Страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

836. Найти все числа a, для которых выполняется условие

$4 \cdot 2^{3a} = 0,25^{\frac{a^2}{2}}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В качестве общего основания удобно выбрать число 2.

Представим коэффициенты 4 и 0,25 в виде степеней двойки:

$4 = 2^2$

$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение $4 \cdot 2^{3a} = 0,25^{\frac{a^2}{2}}$:

$2^2 \cdot 2^{3a} = (2^{-2})^{\frac{a^2}{2}}$

Воспользуемся свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), а при возведении степени в степень — перемножаются ($(x^m)^n = x^{m \cdot n}$).

Упростим левую часть уравнения:

$2^2 \cdot 2^{3a} = 2^{2+3a}$

Упростим правую часть уравнения:

$(2^{-2})^{\frac{a^2}{2}} = 2^{-2 \cdot \frac{a^2}{2}} = 2^{-a^2}$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2^{2+3a} = 2^{-a^2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 + 3a = -a^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$:

$a^2 + 3a + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$a_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, искомыми значениями $a$ являются -1 и -2.

Ответ: -2; -1.

Решить уравнение (837–857).

$3^{x-7} = 81;$

2) $2^{x^2 - 5x + 6,5} = \sqrt{2};$

3) $\left(\frac{1}{4} \cdot 4^x\right)^x = 2^{2x+6}.$

1) Дано уравнение $3^{x-7} = 81$.

Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. Основание левой части равно 3. Представим число 81 в виде степени с основанием 3. Поскольку $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, уравнение можно переписать в следующем виде:

$3^{x-7} = 3^4$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 7 = 4$

Решаем полученное линейное уравнение, перенеся -7 в правую часть:

$x = 4 + 7$

$x = 11$

Ответ: 11

2) Дано уравнение $2^{x^2 - 5x + 6,5} = \sqrt{2}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Правую часть, $\sqrt{2}$, можно представить в виде степени как $2^{1/2}$ или $2^{0,5}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$2^{x^2 - 5x + 6,5} = 2^{0,5}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 - 5x + 6,5 = 0,5$

Перенесем 0,5 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6,5 - 0,5 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Также можно было воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.

Ответ: 2; 3

3) Дано уравнение $(\frac{1}{4} \cdot 4^x)^x = 2^{2x+6}$.

Для решения этого уравнения необходимо привести обе части к одному основанию, в данном случае к 2. Преобразуем левую часть. Мы знаем, что $\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$ и $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$(2^{-2} \cdot 2^{2x})^x = 2^{2x+6}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для выражения в скобках:

$(2^{2x-2})^x = 2^{2x+6}$

Теперь используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$2^{x(2x-2)} = 2^{2x+6}$

$2^{2x^2 - 2x} = 2^{2x+6}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x^2 - 2x = 2x + 6$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 - 2x - 2x - 6 = 0$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Ответ: -1; 3

1) Исходное уравнение: $9^{5x} - 9^{5x-1} = 8$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}$. Преобразуем член $9^{5x-1}$:
$9^{5x-1} = 9^{5x} \cdot 9^{-1} = \frac{9^{5x}}{9}$.
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$9^{5x} - \frac{9^{5x}}{9} = 8$.
Вынесем общий множитель $9^{5x}$ за скобки:
$9^{5x} \left(1 - \frac{1}{9}\right) = 8$.
Упростим выражение в скобках:
$9^{5x} \left(\frac{9}{9} - \frac{1}{9}\right) = 8$.
$9^{5x} \cdot \frac{8}{9} = 8$.
Чтобы найти $9^{5x}$, умножим обе части уравнения на $\frac{9}{8}$:
$9^{5x} = 8 \cdot \frac{9}{8}$.
$9^{5x} = 9$.
Так как $9 = 9^1$, мы можем приравнять показатели степеней:
$5x = 1$.
$x = \frac{1}{5}$.
Ответ: $x = \frac{1}{5}$.

2) Исходное уравнение: $2^{x+4} - 2^x = 120$.
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем член $2^{x+4}$:
$2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^x$.
Подставим это выражение в уравнение:
$16 \cdot 2^x - 2^x = 120$.
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x(16 - 1) = 120$.
$2^x \cdot 15 = 120$.
Разделим обе части уравнения на 15:
$2^x = \frac{120}{15}$.
$2^x = 8$.
Представим 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2^3$.
$2^x = 2^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 3$.
Ответ: $x = 3$.

3) Исходное уравнение: $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 155$.
Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$.
$5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{5^x}{5}$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$5 \cdot 5^x + 5^x + \frac{5^x}{5} = 155$.
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x \left(5 + 1 + \frac{1}{5}\right) = 155$.
Упростим выражение в скобках:
$5^x \left(6 + \frac{1}{5}\right) = 155$.
$5^x \left(\frac{30}{5} + \frac{1}{5}\right) = 155$.
$5^x \cdot \frac{31}{5} = 155$.
Чтобы найти $5^x$, умножим обе части на $\frac{5}{31}$:
$5^x = 155 \cdot \frac{5}{31}$.
$5^x = 5 \cdot 5 = 25$.
Представим 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.
$5^x = 5^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

4) Исходное уравнение: $3^{2x} - 2 \cdot 3^{2x-1} - 2 \cdot 3^{2x-2} = 1$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$3^{2x-1} = \frac{3^{2x}}{3^1} = \frac{3^{2x}}{3}$.
$3^{2x-2} = \frac{3^{2x}}{3^2} = \frac{3^{2x}}{9}$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$3^{2x} - 2 \cdot \frac{3^{2x}}{3} - 2 \cdot \frac{3^{2x}}{9} = 1$.
Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:
$3^{2x} \left(1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{9}\right) = 1$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 9:
$3^{2x} \left(\frac{9}{9} - \frac{6}{9} - \frac{2}{9}\right) = 1$.
$3^{2x} \left(\frac{9-6-2}{9}\right) = 1$.
$3^{2x} \cdot \frac{1}{9} = 1$.
Умножим обе части уравнения на 9:
$3^{2x} = 9$.
Представим 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.
$3^{2x} = 3^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 2$.
$x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

5) Исходное уравнение: $7^x - 7^{x-1} = 6$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$7^{x-1} = \frac{7^x}{7^1} = \frac{7^x}{7}$.
Подставим это выражение в уравнение:
$7^x - \frac{7^x}{7} = 6$.
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:
$7^x \left(1 - \frac{1}{7}\right) = 6$.
Упростим выражение в скобках:
$7^x \left(\frac{7}{7} - \frac{1}{7}\right) = 6$.
$7^x \cdot \frac{6}{7} = 6$.
Чтобы найти $7^x$, умножим обе части уравнения на $\frac{7}{6}$:
$7^x = 6 \cdot \frac{7}{6}$.
$7^x = 7$.
Так как $7 = 7^1$, приравниваем показатели степеней:
$x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

6) Исходное уравнение: $3^{x+2} + 3^x = 10$.
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$.
Подставим это выражение в уравнение:
$9 \cdot 3^x + 3^x = 10$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(9 + 1) = 10$.
$3^x \cdot 10 = 10$.
Разделим обе части уравнения на 10:
$3^x = 1$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 3^0$.
$3^x = 3^0$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

839. 1) $5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)};$

2) $0.2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = \left(\frac{1}{5}\right)^6.$

1) $5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)}$

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести все степени к одинаковым основаниям. Заметим, что $35 = 5 \cdot 7$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$35^{\frac{1}{2}(5x+6)} = (5 \cdot 7)^{\frac{1}{2}(5x+6)} = 5^{\frac{1}{2}(5x+6)} \cdot 7^{\frac{1}{2}(5x+6)}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 5^{\frac{5x+6}{2}} \cdot 7^{\frac{5x+6}{2}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $5^{\frac{5x+6}{2}}$ и на $7^{3x+1}$ (эти выражения не равны нулю ни при каких значениях $x$):

$\frac{5^{2x+5}}{5^{\frac{5x+6}{2}}} = \frac{7^{\frac{5x+6}{2}}}{7^{3x+1}}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{(2x+5) - \frac{5x+6}{2}} = 7^{\frac{5x+6}{2} - (3x+1)}$

Упростим выражения в показателях степеней:

Показатель слева: $2x+5 - \frac{5x}{2} - \frac{6}{2} = 2x+5 - 2.5x - 3 = -0.5x + 2$

Показатель справа: $\frac{5x}{2} + \frac{6}{2} - 3x - 1 = 2.5x + 3 - 3x - 1 = -0.5x + 2$

Уравнение принимает вид:

$5^{-0.5x + 2} = 7^{-0.5x + 2}$

Равенство вида $a^y = b^y$, где $a, b > 0$ и $a \neq b$, выполняется только тогда, когда показатель степени $y$ равен нулю.

Следовательно, приравниваем показатель к нулю:

$-0.5x + 2 = 0$

$-0.5x = -2$

$x = \frac{-2}{-0.5}$

$x = 4$

Ответ: $4$

2) $0.2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = (\frac{1}{5})^6$

Приведем все члены уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 5.

Преобразуем десятичную дробь и дробь в правой части в степени с основанием 5:

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$(\frac{1}{5})^6 = (5^{-1})^6 = 5^{-6}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(5^{-1})^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6}$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6}$

$5^{-x^2 + 2x + 2} = 5^{-6}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x^2 + 2x + 2 = -6$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 + 2x + 2 + 6 = 0$

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства решения:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 4$

840. 1) $2.4^{3-2x} = 2.4^{3x-2}$;

2) $\left(\frac{5}{3}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{x-2}$;

3) $\frac{1}{\sqrt{8}} = \left(\frac{1}{16}\right)^{-x}$.

1) $2,4^{3-2x} = 2,4^{3x-2}$

В данном показательном уравнении основания степеней в левой и правой частях одинаковы. Если основания равны ($a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a>0, a \neq 1$), то равны и их показатели.

Приравняем показатели степеней:

$3 - 2x = 3x - 2$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую.

$3 + 2 = 3x + 2x$

$5 = 5x$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{5}{5}$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

2) $(\frac{5}{3})^x = (\frac{3}{5})^{x-2}$

В этом уравнении основания степеней являются взаимно обратными числами. Чтобы привести их к одному основанию, воспользуемся свойством степени: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Представим правую часть уравнения с основанием $\frac{5}{3}$:

$\frac{3}{5} = (\frac{5}{3})^{-1}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\frac{5}{3})^x = ((\frac{5}{3})^{-1})^{x-2}$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть:

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^{-1 \cdot (x-2)}$

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^{-x+2}$

Теперь, когда основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = -x + 2$

Решим полученное линейное уравнение:

$x + x = 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

3) $\frac{1}{\sqrt{8}} = (\frac{1}{16})^{-x}$

Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к степени с одинаковым основанием. Заметим, что числа 8 и 16 являются степенями числа 2:

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

Преобразуем левую часть уравнения:

$\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = 8^{-1/2} = (2^3)^{-1/2} = 2^{-3/2}$

Теперь преобразуем правую часть. Используя свойство $(\frac{1}{a})^{-n} = a^n$, получаем:

$(\frac{1}{16})^{-x} = 16^x$

Подставим $16 = 2^4$:

$16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$2^{-3/2} = 2^{4x}$

Основания степеней равны, поэтому приравниваем их показатели:

$-\frac{3}{2} = 4x$

Найдем $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{-3/2}{4} = -\frac{3}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{8}$

Ответ: $x = -\frac{3}{8}$.

841. 1) $(\frac{4}{9})^x \cdot (\frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3};$

2) $\sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216.$

1) $(\frac{4}{9})^x \cdot (\frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3}$

Для решения этого показательного уравнения приведем все степени к одному основанию $\frac{2}{3}$.

Представим дроби в виде степеней с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2$

$\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3 = ((\frac{2}{3})^{-1})^3 = (\frac{2}{3})^{-3}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$((\frac{2}{3})^2)^x \cdot ((\frac{2}{3})^{-3})^{x-1} = (\frac{2}{3})^1$

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{2}{3})^{2x} \cdot (\frac{2}{3})^{-3(x-1)} = (\frac{2}{3})^1$

Раскроем скобки в показателе второго множителя:

$(\frac{2}{3})^{2x} \cdot (\frac{2}{3})^{-3x+3} = (\frac{2}{3})^1$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(\frac{2}{3})^{2x + (-3x+3)} = (\frac{2}{3})^1$

Упростим показатель степени в левой части:

$(\frac{2}{3})^{-x+3} = (\frac{2}{3})^1$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x + 3 = 1$

Решим полученное линейное уравнение:

$-x = 1 - 3$

$-x = -2$

$x = 2$

Ответ: $2$

2) $\sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойствами корней и степеней.

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ для левой части уравнения:

$\sqrt[3]{2^x \cdot 3^x} = 216$

В подкоренном выражении применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^m \cdot b^m = (ab)^m$:

$\sqrt[3]{(2 \cdot 3)^x} = 216$

$\sqrt[3]{6^x} = 216$

Представим корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$6^{\frac{x}{3}} = 216$

Теперь представим правую часть уравнения, число 216, в виде степени с основанием 6:

$216 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$

Подставим это значение в уравнение:

$6^{\frac{x}{3}} = 6^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\frac{x}{3} = 3$

Найдем $x$ из полученного уравнения:

$x = 3 \cdot 3$

$x = 9$

Ответ: $9$

842. 1) $3^{2x} - 3^x = 72;$

2) $4^x - 2^{x+1} = 48.$

1) $3^{2x} - 3^x = 72$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $3^{2x}$ можно представить как $(3^x)^2$.
Перепишем уравнение в виде:
$(3^x)^2 - 3^x - 72 = 0$

Это уравнение сводится к квадратному с помощью введения новой переменной.
Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, должно выполняться условие $t > 0$.
После замены уравнение принимает вид:
$t^2 - t - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $t > 0$.
Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию, так как $9 > 0$.
Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет условию, так как $-8 < 0$, поэтому он является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:
$3^x = 9$
Представим число 9 как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.
$3^x = 3^2$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$x=2$

Ответ: $2$.

2) $4^x - 2^{x+1} = 48$

Для решения этого показательного уравнения приведем все степени к одному основанию 2.
Воспользуемся свойствами степеней: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x = 48$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение, приведенное к стандартному виду:
$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 48 = 0$

Введем новую переменную, чтобы свести уравнение к квадратному.
Пусть $y = 2^x$. Значения показательной функции всегда положительны, поэтому $y > 0$.
Уравнение примет вид:
$y^2 - 2y - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Проверим найденные корни на соответствие условию $y > 0$.
Корень $y_1 = 8$ подходит, так как $8 > 0$.
Корень $y_2 = -6$ не подходит, так как $-6 < 0$. Это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y_1 = 8$:
$2^x = 8$
Представим 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.
$2^x = 2^3$
Приравниваем показатели степеней:
$x=3$

Ответ: $3$.

843. 1) $0,5^x = 2x + 1;$

2) $2^x = 3 - x^2;$

3) $\log_3 x = 4 - x;$

4) $\log_{\frac{1}{2}} x = 4x^2;$

5) $2x = \log_{0,5} x;$

6) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \log_3 x.$

1) Рассмотрим уравнение $0,5^x = 2x + 1$.
Решим это уравнение графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y = 0,5^x$ и $y = 2x + 1$.
Функция $y = 0,5^x$ — показательная, основание $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция является строго убывающей на всей своей области определения.
Функция $y = 2x + 1$ — линейная, угловой коэффициент $2 > 0$, поэтому функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
Подберем корень. Попробуем $x = 0$:
Левая часть: $0,5^0 = 1$.
Правая часть: $2 \cdot 0 + 1 = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = 0$ является корнем уравнения.
Поскольку корень может быть только один, мы его нашли.
Ответ: $x=0$.

2) Рассмотрим уравнение $2^x = 3 - x^2$.
Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - x^2$.
Функция $y_1 = 2^x$ — показательная, основание $2 > 1$, функция строго возрастающая.
Функция $y_2 = 3 - x^2$ — квадратичная, её график — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Функция возрастает при $x < 0$ и убывает при $x > 0$.
Найдем один из корней подбором. Попробуем $x = 1$:
Левая часть: $2^1 = 2$.
Правая часть: $3 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.
Так как $2 = 2$, то $x = 1$ является корнем уравнения.
При $x > 1$ функция $y_1=2^x$ возрастает, а $y_2=3-x^2$ убывает, значит, других корней в этой области нет.
Рассмотрим область $x < 1$. Проверим наличие других корней.
Пусть $f(x) = 2^x + x^2 - 3$.
Мы уже знаем, что $f(1) = 0$.
Найдем значение функции в некоторых целых отрицательных точках:
$f(-1) = 2^{-1} + (-1)^2 - 3 = 0,5 + 1 - 3 = -1,5$.
$f(-2) = 2^{-2} + (-2)^2 - 3 = 0,25 + 4 - 3 = 1,25$.
Так как функция $f(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[-2, -1]$ принимает значения разных знаков ($f(-2) > 0$ и $f(-1) < 0$), то на интервале $(-2, -1)$ существует по крайней мере еще один корень.
Вторая производная $f''(x) = 2^x (\ln 2)^2 + 2$ всегда положительна, значит функция $f(x)$ является выпуклой вниз и может иметь не более двух корней.
Таким образом, уравнение имеет два корня. Один из них — $x=1$, а второй — иррациональное число, находящееся в интервале $(-2, -1)$. В рамках школьной программы обычно достаточно найти целый корень.
Ответ: $x=1$ (также существует второй корень $x \in (-2, -1)$).

3) Рассмотрим уравнение $\log_3 x = 4 - x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: $x > 0$.
Рассмотрим функции $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = 4 - x$.
Функция $y_1 = \log_3 x$ — логарифмическая, основание $3 > 1$, функция строго возрастающая на своей области определения.
Функция $y_2 = 4 - x$ — линейная, функция строго убывающая.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором. Для того чтобы логарифм был целым числом, $x$ должен быть степенью числа 3. Попробуем $x = 3$:
Левая часть: $\log_3 3 = 1$.
Правая часть: $4 - 3 = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = 3$ является корнем уравнения.
Поскольку корень единственный, мы его нашли.
Ответ: $x=3$.

4) Рассмотрим уравнение $\log_{\frac{1}{2}} x = 4x^2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Рассмотрим функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = 4x^2$.
Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая, основание $\frac{1}{2} \in (0, 1)$, функция строго убывающая на ОДЗ.
Функция $y_2 = 4x^2$ — квадратичная. На области $x > 0$ она строго возрастает.
Строго убывающая и строго возрастающая функции на заданной области могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором. Попробуем $x = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right) = 1$.
Правая часть: $4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения.
Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

5) Рассмотрим уравнение $2x = \log_{0,5} x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Рассмотрим функции $y_1 = 2x$ и $y_2 = \log_{0,5} x$.
Функция $y_1 = 2x$ — линейная, строго возрастающая.
Функция $y_2 = \log_{0,5} x$ — логарифмическая, основание $0,5 \in (0, 1)$, строго убывающая на ОДЗ.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одного корня.
Найдем корень подбором. Попробуем $x = 0,5 = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Правая часть: $\log_{0,5} (0,5) = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = 0,5$ является корнем.
Ответ: $x=0,5$.

6) Рассмотрим уравнение $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \log_3 x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Рассмотрим функции $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y_2 = \log_3 x$.
Функция $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$ — показательная, основание $\frac{1}{3} \in (0, 1)$, функция строго убывающая.
Функция $y_2 = \log_3 x$ — логарифмическая, основание $3 > 1$, функция строго возрастающая на ОДЗ.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке, значит, уравнение имеет не более одного корня.
Попробуем найти корень подбором.
При $x=1$: левая часть равна $\left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$, правая часть равна $\log_3 1 = 0$. $\frac{1}{3} > 0$.
При $x=2$: левая часть равна $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$. Правая часть равна $\log_3 2$. Так как $3^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1.73 < 2$, то $\log_3 2 > \frac{1}{2}$. Ясно, что $\frac{1}{9} < \log_3 2$.
Рассмотрим функцию $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - \log_3 x$.
$f(1) = \frac{1}{3} > 0$.
$f(2) = \frac{1}{9} - \log_3 2 < 0$.
Так как функция $f(x)$ непрерывна на $(1, 2)$ и принимает на концах этого интервала значения разных знаков, то на интервале $(1, 2)$ существует корень уравнения.
Этот корень является единственным. Данный корень не является рациональным числом и не может быть найден аналитически стандартными школьными методами.
Ответ: Уравнение имеет единственный корень $x_0 \in (1, 2)$.

844. 1) $(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0;$

2) $(\log_3 x)^2 + 5 = 2\log_3 x^3.$

1) $(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием на аргумент логарифма: $x > 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 2$. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня:

1. Если $\log_2 x = 1$, то по определению логарифма $x = 2^1 = 2$.

2. Если $\log_2 x = 2$, то по определению логарифма $x = 2^2 = 4$.

Оба найденных значения $x$ ($2$ и $4$) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 4$.

2) $(\log_3 x)^2 + 5 = 2\log_3 x^3$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Используем свойство логарифма степени $\log_a b^c = c \log_a b$ для преобразования правой части уравнения:

$2\log_3 x^3 = 2 \cdot (3 \log_3 x) = 6 \log_3 x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(\log_3 x)^2 + 5 = 6 \log_3 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(\log_3 x)^2 - 6 \log_3 x + 5 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\log_3 x$. Сделаем замену: пусть $y = \log_3 x$.

$y^2 - 6y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней $y_1 + y_2 = 6$, произведение $y_1 \cdot y_2 = 5$. Корни:

$y_1 = 1$ и $y_2 = 5$.

Выполним обратную замену:

1. Если $\log_3 x = 1$, то $x = 3^1 = 3$.

2. Если $\log_3 x = 5$, то $x = 3^5 = 243$.

Оба корня ($3$ и $243$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $3; 243$.

845. 1) $\ln \frac{2}{x+1}=\ln (x+2);$

2) $\log_3\sqrt{3x-6}-\log_3\sqrt{x-3}=1.$

1) $\ln\frac{2}{x+1}=\ln(x+2)$

Для решения логарифмического уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} \frac{2}{x+1} > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства, так как числитель 2 положителен, следует, что знаменатель также должен быть положителен:

$x+1 > 0 \implies x > -1$

Из второго неравенства получаем:

$x+2 > 0 \implies x > -2$

Пересечением этих двух условий является $x > -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1, +\infty)$.

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$\frac{2}{x+1} = x+2$

Умножим обе части уравнения на $(x+1)$, что допустимо в рамках ОДЗ, так как $x+1 \neq 0$:

$2 = (x+2)(x+1)$

Раскроем скобки в правой части:

$2 = x^2 + x + 2x + 2$

$2 = x^2 + 3x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+3) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > -1$):

• $x_1 = 0$. Так как $0 > -1$, этот корень подходит.
• $x_2 = -3$. Так как $-3 < -1$, этот корень является посторонним и не входит в ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $0$

2) $\log_3\sqrt{3x-6} - \log_3\sqrt{x-3}=1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а выражения под корнем — неотрицательными. Объединяя эти условия, получаем, что подкоренные выражения должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 3x-6 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases}$

Решаем систему неравенств:

$\begin{cases} 3x > 6 \\ x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_3\frac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{x-3}} = 1$

Используем свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\log_3\sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 1$

По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$:

$\sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 3^1$

$\sqrt{\frac{3(x-2)}{x-3}} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{3(x-2)}{x-3} = 9$

Умножим обе части на $(x-3)$, что допустимо в рамках ОДЗ:

$3(x-2) = 9(x-3)$

Раскроем скобки:

$3x - 6 = 9x - 27$

Сгруппируем переменные и свободные члены:

$27 - 6 = 9x - 3x$

$21 = 6x$

$x = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x > 3$):

$3.5 > 3$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $3.5$

846. 1) $\lg(\frac{1}{2} + x) = \lg \frac{1}{2} - \lg x;$

2) $2\lg x = -\lg \frac{1}{6-x^2}.$

1)

Исходное уравнение: $lg(\frac{1}{2} + x) = lg\frac{1}{2} - lgx$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} \frac{1}{2} + x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0 $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a \frac{b}{c}$ для правой части уравнения:

$lg\frac{1}{2} - lgx = lg(\frac{1/2}{x}) = lg\frac{1}{2x}$.

Теперь уравнение принимает вид:

$lg(\frac{1}{2} + x) = lg\frac{1}{2x}$.

Так как основания логарифмов одинаковы (десятичный логарифм), мы можем приравнять их аргументы:

$\frac{1}{2} + x = \frac{1}{2x}$.

Умножим обе части уравнения на $2x$, чтобы избавиться от знаменателей (мы знаем, что $x \neq 0$ из ОДЗ):

$2x(\frac{1}{2} + x) = 2x(\frac{1}{2x})$

$x + 2x^2 = 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).

Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < 0$.

Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{2} > 0$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Исходное уравнение: $2lgx = -lg\frac{1}{6-x^2}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x > 0 \\ \frac{1}{6-x^2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ 6-x^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x^2 < 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} \end{cases} $

Пересечением этих условий является интервал $(0; \sqrt{6})$. Итак, ОДЗ: $x \in (0; \sqrt{6})$.

Преобразуем обе части уравнения, используя свойства логарифмов $n \cdot log_a b = log_a b^n$ и $-log_a b = log_a \frac{1}{b}$.

Левая часть: $2lgx = lg(x^2)$.

Правая часть: $-lg\frac{1}{6-x^2} = lg\left(\left(\frac{1}{6-x^2}\right)^{-1}\right) = lg(6-x^2)$.

Уравнение принимает вид:

$lg(x^2) = lg(6-x^2)$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x^2 = 6 - x^2$.

Решаем полученное уравнение:

$2x^2 = 6$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in (0; \sqrt{6})$).

Корень $x_1 = \sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < \sqrt{3} < \sqrt{6}$ (поскольку $0 < 3 < 6$).

Корень $x_2 = -\sqrt{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.

Ответ: $\sqrt{3}$.

847.1) $\log_2(2x - 18) + \log_2(x - 9) = 5;$

2) $\lg(x^2 + 19) - \lg(x + 1) = 1.$

1) Исходное уравнение: $log_2(2x - 18) + log_2(x - 9) = 5$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x - 18 > 0 \\ x - 9 > 0 \end{cases}$
Решая эту систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} 2x > 18 \\ x > 9 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 9 \\ x > 9 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > 9$.

Теперь приступим к решению уравнения. Воспользуемся свойством суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$:
$log_2((2x - 18)(x - 9)) = 5$
Вынесем общий множитель 2 из первого выражения в скобках:
$log_2(2(x - 9)(x - 9)) = 5$
$log_2(2(x - 9)^2) = 5$
По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff a^c = b$):
$2(x - 9)^2 = 2^5$
$2(x - 9)^2 = 32$
Разделим обе части уравнения на 2:
$(x - 9)^2 = 16$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x - 9 = 4$ или $x - 9 = -4$
Находим два возможных корня:
$x_1 = 4 + 9 = 13$
$x_2 = -4 + 9 = 5$

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x > 9$):
Корень $x_1 = 13$ удовлетворяет условию ($13 > 9$), следовательно, является решением.
Корень $x_2 = 5$ не удовлетворяет условию ($5 \ngtr 9$), следовательно, является посторонним корнем.
Ответ: 13

2) Исходное уравнение: $lg(x^2 + 19) - lg(x + 1) = 1$.
Напомним, что $lg(a)$ — это десятичный логарифм, то есть $log_{10}(a)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x^2 + 19 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$
Первое неравенство, $x^2 + 19 > 0$, выполняется для любого действительного значения $x$, поскольку $x^2 \ge 0$, и, соответственно, $x^2 + 19 \ge 19$.
Второе неравенство, $x + 1 > 0$, дает нам $x > -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x > -1$.

Решим уравнение. Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$:
$lg(\frac{x^2 + 19}{x + 1}) = 1$
По определению логарифма:
$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10^1$
$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10$
Так как из ОДЗ известно, что $x + 1 > 0$, мы можем умножить обе части на $(x+1)$:
$x^2 + 19 = 10(x + 1)$
$x^2 + 19 = 10x + 10$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 10x + 19 - 10 = 0$
$x^2 - 10x + 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.
Либо можно решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}$
$x_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x > -1$):
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию ($9 > -1$).
Корень $x_2 = 1$ также удовлетворяет условию ($1 > -1$).
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: 1; 9

848.1) $5^{\log_3 x^2} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0;$

2) $25^{\log_3 x} - 4 \cdot 5^{\log_3 x + 1} = 125.$

1) $5^{\log_3 x^2} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма $\log_a (b^c) = c \log_a b$.
$\log_3 x^2 = 2\log_3 x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$5^{2\log_3 x} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перепишем первое слагаемое:
$5^{2\log_3 x} = (5^{\log_3 x})^2$.
Уравнение принимает вид:
$(5^{\log_3 x})^2 - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $5^{\log_3 x}$. Сделаем замену: пусть $t = 5^{\log_3 x}$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Получаем уравнение:
$t^2 - 6t + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни:
$t_1 = 1$
$t_2 = 5$
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.
1. Если $t_1 = 1$:
$5^{\log_3 x} = 1$
$5^{\log_3 x} = 5^0$
$\log_3 x = 0$
$x = 3^0 = 1$.

2. Если $t_2 = 5$:
$5^{\log_3 x} = 5$
$5^{\log_3 x} = 5^1$
$\log_3 x = 1$
$x = 3^1 = 3$.

Оба найденных значения $x=1$ и $x=3$ удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $1; 3$.

2) $25^{\log_3 x} - 4 \cdot 5^{\log_3 x + 1} = 125$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:
$25^{\log_3 x} = (5^2)^{\log_3 x} = 5^{2\log_3 x} = (5^{\log_3 x})^2$.
$5^{\log_3 x + 1} = 5^{\log_3 x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{\log_3 x}$.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$(5^{\log_3 x})^2 - 4 \cdot (5 \cdot 5^{\log_3 x}) = 125$
$(5^{\log_3 x})^2 - 20 \cdot 5^{\log_3 x} - 125 = 0$.

Сделаем замену: пусть $y = 5^{\log_3 x}$. Учитывая, что $y$ - это значение показательной функции, $y > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - 20y - 125 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900 = 30^2$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 30}{2} = \frac{50}{2} = 25$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 30}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним.
Остается один корень $y_1 = 25$.

Выполним обратную замену:
$5^{\log_3 x} = 25$
$5^{\log_3 x} = 5^2$
$\log_3 x = 2$
$x = 3^2 = 9$.

Найденный корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $9$.

849. 1) $x^{\lg x} = 10;$

2) $x^{\log_3 x} = 9x;$

3) $x^{\lg x} - 1 = 10(1 - x^{-\lg x});$

4) $x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x}.$

1) $x^{\lg x} = 10$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием десятичного логарифма $\lg x$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(10)$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, левая часть уравнения преобразуется в:

$(\lg x) \cdot (\lg x) = (\lg x)^2$

Правая часть уравнения: $\lg(10) = 1$.

Получаем уравнение:

$(\lg x)^2 = 1$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$\lg x = 1$ или $\lg x = -1$

Решаем каждое из полученных уравнений:

Если $\lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$.

Если $\lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня, $10$ и $0.1$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.1$.

2) $x^{\log_3 x} = 9x$

ОДЗ: $x > 0$ из-за наличия $\log_3 x$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, так как в показателе степени стоит логарифм по основанию 3.

$\log_3(x^{\log_3 x}) = \log_3(9x)$

Преобразуем левую часть по свойству логарифма степени:

$(\log_3 x) \cdot (\log_3 x) = (\log_3 x)^2$

Преобразуем правую часть по свойству логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$:

$\log_3(9x) = \log_3(9) + \log_3(x) = 2 + \log_3(x)$

Получаем уравнение:

$(\log_3 x)^2 = 2 + \log_3 x$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения:

$y^2 = 2 + y$

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение (например, по теореме Виета):

$y_1 + y_2 = 1$

$y_1 \cdot y_2 = -2$

Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

Если $\log_3 x = 2$, то $x = 3^2 = 9$.

Если $\log_3 x = -1$, то $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Оба корня, $9$ и $\frac{1}{3}$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = \frac{1}{3}$.

3) $x^{\lg x} - 1 = 10(1 - x^{-\lg x})$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем выражение в скобках, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x^{\lg x} - 1 = 10(1 - \frac{1}{x^{\lg x}})$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^{\lg x}$. Так как $x > 0$, то $y > 0$.

Уравнение с новой переменной:

$y - 1 = 10(1 - \frac{1}{y})$

$y - 1 = 10 - \frac{10}{y}$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \ne 0$), чтобы избавиться от дроби:

$y(y - 1) = y(10 - \frac{10}{y})$

$y^2 - y = 10y - 10$

$y^2 - 11y + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$y_1 = 10$, $y_2 = 1$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $y = 10$.

$x^{\lg x} = 10$. Это уравнение было решено в пункте 1. Его корни: $x_1 = 10, x_2 = 0.1$.

Случай 2: $y = 1$.

$x^{\lg x} = 1$. Прологарифмируем обе части по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(1)$

$(\lg x)^2 = 0$

$\lg x = 0$

$x = 10^0 = 1$.

Все три найденных корня ($10, 0.1, 1$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.1, x_3 = 1$.

4) $x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x}$

ОДЗ: основание степени $x$ должно быть положительным, $x > 0$. (При $x=0$ возникает неопределенность $0^0$).

Преобразуем правую часть уравнения, используя определение корня как степени с дробным показателем $\sqrt{a} = a^{1/2}$:

$\sqrt{x^x} = (x^x)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{x}{2}}$

Получаем уравнение:

$x^{\sqrt{x}} = x^{\frac{x}{2}}$

Это показательное уравнение вида $a^b = a^c$. Оно равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: Основание степени равно 1.

$x = 1$.

Проверка: $1^{\sqrt{1}} = \sqrt{1^1} \implies 1 = 1$. Корень $x=1$ является решением.

Случай 2: Показатели степеней равны (при $x > 0$ и $x \ne 1$).

$\sqrt{x} = \frac{x}{2}$

Для решения возведем обе части в квадрат. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{x}{2} \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$. Это не противоречит нашему ОДЗ $x>0$.

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{x}{2})^2$

$x = \frac{x^2}{4}$

$4x = x^2$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Отсюда $x=0$ или $x=4$. Корень $x=0$ не входит в ОДЗ. Остается $x=4$.

Проверка: $4^{\sqrt{4}} = 4^2 = 16$. $\sqrt{4^4} = \sqrt{256} = 16$. Равенство верно, значит $x=4$ - корень.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 4$.

850. 1) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0;$

2) $5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3}.$

1) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что основания степеней $4$, $14$ и $49$ можно выразить через простые множители $2$ и $7$:
$4 = 2^2$
$14 = 2 \cdot 7$
$49 = 7^2$

Подставим эти значения в исходное уравнение: $7 \cdot (2^2)^{x^2} - 9 \cdot (2 \cdot 7)^{x^2} + 2 \cdot (7^2)^{x^2} = 0$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $7 \cdot 2^{2x^2} - 9 \cdot 2^{x^2} \cdot 7^{x^2} + 2 \cdot 7^{2x^2} = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $49^{x^2} = 7^{2x^2}$, которое всегда положительно и не равно нулю: $7 \cdot \frac{2^{2x^2}}{7^{2x^2}} - 9 \cdot \frac{2^{x^2} \cdot 7^{x^2}}{7^{2x^2}} + 2 \cdot \frac{7^{2x^2}}{7^{2x^2}} = 0$

Упростим выражение: $7 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{2x^2} - 9 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $0 < \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} \le \left(\frac{2}{7}\right)^0 = 1$. Следовательно, $0 < t \le 1$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $7t^2 - 9t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

Оба корня удовлетворяют условию $0 < t \le 1$. Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $t_1 = 1$ $\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = 1$
$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^0$
$x^2 = 0$
$x = 0$

Случай 2: $t_2 = \frac{2}{7}$ $\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \frac{2}{7}$
$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^1$
$x^2 = 1$
$x = 1$ или $x = -1$

Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $-1; 0; 1$.

2) $5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения: $5^{x+4} - 4 \cdot 5^{x+3} = 4^{x+4} - 3 \cdot 4^{x+3}$

Воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель за скобки в каждой части уравнения. В левой части вынесем $5^{x+3}$: $5^{x+3} \cdot 5^1 - 4 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+3} (5 - 4) = 5^{x+3} \cdot 1 = 5^{x+3}$

В правой части вынесем $4^{x+3}$: $4^{x+3} \cdot 4^1 - 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+3} (4 - 3) = 4^{x+3} \cdot 1 = 4^{x+3}$

После упрощения уравнение принимает вид: $5^{x+3} = 4^{x+3}$

Поскольку основания степеней $5$ и $4$ различны, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю. Другой способ — разделить обе части уравнения на $4^{x+3}$ (это выражение никогда не равно нулю): $\frac{5^{x+3}}{4^{x+3}} = 1$

Используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$, получаем: $\left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, запишем $1$ как $\left(\frac{5}{4}\right)^0$: $\left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = \left(\frac{5}{4}\right)^0$

Приравниваем показатели степеней: $x + 3 = 0$
$x = -3$

Ответ: $-3$.

851. 1) $\log_4(2 + \sqrt{x + 3}) = 1$; 2) $\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{x^2 - 2x} = -\frac{1}{2}$;

3) $\frac{1}{2}\log_3(x + 1) = \log_3\sqrt{x + 4} - 2\log_3\sqrt{2}.

1) $\log_4(2 + \sqrt{x + 3}) = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным.

1. $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
2. $2 + \sqrt{x + 3} > 0$. Поскольку $\sqrt{x + 3} \ge 0$, это выражение всегда больше или равно 2, то есть всегда положительно.

Следовательно, ОДЗ: $x \ge -3$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма: $\log_a b = c \iff a^c = b$.

$2 + \sqrt{x + 3} = 4^1$
$2 + \sqrt{x + 3} = 4$
$\sqrt{x + 3} = 4 - 2$
$\sqrt{x + 3} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 3})^2 = 2^2$
$x + 3 = 4$
$x = 4 - 3$
$x = 1$

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. $1 \ge -3$, что является верным.

Ответ: $x = 1$.

2) $\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{x^2 - 2x} = -\frac{1}{2}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

$\sqrt{x^2 - 2x} > 0$

Это равносильно тому, что подкоренное выражение строго больше нуля:

$x^2 - 2x > 0$
$x(x - 2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x = 0$ и $x = 2$. Ветви параболы $y = x^2 - 2x$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 2$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Решим уравнение по определению логарифма:

$\sqrt{x^2 - 2x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Упростим правую часть:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = (3^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 3^{-1 \cdot (-\frac{1}{2})} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Получаем уравнение:

$\sqrt{x^2 - 2x} = \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 2x = 3$
$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$

$x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < 0$ или $x > 2$):

$x_1 = 3$: $3 > 2$, корень подходит.
$x_2 = -1$: $-1 < 0$, корень подходит.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -1$.

3) $\frac{1}{2}\log_3(x + 1) = \log_3\sqrt{x + 4} - 2\log_3\sqrt{2}$

Найдем ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными.

1. $x + 1 > 0 \implies x > -1$.
2. $\sqrt{x + 4} > 0 \implies x + 4 > 0 \implies x > -4$.
3. $\sqrt{2} > 0$, это верно.

Пересечением условий $x > -1$ и $x > -4$ является $x > -1$.

ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_3 (x + 1)^{\frac{1}{2}} = \log_3\sqrt{x + 4} - \log_3 (\sqrt{2})^2$
$\log_3 \sqrt{x + 1} = \log_3\sqrt{x + 4} - \log_3 2$
$\log_3 \sqrt{x + 1} = \log_3 \frac{\sqrt{x + 4}}{2}$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$\sqrt{x + 1} = \frac{\sqrt{x + 4}}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2\sqrt{x + 1} = \sqrt{x + 4}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{x + 1})^2 = (\sqrt{x + 4})^2$
$4(x + 1) = x + 4$
$4x + 4 = x + 4$
$4x - x = 4 - 4$
$3x = 0$
$x = 0$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > -1$):

$0 > -1$, что является верным. Корень подходит.

Ответ: $x = 0$.

852. 1) $x^{1+\lg x} = 10x;$

2) $x^{\lg x} = 100x;$

3) $\log_2(17 - 2^x) + \log_2(2^x + 15) = 8;$

4) $\log_2(3 + 2^x) + \log_2(5 - 2^x) = 4.$

1) $x^{1 + \lg x} = 10x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{1 + \lg x}) = \lg(10x)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$ и $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$, получаем:

$(1 + \lg x) \cdot \lg x = \lg 10 + \lg x$

Так как $\lg 10 = 1$, уравнение принимает вид:

$(1 + \lg x) \cdot \lg x = 1 + \lg x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$(1 + \lg x) \cdot \lg x - (1 + \lg x) = 0$

Вынесем общий множитель $(1 + \lg x)$ за скобки:

$(\lg x - 1)(1 + \lg x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\lg x - 1 = 0 \implies \lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$.

2. $1 + \lg x = 0 \implies \lg x = -1 \implies x_2 = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.1$.

2) $x^{\lg x} = 100x$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(100x)$

Используя свойства логарифмов, получаем:

$(\lg x) \cdot \lg x = \lg 100 + \lg x$

Так как $\lg 100 = \lg(10^2) = 2$, уравнение принимает вид:

$(\lg x)^2 = 2 + \lg x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение становится квадратным:

$t^2 = 2 + t$

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение (например, по теореме Виета):

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1. $\lg x = 2 \implies x_1 = 10^2 = 100$.

2. $\lg x = -1 \implies x_2 = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 100, x_2 = 0.1$.

3) $\log_2(17 - 2^x) + \log_2(2^x + 15) = 8$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$17 - 2^x > 0 \implies 2^x < 17 \implies x < \log_2 17$

$2^x + 15 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $2^x > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x < \log_2 17$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_2((17 - 2^x)(2^x + 15)) = 8$

По определению логарифма:

$(17 - 2^x)(2^x + 15) = 2^8$

$(17 - 2^x)(2^x + 15) = 256$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $t > 0$. Уравнение примет вид:

$(17 - t)(t + 15) = 256$

$17t + 17 \cdot 15 - t^2 - 15t = 256$

$17t + 255 - t^2 - 15t = 256$

$-t^2 + 2t + 255 - 256 = 0$

$-t^2 + 2t - 1 = 0$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

Возвращаемся к замене:

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $x < \log_2 17$.

$0 < \log_2 17$, так как $\log_2 17 \approx 4.087$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 0$.

4) $\log_2(3 + 2^x) + \log_2(5 - 2^x) = 4$

Найдем ОДЗ:

$3 + 2^x > 0$. Выполняется для любого $x$, так как $2^x > 0$.

$5 - 2^x > 0 \implies 2^x < 5 \implies x < \log_2 5$.

ОДЗ: $x < \log_2 5$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_2((3 + 2^x)(5 - 2^x)) = 4$

По определению логарифма:

$(3 + 2^x)(5 - 2^x) = 2^4$

$(3 + 2^x)(5 - 2^x) = 16$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$(3 + t)(5 - t) = 16$

$15 - 3t + 5t - t^2 = 16$

$-t^2 + 2t + 15 - 16 = 0$

$-t^2 + 2t - 1 = 0$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

Возвращаемся к замене:

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $x < \log_2 5$.

$0 < \log_2 5$, так как $\log_2 5 \approx 2.32$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 0$.