x$ должно быть больше нуля и не равно единице: $x > 0$, $x \ne 1$.
Аргумент логарифма $(5 - x)$ должен быть строго больше нуля: $5 - x > 0 \implies x < 5$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 5)$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.
$\log_7 4 \cdot \log_x 7 = \frac{\ln 4}{\ln 7} \cdot \frac{\ln 7}{\ln x} = \frac{\ln 4}{\ln x} = \log_x 4$.
Теперь уравнение имеет вид:
$1 + \log_x(5 - x) = \log_x 4$.

Представим 1 как логарифм с основанием $x$: $1 = \log_x x$.
$\log_x x + \log_x(5 - x) = \log_x 4$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, получаем:
$\log_x (x(5 - x)) = \log_x 4$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x(5 - x) = 4$
$5x - x^2 = 4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни уравнения:
$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \in (0, 1) \cup (1, 5)$).
Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как основание логарифма не может быть равно 1.
Корень $x_2 = 4$ входит в ОДЗ, так как $4 \in (1, 5)$.

Ответ: $4$

2) $(\log_9(7 - x) + 1)\log_{3-x} 3 = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Из логарифма $\log_9(7 - x)$ следует, что $7 - x > 0 \implies x < 7$.
Из логарифма $\log_{3-x} 3$ следует, что основание $3-x$ должно быть больше нуля и не равно единице:
$3 - x > 0 \implies x < 3$.
$3 - x \ne 1 \implies x \ne 2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.

Преобразуем уравнение. Используем свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:
$\log_{3-x} 3 = \frac{1}{\log_3 (3-x)}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{\log_9(7 - x) + 1}{\log_3 (3 - x)} = 1$.
Отсюда следует, что $\log_9(7 - x) + 1 = \log_3 (3 - x)$. (Условие $\log_3 (3-x) \ne 0$ эквивалентно $3-x \ne 1$, то есть $x \ne 2$, что уже учтено в ОДЗ).

Приведем логарифмы к одному основанию 3. Используем формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_9(7 - x) = \log_{3^2}(7 - x) = \frac{1}{2}\log_3(7 - x)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2}\log_3(7 - x) + 1 = \log_3(3 - x)$.
Умножим обе части на 2:
$\log_3(7 - x) + 2 = 2\log_3(3 - x)$.
Представим $2$ как $\log_3 9$ и используем свойство $k \log_a b = \log_a b^k$:
$\log_3(7 - x) + \log_3 9 = \log_3((3 - x)^2)$.
$\log_3(9(7 - x)) = \log_3((3 - x)^2)$.

Приравниваем аргументы логарифмов:
$9(7 - x) = (3 - x)^2$
$63 - 9x = 9 - 6x + x^2$
$x^2 + 3x - 54 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.
$x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$).
Корень $x_1 = -9$ входит в ОДЗ, так как $-9 < 2$.
Корень $x_2 = 6$ не входит в ОДЗ, так как $6 > 3$.

Ответ: $-9$

855. 1) $\log_3 3x + \log_3 (4x + 1) = \log_{4x^2 + x} 9;$

2) $\log_2 \frac{x}{2} + \log_2 (21x - 2) = 2\log_{21x^2 - 2x} 8.$

1) $ \log_3(3x) + \log_3(4x + 1) = \log_{4x^2+x}(9) $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными, а основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.

$ \begin{cases} 3x > 0 \\ 4x + 1 > 0 \\ 4x^2 + x > 0 \\ 4x^2 + x \neq 1 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $x > 0$. Из второго $x > -1/4$. Объединяя, имеем $x > 0$.
При $x > 0$ неравенство $4x^2 + x = x(4x+1) > 0$ выполняется автоматически.
Решим уравнение $4x^2 + x - 1 = 0$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$.
Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:
$ \log_3(3x \cdot (4x+1)) = \log_3(12x^2 + 3x) $

Заметим, что $12x^2 + 3x = 3(4x^2 + x)$. Используем свойство логарифма произведения:
$ \log_3(3(4x^2+x)) = \log_3(3) + \log_3(4x^2+x) = 1 + \log_3(4x^2+x) $

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $ и тот факт, что $ \log_3(9) = 2 $:
$ \log_{4x^2+x}(9) = \frac{\log_3(9)}{\log_3(4x^2+x)} = \frac{2}{\log_3(4x^2+x)} $

Теперь уравнение имеет вид:
$ 1 + \log_3(4x^2+x) = \frac{2}{\log_3(4x^2+x)} $

Сделаем замену. Пусть $ y = \log_3(4x^2+x) $. Тогда уравнение примет вид:
$ 1 + y = \frac{2}{y} $
Домножим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$, что соответствует $4x^2+x \neq 1$, учтенному в ОДЗ):
$ y(1+y) = 2 $
$ y^2 + y - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.
Случай 1: $y = 1$.
$ \log_3(4x^2+x) = 1 $
$ 4x^2 + x = 3^1 $
$ 4x^2 + x - 3 = 0 $
$ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $
$ x = \frac{-1 \pm 7}{8} $.
$ x_1 = \frac{-1+7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $ (удовлетворяет ОДЗ).
$ x_2 = \frac{-1-7}{8} = -1 $ (не удовлетворяет ОДЗ, так как $x>0$).

Случай 2: $y = -2$.
$ \log_3(4x^2+x) = -2 $
$ 4x^2 + x = 3^{-2} $
$ 4x^2 + x = \frac{1}{9} $
$ 36x^2 + 9x - 1 = 0 $
$ D = 9^2 - 4 \cdot 36 \cdot (-1) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $
$ x = \frac{-9 \pm 15}{72} $.
$ x_3 = \frac{-9+15}{72} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12} $ (удовлетворяет ОДЗ).
$ x_4 = \frac{-9-15}{72} = \frac{-24}{72} = -\frac{1}{3} $ (не удовлетворяет ОДЗ, так как $x>0$).

Ответ: $ \frac{1}{12}; \frac{3}{4} $.

2) $ \log_2(\frac{x}{2}) + \log_2(21x - 2) = 2\log_{21x^2-2x}(8) $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} \frac{x}{2} > 0 \\ 21x - 2 > 0 \\ 21x^2 - 2x > 0 \\ 21x^2 - 2x \neq 1 \end{cases} $

Из первого неравенства $x > 0$. Из второго $x > \frac{2}{21}$. Объединяя, получаем $x > \frac{2}{21}$.
При $x > \frac{2}{21}$ неравенство $21x^2 - 2x = x(21x-2) > 0$ выполняется автоматически.
Решим уравнение $21x^2 - 2x - 1 = 0$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-1) = 4 + 84 = 88$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{42} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{42} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{21}$.
Таким образом, ОДЗ: $x > \frac{2}{21}$ и $x \neq \frac{1 + \sqrt{22}}{21}$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$ \log_2(\frac{x}{2} \cdot (21x-2)) = \log_2(\frac{21x^2-2x}{2}) = \log_2(21x^2-2x) - \log_2(2) = \log_2(21x^2-2x) - 1 $

Преобразуем правую часть уравнения:
$ 2\log_{21x^2-2x}(8) = 2 \cdot \frac{\log_2(8)}{\log_2(21x^2-2x)} = 2 \cdot \frac{3}{\log_2(21x^2-2x)} = \frac{6}{\log_2(21x^2-2x)} $

Уравнение принимает вид:
$ \log_2(21x^2-2x) - 1 = \frac{6}{\log_2(21x^2-2x)} $

Сделаем замену. Пусть $ z = \log_2(21x^2-2x) $. Тогда:
$ z - 1 = \frac{6}{z} $
$ z(z-1) = 6 $
$ z^2 - z - 6 = 0 $
По теореме Виета корни $z_1 = 3$ и $z_2 = -2$.

Выполним обратную замену.
Случай 1: $z = 3$.
$ \log_2(21x^2-2x) = 3 $
$ 21x^2 - 2x = 2^3 $
$ 21x^2 - 2x - 8 = 0 $
$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-8) = 4 + 672 = 676 = 26^2 $
$ x = \frac{2 \pm 26}{42} $
$ x_1 = \frac{2+26}{42} = \frac{28}{42} = \frac{2}{3} $ (удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{2}{3} = \frac{14}{21} > \frac{2}{21}$).
$ x_2 = \frac{2-26}{42} = \frac{-24}{42} = -\frac{4}{7} $ (не удовлетворяет ОДЗ).

Случай 2: $z = -2$.
$ \log_2(21x^2-2x) = -2 $
$ 21x^2 - 2x = 2^{-2} $
$ 21x^2 - 2x = \frac{1}{4} $
$ 84x^2 - 8x - 1 = 0 $
$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 84 \cdot (-1) = 64 + 336 = 400 = 20^2 $
$ x = \frac{8 \pm 20}{168} $
$ x_3 = \frac{8+20}{168} = \frac{28}{168} = \frac{1}{6} $ (удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{6} = \frac{3.5}{21} > \frac{2}{21}$).
$ x_4 = \frac{8-20}{168} = \frac{-12}{168} = -\frac{1}{14} $ (не удовлетворяет ОДЗ).

Ответ: $ \frac{1}{6}; \frac{2}{3} $.

856. 1) $\log_{\sqrt{6}}\text{ctg}x = 1 + \log_6\left(\frac{3}{2} - \cos2x\right);$

2) $\log_{27}\left(\sin2x - \frac{1}{3}\cos x\right) = \frac{1}{3} + \log_3(-\cos x).$

1)

Исходное уравнение: $\log_{\sqrt{6}} \ctg x = 1 + \log_6 (\frac{3}{2} - \cos 2x)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$ \begin{cases} \ctg x > 0 \\ \frac{3}{2} - \cos 2x > 0 \end{cases} $

Первое неравенство $\ctg x > 0$ выполняется, когда $x$ находится в первой или третьей координатной четверти, то есть $x \in (k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Второе неравенство $\cos 2x < \frac{3}{2}$ выполняется для любых действительных $x$, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение, приведя логарифмы к одному основанию 6. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и свойство логарифма степени $\log_a (b^p) = p \log_a b$.

$\log_{\sqrt{6}} \ctg x = \frac{\log_6 \ctg x}{\log_6 \sqrt{6}} = \frac{\log_6 \ctg x}{\log_6 6^{1/2}} = \frac{\log_6 \ctg x}{1/2} = 2\log_6 \ctg x = \log_6 (\ctg^2 x)$.

Представим $1$ как $\log_6 6$. Уравнение принимает вид:

$\log_6 (\ctg^2 x) = \log_6 6 + \log_6 (\frac{3}{2} - \cos 2x)$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, получаем:

$\log_6 (\ctg^2 x) = \log_6 (6 \cdot (\frac{3}{2} - \cos 2x))$

$\log_6 (\ctg^2 x) = \log_6 (9 - 6\cos 2x)$

Так как логарифмическая функция является монотонной, приравниваем аргументы логарифмов:

$\ctg^2 x = 9 - 6\cos 2x$

Используем тригонометрическую формулу, связывающую котангенс и косинус двойного угла: $\ctg^2 x = \frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x}$.

$\frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x} = 9 - 6\cos 2x$

Сделаем замену $y = \cos 2x$. Из ОДЗ следует, что $\ctg x$ определен, значит $\sin x \neq 0$, что эквивалентно $\cos 2x \neq 1$. Итак, $y \neq 1$.

$\frac{1+y}{1-y} = 9 - 6y$

$1+y = (9 - 6y)(1-y)$

$1+y = 9 - 9y - 6y + 6y^2$

$6y^2 - 16y + 8 = 0$

Разделим на 2: $3y^2 - 8y + 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6}$

$y_1 = \frac{8+4}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{8-4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Возвращаемся к замене $\cos 2x = y$.

$\cos 2x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\cos \alpha| \le 1$.

$\cos 2x = \frac{2}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $|\cos 2x| \le 1$.

Решаем уравнение $\cos 2x = \frac{2}{3}$:

$2x = \pm \arccos(\frac{2}{3}) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Проверим полученные серии решений на соответствие ОДЗ ($\ctg x > 0$).

1) $x = \frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) + k\pi$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то $0 < \arccos(\frac{2}{3}) < \frac{\pi}{2}$, и $0 < \frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) < \frac{\pi}{4}$. Этот угол находится в первой четверти. Прибавление $k\pi$ перемещает угол в первую (при четных $k$) или третью (при нечетных $k$) четверть. В обоих случаях $\ctg x > 0$. Эта серия решений полностью подходит.

2) $x = -\frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) + k\pi$. Угол $-\frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3})$ находится в четвертой четверти. Прибавление $k\pi$ перемещает угол в четвертую (при четных $k$) или вторую (при нечетных $k$) четверть. В обоих случаях $\ctg x < 0$. Эта серия решений не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $\log_{27} (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \frac{1}{3} + \log_3 (-\cos x)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} \sin 2x - \frac{1}{3} \cos x > 0 \\ -\cos x > 0 \end{cases} $

Из второго неравенства следует $\cos x < 0$, что соответствует углам во второй и третьей четвертях.

Преобразуем первое неравенство: $2\sin x \cos x - \frac{1}{3} \cos x > 0$, что равносильно $\cos x (2\sin x - \frac{1}{3}) > 0$.

Так как по ОДЗ $\cos x < 0$, то для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным: $2\sin x - \frac{1}{3} < 0 \implies \sin x < \frac{1}{6}$.

Итак, ОДЗ определяется системой: $\begin{cases} \cos x < 0 \\ \sin x < 1/6 \end{cases}$.

Преобразуем левую часть уравнения, приведя логарифм к основанию 3:

$\log_{27} (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \log_{3^3} (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \frac{1}{3}\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x)$.

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{1}{3}\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \frac{1}{3} + \log_3 (-\cos x)$

Умножим обе части уравнения на 3:

$\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = 1 + 3\log_3 (-\cos x)$

Применим свойства логарифмов $1 = \log_3 3$ и $p\log_a b = \log_a(b^p)$:

$\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \log_3 3 + \log_3 ((-\cos x)^3)$

$\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \log_3 (3 \cdot (-\cos^3 x))$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x = -3\cos^3 x$

Заменяем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - \frac{1}{3} \cos x = -3\cos^3 x$

Поскольку из ОДЗ $\cos x \neq 0$, разделим обе части на $\cos x$:

$2\sin x - \frac{1}{3} = -3\cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$:

$2\sin x - \frac{1}{3} = -3(1 - \sin^2 x)$

$2\sin x - \frac{1}{3} = -3 + 3\sin^2 x$

Приведем к квадратному уравнению относительно $\sin x$:

$3\sin^2 x - 2\sin x - 3 + \frac{1}{3} = 0$

$3\sin^2 x - 2\sin x - \frac{8}{3} = 0$

Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби: $9\sin^2 x - 6\sin x - 8 = 0$.

Сделаем замену $u = \sin x$ и решим квадратное уравнение $9u^2 - 6u - 8 = 0$:

$u_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8)}}{2 \cdot 9} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 288}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{18} = \frac{6 \pm 18}{18}$

$u_1 = \frac{6+18}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$

$u_2 = \frac{6-18}{18} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$

Возвращаемся к замене $\sin x = u$.

$\sin x = \frac{4}{3}$ - это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.

$\sin x = -\frac{2}{3}$. Проверим это решение на соответствие ОДЗ: $\cos x < 0$ и $\sin x < 1/6$.

Значение $\sin x = -2/3$ удовлетворяет условию $\sin x < 1/6$.

Условия $\sin x = -2/3 < 0$ и $\cos x < 0$ одновременно выполняются только для углов в третьей четверти.

Найдём общее решение для $x$. Уравнение $\sin x = -2/3$ имеет две серии решений. Нам нужна та, которая соответствует третьей четверти.

$x = \pi - \arcsin(-2/3) + 2k\pi = \pi + \arcsin(2/3) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + \arcsin(\frac{2}{3}) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

857. 1) $\log_3(\sin 3x - \sin x) = 2\log_9(17\sin 2x) - 1;$

2) $\log_{\sqrt{7}}(\sin x - \cos x) + 1 = \log_7(7 + 3\cos 4x).$

Исходное уравнение: $ \log_3(\sin 3x - \sin x) = 2\log_9(17\sin 2x) - 1 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $ \begin{cases} \sin 3x - \sin x > 0 \\ 17\sin 2x > 0 \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство, используя формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $: $ \sin 3x - \sin x = 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 2\sin x \cos 2x > 0 $.

Второе неравенство: $ \sin 2x > 0 $. Используя формулу синуса двойного угла, получаем $ 2\sin x \cos x > 0 $. Это означает, что $ \sin x $ и $ \cos x $ должны иметь одинаковые знаки (т.е. $ x $ находится в I или III координатной четверти).

Совместим условия:

• Если $ \sin x > 0 $ и $ \cos x > 0 $ (I четверть), то из $ 2\sin x \cos 2x > 0 $ следует $ \cos 2x > 0 $.
• Если $ \sin x < 0 $ и $ \cos x < 0 $ (III четверть), то из $ 2\sin x \cos 2x > 0 $ следует $ \cos 2x < 0 $.

Теперь преобразуем само уравнение. Приведем все логарифмы к основанию 3. Используем свойство логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b $: $ 2\log_9(17\sin 2x) = 2\log_{3^2}(17\sin 2x) = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_3(17\sin 2x) = \log_3(17\sin 2x) $. Также представим $ 1 $ как $ \log_3 3 $.

Уравнение принимает вид: $ \log_3(\sin 3x - \sin x) = \log_3(17\sin 2x) - \log_3 3 $. Используя свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a(b/c) $: $ \log_3(\sin 3x - \sin x) = \log_3\left(\frac{17\sin 2x}{3}\right) $. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $ \sin 3x - \sin x = \frac{17\sin 2x}{3} $.

Подставим преобразованные выражения для синусов: $ 2\sin x \cos 2x = \frac{17(2\sin x \cos x)}{3} $. По ОДЗ, $ \sin 2x > 0 $, следовательно $ \sin x \neq 0 $. Мы можем разделить обе части уравнения на $ 2\sin x $: $ \cos 2x = \frac{17\cos x}{3} $. Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $: $ 2\cos^2 x - 1 = \frac{17\cos x}{3} $. Сделаем замену $ t = \cos x $, где $ |t| \le 1 $: $ 2t^2 - 1 = \frac{17t}{3} $ $ 6t^2 - 3 = 17t $ $ 6t^2 - 17t - 3 = 0 $.

Решим квадратное уравнение относительно $ t $: $ D = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 289 + 72 = 361 = 19^2 $. $ t_1 = \frac{17 + 19}{12} = \frac{36}{12} = 3 $. Этот корень не подходит, так как $ |\cos x| \le 1 $. $ t_2 = \frac{17 - 19}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} $.

Итак, мы получили $ \cos x = -\frac{1}{6} $. Проверим это решение на соответствие ОДЗ. Так как $ \cos x < 0 $, мы должны рассматривать случай, когда $ \sin x < 0 $ и $ \cos 2x < 0 $. Проверим $ \cos 2x $: $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(-\frac{1}{6})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{36} - 1 = \frac{1}{18} - 1 = -\frac{17}{18} < 0 $. Условие выполняется. Условия $ \cos x < 0 $ и $ \sin x < 0 $ означают, что угол $ x $ должен находиться в III четверти. Общее решение уравнения $ \cos x = -1/6 $ имеет вид $ x = \pm\arccos(-1/6) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Значение $ x = \arccos(-1/6) $ соответствует углу во II четверти, а $ x = -\arccos(-1/6) $ — углу в III четверти. Следовательно, нам подходят только решения из второй серии.

Ответ: $ x = -\arccos(-\frac{1}{6}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \log_{\sqrt{7}}(\sin x - \cos x) + 1 = \log_7(7+3\cos 4x) $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} \sin x - \cos x > 0 \\ 7+3\cos 4x > 0 \end{cases} $

Рассмотрим второе неравенство. Так как минимальное значение $ \cos 4x $ равно -1, то $ 7+3\cos 4x \ge 7+3(-1) = 4 > 0 $. Таким образом, это неравенство выполняется для любых $ x $. Остается только первое условие: $ \sin x - \cos x > 0 $.

Преобразуем уравнение, приведя логарифмы к основанию 7: $ \log_{\sqrt{7}}(\sin x - \cos x) = \log_{7^{1/2}}(\sin x - \cos x) = 2\log_7(\sin x - \cos x) = \log_7\left((\sin x - \cos x)^2\right) $. Представим $ 1 $ как $ \log_7 7 $. Уравнение примет вид: $ \log_7\left((\sin x - \cos x)^2\right) + \log_7 7 = \log_7(7+3\cos 4x) $. Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $: $ \log_7\left(7(\sin x - \cos x)^2\right) = \log_7(7+3\cos 4x) $. Приравниваем аргументы логарифмов: $ 7(\sin x - \cos x)^2 = 7+3\cos 4x $.

Раскроем скобки, используя формулу $ (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x $: $ 7(1 - \sin 2x) = 7+3\cos 4x $. $ 7 - 7\sin 2x = 7+3\cos 4x $. $ -7\sin 2x = 3\cos 4x $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x $: $ -7\sin 2x = 3(1 - 2\sin^2 2x) $. $ 6\sin^2 2x - 7\sin 2x - 3 = 0 $. Сделаем замену $ y = \sin 2x $, где $ |y| \le 1 $: $ 6y^2 - 7y - 3 = 0 $.

Решим квадратное уравнение: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $. $ y_1 = \frac{7 + 11}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $. Этот корень не подходит, так как $ |\sin 2x| \le 1 $. $ y_2 = \frac{7 - 11}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} $. Таким образом, $ \sin 2x = -\frac{1}{3} $.

Теперь вернемся к выражению $ (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x $. Подставим найденное значение $ \sin 2x $: $ (\sin x - \cos x)^2 = 1 - (-\frac{1}{3}) = \frac{4}{3} $. Отсюда $ \sin x - \cos x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} $. По ОДЗ нам требуется $ \sin x - \cos x > 0 $, поэтому выбираем значение с плюсом: $ \sin x - \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}} $.

Решим это тригонометрическое уравнение. Используем метод введения вспомогательного угла: $ \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \frac{2}{\sqrt{3}} $. $ \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}} $. $ \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}} $. $ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} $.

Общее решение этого уравнения: $ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. $ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

858. Найти все решения уравнения, удовлетворяющие данному неравенству:

1) $\sqrt{7 - \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x)} = \log_9(x^2 - 8x)$, $\sin x < \operatorname{tg}2x$;

2) $\sqrt{\log_{\frac{1}{6}}\left(x^2 + \frac{1}{6}x\right) \cdot \log_{36x^2 + 6x}6} = 1$, $\sin x > \operatorname{tg}6x$.

1)

Сначала решим уравнение $\sqrt{7 - \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x)} = \log_9(x^2 - 8x)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
   • $3x^2 - 24x > 0 \Rightarrow 3x(x-8) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.
   • $x^2 - 8x > 0 \Rightarrow x(x-8) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательно: $7 - \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x) \ge 0 \Rightarrow \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x) \le 7$.
3. Правая часть уравнения должна быть неотрицательна, так как она равна квадратному корню: $\log_9(x^2 - 8x) \ge 0$. Так как основание $9 > 1$, то $x^2 - 8x \ge 9^0 \Rightarrow x^2 - 8x \ge 1$.

Объединяя условия, получаем $x^2 - 8x \ge 1$. Решим это неравенство: $x^2 - 8x - 1 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2-8x-1=0$ равны $x = 4 \pm \sqrt{17}$. Таким образом, $x \in (-\infty, 4-\sqrt{17}] \cup [4+\sqrt{17}, \infty)$. С учетом условия $x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$, ОДЗ остается $x \in (-\infty, 4-\sqrt{17}] \cup [4+\sqrt{17}, \infty)$, поскольку $4-\sqrt{17} < 0$ и $4+\sqrt{17} > 8$.

Преобразуем логарифмы к основанию 3:

$\log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x) = \log_{3^{1/2}}(3(x^2 - 8x)) = 2\log_3(3(x^2-8x)) = 2(\log_3 3 + \log_3(x^2 - 8x)) = 2(1 + \log_3(x^2 - 8x))$.

$\log_9(x^2 - 8x) = \log_{3^2}(x^2 - 8x) = \frac{1}{2}\log_3(x^2 - 8x)$.

Сделаем замену $t = \log_3(x^2 - 8x)$. Из ОДЗ ($x^2 - 8x \ge 1$) следует, что $t = \log_3(x^2-8x) \ge \log_3 1 = 0$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{7 - 2(1+t)} = \frac{1}{2}t$

$\sqrt{5 - 2t} = \frac{1}{2}t$

Возведем обе части в квадрат, учитывая, что $t \ge 0$ и $5-2t \ge 0 \Rightarrow t \le 2.5$. Итак, $t \in [0, 2.5]$.

$5 - 2t = \frac{t^2}{4}$

$20 - 8t = t^2$

$t^2 + 8t - 20 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -10$. Условию $t \in [0, 2.5]$ удовлетворяет только $t=2$.

Вернемся к переменной $x$:

$\log_3(x^2 - 8x) = 2$

$x^2 - 8x = 3^2 = 9$

$x^2 - 8x - 9 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни неравенству $\sin x < \tg 2x$.

Для $x = -1$ (угол в радианах):

$\sin(-1) < \tg(-2) \Rightarrow -\sin 1 < -\tg 2 \Rightarrow \sin 1 > \tg 2$.

Угол $1$ радиан находится в I четверти, поэтому $\sin 1 > 0$. Угол $2$ радиана находится во II четверти, поэтому $\tg 2 < 0$. Неравенство $\sin 1 > \tg 2$ верно, так как положительное число всегда больше отрицательного. Следовательно, $x=-1$ является решением.

Для $x = 9$ (угол в радианах):

$\sin 9 < \tg 18$.

Так как $2\pi \approx 6.28$ и $3\pi \approx 9.42$, угол $9$ радиан находится во II четверти ($9 \in (\frac{5\pi}{2}, 3\pi)$), поэтому $\sin 9 > 0$.

Так как $5\pi \approx 15.7$ и $6\pi \approx 18.84$, угол $18$ радиан находится в IV четверти ($18 \in (\frac{11\pi}{2}, 6\pi)$), поэтому $\tg 18 < 0$.

Неравенство $\sin 9 < \tg 18$ неверно, так как положительное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, $x=9$ не является решением.

Ответ: $x = -1$.

2)

Сначала решим уравнение $\sqrt{\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x)} \cdot \log_{36x^2+6x} 6 = 1$.

Найдем ОДЗ:

1. Выражение под корнем неотрицательно: $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x) \ge 0$. Так как основание $\frac{1}{6} < 1$, то $0 < x^2 + \frac{1}{6}x \le (\frac{1}{6})^0=1$.
   • $x^2 + \frac{1}{6}x > 0 \Rightarrow x(x+\frac{1}{6}) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -1/6) \cup (0, \infty)$.
   • $x^2 + \frac{1}{6}x \le 1 \Rightarrow 6x^2+x-6 \le 0$. Корни $x = \frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$. Значит, $x \in [\frac{-1-\sqrt{145}}{12}, \frac{-1+\sqrt{145}}{12}]$.
   Объединяя, получаем $x \in [\frac{-1-\sqrt{145}}{12}, -\frac{1}{6}) \cup (0, \frac{-1+\sqrt{145}}{12}]$.
2. Основание второго логарифма должно быть положительно и не равно 1: $36x^2+6x > 0$ (это условие уже учтено) и $36x^2+6x \ne 1$. Решим $36x^2+6x-1=0$: $x = \frac{-6\pm\sqrt{36+144}}{72} = \frac{-6\pm\sqrt{180}}{72} = \frac{-6\pm6\sqrt{5}}{72} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{12}$. Эти значения нужно исключить из ОДЗ.

Преобразуем уравнение. Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_{36x^2+6x} 6 = \frac{1}{\log_6(36x^2+6x)}$.

$\sqrt{\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x)} = \log_6(36x^2+6x)$.

Преобразуем левую часть: $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x) = \log_{6^{-1}}(\frac{6x^2+x}{6}) = -\log_6(\frac{6x^2+x}{6}) = -(\log_6(6x^2+x)-\log_6 6) = 1-\log_6(6x^2+x)$.

Преобразуем правую часть: $\log_6(36x^2+6x) = \log_6(6(6x^2+x)) = \log_6 6 + \log_6(6x^2+x) = 1+\log_6(6x^2+x)$.

Сделаем замену $t = \log_6(6x^2+x)$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{1-t} = 1+t$.

Из ОДЗ $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x) \ge 0 \Rightarrow 1-t \ge 0 \Rightarrow t \le 1$. Из уравнения $\sqrt{1-t} = 1+t$ следует $1+t \ge 0 \Rightarrow t \ge -1$. Итого, $t \in [-1, 1]$.

Возведем в квадрат: $1-t = (1+t)^2 \Rightarrow 1-t = 1+2t+t^2 \Rightarrow t^2+3t=0 \Rightarrow t(t+3)=0$.

Корни: $t_1=0$, $t_2=-3$. Условию $t \in [-1, 1]$ удовлетворяет только $t=0$.

Вернемся к $x$: $\log_6(6x^2+x) = 0 \Rightarrow 6x^2+x = 6^0=1 \Rightarrow 6x^2+x-1=0$.

Корни этого уравнения: $x = \frac{-1\pm\sqrt{1-4(6)(-1)}}{12} = \frac{-1\pm 5}{12}$.

$x_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Проверим корни по неравенству $\sin x > \tg 6x$.

Для $x = 1/3$:

$\sin(1/3) > \tg(6 \cdot 1/3) = \tg 2$.

Угол $1/3$ радиана в I четверти, $\sin(1/3)>0$. Угол $2$ радиана во II четверти, $\tg 2 < 0$. Неравенство верно. $x=1/3$ - решение.

Для $x = -1/2$:

$\sin(-1/2) > \tg(6 \cdot (-1/2)) = \tg(-3)$.

$-\sin(1/2) > -\tg 3 \Rightarrow \sin(1/2) < \tg 3$.

Угол $1/2$ радиана в I четверти, $\sin(1/2)>0$. Угол $3$ радиана во II четверти, $\tg 3 < 0$. Неравенство $\sin(1/2) < \tg 3$ неверно. $x=-1/2$ не является решением.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

859. Решить уравнение $\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ и указать любой его положительный корень.

Решение уравнения

Дано тригонометрическое уравнение: $cos(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.

Для его решения воспользуемся общей формулой для уравнений вида $cos(t) = a$, которая гласит: $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

В нашем уравнении аргумент косинуса $t = 3x - \frac{\pi}{4}$, а значение $a = \frac{1}{2}$.

Найдём арккосинус: $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$3x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, сначала выразим $3x$, перенеся $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:

$3x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Это выражение представляет собой две серии корней. Рассмотрим каждую из них отдельно.

1. Cо знаком плюс:

$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$3x = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + 2\pi k = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$

Делим обе части на 3:

$x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$

2. Cо знаком минус:

$3x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$3x = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$

Делим обе части на 3:

$x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: Общее решение уравнения: $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Указание положительного корня

Теперь необходимо найти и указать любой положительный корень ($x>0$) из полученных серий решений.

Рассмотрим первую серию корней: $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$.

Выберем самое простое целое значение для $k$, при котором $x$ будет положительным. Попробуем $k=0$:

$x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = \frac{7\pi}{36}$

Поскольку $\pi$ является положительным числом, то и $\frac{7\pi}{36}$ будет положительным. Таким образом, мы нашли один из положительных корней.

Ответ: $\frac{7\pi}{36}$.

860. С помощью графика синуса или косинуса найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3\pi]$:

1) $\cos x = -\frac{1}{2}$;

2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1)

Чтобы найти все корни уравнения $cos(x) = -1/2$ на промежутке $[-π; 3π]$, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = cos(x)$ и прямой $y = -1/2$ на указанном промежутке.

Построим графики этих функций. График $y = cos(x)$ — это косинусоида, а график $y = -1/2$ — это прямая, параллельная оси Ox.

Рассмотрим, где эти графики пересекаются на интервале $[-π; 3π]$:

• На промежутке $[-π; 0]$ функция $cos(x)$ возрастает от $-1$ до $1$. Она пересекает прямую $y = -1/2$ один раз. Так как $cos(x)$ является четной функцией, и основной корень уравнения $cos(x) = -1/2$ в $[0; π]$ равен $x = arccos(-1/2) = 2π/3$, то симметричный ему корень в $[-π; 0]$ равен $x_1 = -2π/3$.
• На промежутке $[0; 2π]$ (полный период косинуса) уравнение $cos(x) = -1/2$ имеет два решения. Первое — $x_2 = 2π/3$. Второе решение находится как $x_3 = 2π - 2π/3 = 4π/3$. Оба этих значения лежат в заданном промежутке $[-π; 3π]$.
• На промежутке $[2π; 3π]$ функция $cos(x)$ убывает от $1$ до $-1$. Она пересекает прямую $y = -1/2$ еще раз. Этот корень можно найти, прибавив период $2π$ к наименьшему положительному корню $2π/3$: $x_4 = 2π/3 + 2π = 8π/3$. Так как $2π \le 8π/3 \le 3π$ ($6π/3 \le 8π/3 \le 9π/3$), этот корень принадлежит заданному промежутку.

Таким образом, мы нашли четыре корня уравнения на заданном промежутке.

Ответ: $-2π/3; 2π/3; 4π/3; 8π/3$.

2)

Чтобы найти все корни уравнения $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-π; 3π]$, найдем абсциссы точек пересечения графика функции $y = sin(x)$ и прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на этом промежутке.

Построим графики синусоиды $y = sin(x)$ и горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим пересечения на интервале $[-π; 3π]$:

• На промежутке $[-π; 0]$ функция $sin(x)$ изменяется от $0$ до $-1$ и обратно до $0$. Она пересекает прямую $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ дважды. Главное значение $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -π/3$. Это наш первый корень: $x_1 = -π/3$. Второй корень на этом отрезке можно найти из соображений симметрии графика синуса относительно точки $x = -π/2$: $x_2 = -π - (-π/3) = -π + π/3 = -2π/3$. Оба корня принадлежат промежутку $[-π; 3π]$.
• На промежутке $[0; 2π]$ (полный период синуса) уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения, расположенных в III и IV координатных четвертях. Первый корень: $x_3 = π + π/3 = 4π/3$. Второй корень: $x_4 = 2π - π/3 = 5π/3$. Оба значения входят в заданный промежуток $[-π; 3π]$.
• На промежутке $[2π; 3π]$ функция $sin(x)$ принимает неотрицательные значения (от $0$ до $1$ и обратно до $0$). Следовательно, на этом отрезке график $y = sin(x)$ не может пересечься с прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, так как ее значения отрицательны. Корней на этом участке нет.

Таким образом, мы нашли четыре корня уравнения на заданном промежутке.

Ответ: $-2π/3; -π/3; 4π/3; 5π/3$.

Решить уравнение (861–876).

861.

1) $ \sin 2x = \frac{1}{2} $;

2) $ \cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

3) $ 2\mathrm{tg} x + 5 = 0 $.

1) $sin(2x) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $sin(t) = a$ записывается формулой: $t = (-1)^n arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В данном случае $t = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$.

Значение арксинуса: $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в формулу:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{6}}{2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

2) $cos(3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $cos(t) = a$ записывается формулой: $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В данном случае $t = 3x$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение арккосинуса найдем по свойству $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$:

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем значения в формулу:

$3x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pm \frac{3\pi}{4}}{3} + \frac{2\pi n}{3}$

$x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in Z$.

3) $2tgx + 5 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $tgx$:

$2tgx = -5$

$tgx = -\frac{5}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $tg(x) = a$ записывается формулой: $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В данном случае $a = -\frac{5}{2}$.

Подставляем значение в формулу:

$x = arctg(-\frac{5}{2}) + \pi n$, где $n \in Z$.

Используя свойство нечетности арктангенса $arctg(-a) = -arctg(a)$, упростим запись:

$x = -arctg(\frac{5}{2}) + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -arctg(\frac{5}{2}) + \pi n$, $n \in Z$.

862. 1) $3\cos^2 x - 5\cos x - 12 = 0;$

2) $3\tan^2 x - 4\tan x + 5 = 0.$

1)

Дано тригонометрическое уравнение: $3\cos^2 x - 5\cos x - 12 = 0$.
Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.
После замены уравнение принимает вид:
$3t^2 - 5t - 12 = 0$.
Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.
Теперь необходимо выполнить обратную замену и проверить, удовлетворяют ли найденные корни ограничению $-1 \le t \le 1$.
1. Для $t_1 = 3$: получаем уравнение $\cos x = 3$. Это уравнение не имеет решений, так как $3 > 1$, что не входит в область значений косинуса.
2. Для $t_2 = -\frac{4}{3}$: получаем уравнение $\cos x = -\frac{4}{3}$. Это уравнение также не имеет решений, так как $-\frac{4}{3} \approx -1.33$, что меньше $-1$ и не входит в область значений косинуса.
Так как ни один из корней квадратного уравнения не удовлетворяет условию замены, исходное тригонометрическое уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

2)

Дано тригонометрическое уравнение: $3\text{tg}^2 x - 4\text{tg} x + 5 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $\text{tg} x$. Введем замену переменной.
Пусть $y = \text{tg} x$. Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$, поэтому на переменную $y$ никаких ограничений не накладывается.
После замены получаем квадратное уравнение:
$3y^2 - 4y + 5 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения, чтобы определить наличие у него действительных корней.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $3y^2 - 4y + 5 = 0$ не имеет действительных корней.
Это означает, что не существует такого действительного числа $y$, которое бы удовлетворяло этому уравнению. Следовательно, уравнение $y = \text{tg} x$ не может быть решено.
Таким образом, исходное тригонометрическое уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

863. 1) $(3 - 4\sin x)(3 + 4\cos x) = 0;$

2) $(\text{tg} x + 3)(\text{tg} x + 1) = 0.$

1) Исходное уравнение: $(3 - 4\sin x)(3 + 4\cos x) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $3 - 4\sin x = 0$
2) $3 + 4\cos x = 0$

Решим первое уравнение:
$3 - 4\sin x = 0$
$4\sin x = 3$
$\sin x = \frac{3}{4}$
Поскольку $|\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения. Общий вид решений для $\sin x = a$ таков: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение:
$3 + 4\cos x = 0$
$4\cos x = -3$
$\cos x = -\frac{3}{4}$
Поскольку $|-\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения. Общий вид решений для $\cos x = a$ таков: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения обоих уравнений.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $(\operatorname{tg} x + 3)(\operatorname{tg} x + 1) = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений:
1) $\operatorname{tg} x + 3 = 0$
2) $\operatorname{tg} x + 1 = 0$

Решим первое уравнение:
$\operatorname{tg} x + 3 = 0$
$\operatorname{tg} x = -3$
Общее решение: $x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арктангенса, $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем: $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение:
$\operatorname{tg} x + 1 = 0$
$\operatorname{tg} x = -1$
Это табличное значение. Общее решение: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Обе серии корней удовлетворяют ОДЗ, так как для этих значений $x$ тангенс существует. Объединяем полученные решения.
Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

864. 1) $\sin 2x = 3\sin x \cos^2 x;$

2) $\sin 4x = \sin 2x;$

3) $\cos 2x + \cos^2 x = 0;$

4) $\sin 2x = \cos^2 x.$

1) $sin2x = 3sinx \cdot cos^2x$

Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx \cdot cosx$:

$2sinx \cdot cosx = 3sinx \cdot cos^2x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2sinx \cdot cosx - 3sinx \cdot cos^2x = 0$

Вынесем общий множитель $sinx \cdot cosx$ за скобки:

$sinx \cdot cosx (2 - 3cosx) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три случая:

а) $sinx = 0$

$x = \pi n, n \in Z$

б) $cosx = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

в) $2 - 3cosx = 0$

$3cosx = 2$

$cosx = \frac{2}{3}$

$x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi m, m \in Z$

Ответ: $x = \pi n$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi m$, где $n, k, m \in Z$.

2) $sin4x = sin2x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$sin4x - sin2x = 0$

Воспользуемся формулой разности синусов $sina - sinb = 2sin(\frac{a-b}{2})cos(\frac{a+b}{2})$:

$2sin(\frac{4x-2x}{2})cos(\frac{4x+2x}{2}) = 0$

$2sin(x)cos(3x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $sinx = 0$

$x = \pi n, n \in Z$

б) $cos3x = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$

Ответ: $x = \pi n$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $n, k \in Z$.

3) $cos2x + cos^2x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $cos2x = 2cos^2x - 1$, чтобы привести уравнение к квадратному относительно $cosx$:

$(2cos^2x - 1) + cos^2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$3cos^2x - 1 = 0$

$3cos^2x = 1$

$cos^2x = \frac{1}{3}$

Отсюда $cosx = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Решения для $cosx = \frac{1}{\sqrt{3}}$ это $x = \pm arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) + 2\pi n, n \in Z$.

Решения для $cosx = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ это $x = \pm arccos(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + 2\pi k, k \in Z$.

Эти две серии решений можно объединить в одну более компактную форму:

$x = \pm arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi m, m \in Z$.

Ответ: $x = \pm arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi m, m \in Z$.

4) $sin2x = cos^2x$

Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx \cdot cosx$:

$2sinx \cdot cosx = cos^2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2sinx \cdot cosx - cos^2x = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(2sinx - cosx) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $cosx = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$

б) $2sinx - cosx = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Заметим, что если $cosx = 0$, то из этого уравнения следует, что и $sinx = 0$, что невозможно, так как $sin^2x + cos^2x = 1$. Следовательно, $cosx \neq 0$ в этом случае, и мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$:

$\frac{2sinx}{cosx} - \frac{cosx}{cosx} = 0$

$2tanx - 1 = 0$

$tanx = \frac{1}{2}$

$x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; $x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $n, k \in Z$.

865. 1) $ \sin 2x = 3\cos x; $

2) $ \sin 4x = \cos^4 x - \sin^4 x; $

3) $ 2\cos^2 x = 1 + 4\sin 2x; $

4) $ 2\cos x + \cos 2x = 2\sin x. $

1) $sin 2x = 3cos x$

Используем формулу синуса двойного угла: $sin 2x = 2sin x cos x$.

$2sin x cos x = 3cos x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:

$2sin x cos x - 3cos x = 0$

Вынесем общий множитель $cos x$ за скобки:

$cos x (2sin x - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

a) $cos x = 0$

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

b) $2sin x - 3 = 0$

$sin x = \frac{3}{2}$

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может превышать 1.

Следовательно, решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $sin 4x = cos^4 x - sin^4 x$

Правую часть уравнения можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$cos^4 x - sin^4 x = (cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x)$

Применяем основное тригонометрическое тождество $cos^2 x + sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$.

$(cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x) = cos 2x \cdot 1 = cos 2x$

Уравнение принимает вид:

$sin 4x = cos 2x$

Используем формулу синуса двойного угла для $sin 4x = 2sin 2x cos 2x$:

$2sin 2x cos 2x = cos 2x$

$2sin 2x cos 2x - cos 2x = 0$

$cos 2x (2sin 2x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

a) $cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

b) $2sin 2x - 1 = 0$

$sin 2x = \frac{1}{2}$

$2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $2cos^2 x = 1 + 4sin 2x$

Используем формулу понижения степени для косинуса: $2cos^2 x = 1 + cos 2x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$1 + cos 2x = 1 + 4sin 2x$

$cos 2x = 4sin 2x$

Если $cos 2x = 0$, то и $sin 2x$ должен быть равен 0, что невозможно, так как $sin^2(2x) + cos^2(2x) = 1$. Следовательно, $cos 2x \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $cos 2x$:

$\frac{cos 2x}{cos 2x} = \frac{4sin 2x}{cos 2x}$

$1 = 4tan 2x$

$tan 2x = \frac{1}{4}$

Решаем это уравнение относительно $2x$:

$2x = arctan(\frac{1}{4}) + \pi n$

$x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $2cos x + cos 2x = 2sin x$

Перенесем $2sin x$ в левую часть и используем формулу косинуса двойного угла $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$:

$2cos x - 2sin x + cos^2 x - sin^2 x = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов:

$2(cos x - sin x) + (cos x - sin x)(cos x + sin x) = 0$

Вынесем общий множитель $(cos x - sin x)$ за скобки:

$(cos x - sin x)(2 + cos x + sin x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

a) $cos x - sin x = 0$

$cos x = sin x$

Если $cos x = 0$, то и $sin x=0$, что невозможно. Значит, $cos x \neq 0$. Делим обе части на $cos x$:

$1 = tan x$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

b) $2 + cos x + sin x = 0$

$cos x + sin x = -2$

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла: $cos x + sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}sin x) = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$.

$\sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) = -2$

$sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть меньше -1, а $-\sqrt{2} < -1$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

866. 1) $cos x + cos 2x = 0;$

2) $cos x - cos 5x = 0;$

3) $sin 3x + sin x = 2sin 2x;$

4) $sin x + sin 2x + sin 3x = 0.$

1) $ \cos x + \cos 2x = 0 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 2\cos^2x - 1 $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \cos x + (2\cos^2x - 1) = 0 $

$ 2\cos^2x + \cos x - 1 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ \cos x $. Сделаем замену переменной: пусть $ t = \cos x $, где $ |t| \le 1 $.

$ 2t^2 + t - 1 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $.

$ t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $

$ t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Оба корня удовлетворяют условию $ |t| \le 1 $. Теперь вернемся к исходной переменной $ x $.

1. $ \cos x = -1 $. Решением этого уравнения является серия корней: $ x = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos x = \frac{1}{2} $. Решением этого уравнения является серия корней: $ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. $

2) $ \cos x - \cos 5x = 0 $

Перенесем $ \cos 5x $ в правую часть:

$ \cos x = \cos 5x $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$ -2\sin\frac{x+5x}{2}\sin\frac{x-5x}{2} = 0 $

$ -2\sin(3x)\sin(-2x) = 0 $

Так как $ \sin(-2x) = -\sin(2x) $, получаем:

$ 2\sin(3x)\sin(2x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1. $ \sin(3x) = 0 $. Решением является $ 3x = \pi n $, откуда $ x = \frac{\pi n}{3}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin(2x) = 0 $. Решением является $ 2x = \pi k $, откуда $ x = \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}. $

3) $ \sin 3x + \sin x = 2\sin 2x $

Для левой части уравнения применим формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin 2x $

$ 2\sin(2x)\cos(x) = 2\sin 2x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ 2\sin(2x)\cos(x) - 2\sin 2x = 0 $

$ 2\sin(2x)(\cos x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $ \sin(2x) = 0 $. Отсюда $ 2x = \pi n $, что дает $ x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos x - 1 = 0 $, то есть $ \cos x = 1 $. Отсюда $ x = 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что вторая серия решений $ (x = 2\pi k) $ является подмножеством первой серии $ (x = \frac{\pi n}{2}) $, так как при $ n = 4k $ мы получаем $ x = \frac{\pi (4k)}{2} = 2\pi k $. Следовательно, достаточно указать только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}. $

4) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов:

$ (\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin(2x)\cos(x) + \sin 2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (2\cos x + 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \sin(2x) = 0 $. Отсюда $ 2x = \pi n $, что дает $ x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\cos x + 1 = 0 $, то есть $ \cos x = -\frac{1}{2} $. Отсюда $ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. $