Номер 838, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 838, страница 329.

Условие.

838. 1) $9^{5x} - 9^{5x-1} = 8$;2) $2^{x+4} - 2^x = 120$;3) $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 155$;4) $3^{2x} - 2 \cdot 3^{2x-1} - 2 \cdot 3^{2x-2} = 1$;5) $7^x - 7^{x-1} = 6$;6) $3^{x+2} + 3^x = 10$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное уравнение: $9^{5x} - 9^{5x-1} = 8$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}$. Преобразуем член $9^{5x-1}$:
$9^{5x-1} = 9^{5x} \cdot 9^{-1} = \frac{9^{5x}}{9}$.
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$9^{5x} - \frac{9^{5x}}{9} = 8$.
Вынесем общий множитель $9^{5x}$ за скобки:
$9^{5x} \left(1 - \frac{1}{9}\right) = 8$.
Упростим выражение в скобках:
$9^{5x} \left(\frac{9}{9} - \frac{1}{9}\right) = 8$.
$9^{5x} \cdot \frac{8}{9} = 8$.
Чтобы найти $9^{5x}$, умножим обе части уравнения на $\frac{9}{8}$:
$9^{5x} = 8 \cdot \frac{9}{8}$.
$9^{5x} = 9$.
Так как $9 = 9^1$, мы можем приравнять показатели степеней:
$5x = 1$.
$x = \frac{1}{5}$.
Ответ: $x = \frac{1}{5}$.

2) Исходное уравнение: $2^{x+4} - 2^x = 120$.
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем член $2^{x+4}$:
$2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^x$.
Подставим это выражение в уравнение:
$16 \cdot 2^x - 2^x = 120$.
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x(16 - 1) = 120$.
$2^x \cdot 15 = 120$.
Разделим обе части уравнения на 15:
$2^x = \frac{120}{15}$.
$2^x = 8$.
Представим 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2^3$.
$2^x = 2^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 3$.
Ответ: $x = 3$.

3) Исходное уравнение: $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 155$.
Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$.
$5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{5^x}{5}$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$5 \cdot 5^x + 5^x + \frac{5^x}{5} = 155$.
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x \left(5 + 1 + \frac{1}{5}\right) = 155$.
Упростим выражение в скобках:
$5^x \left(6 + \frac{1}{5}\right) = 155$.
$5^x \left(\frac{30}{5} + \frac{1}{5}\right) = 155$.
$5^x \cdot \frac{31}{5} = 155$.
Чтобы найти $5^x$, умножим обе части на $\frac{5}{31}$:
$5^x = 155 \cdot \frac{5}{31}$.
$5^x = 5 \cdot 5 = 25$.
Представим 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.
$5^x = 5^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

4) Исходное уравнение: $3^{2x} - 2 \cdot 3^{2x-1} - 2 \cdot 3^{2x-2} = 1$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$3^{2x-1} = \frac{3^{2x}}{3^1} = \frac{3^{2x}}{3}$.
$3^{2x-2} = \frac{3^{2x}}{3^2} = \frac{3^{2x}}{9}$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$3^{2x} - 2 \cdot \frac{3^{2x}}{3} - 2 \cdot \frac{3^{2x}}{9} = 1$.
Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:
$3^{2x} \left(1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{9}\right) = 1$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 9:
$3^{2x} \left(\frac{9}{9} - \frac{6}{9} - \frac{2}{9}\right) = 1$.
$3^{2x} \left(\frac{9-6-2}{9}\right) = 1$.
$3^{2x} \cdot \frac{1}{9} = 1$.
Умножим обе части уравнения на 9:
$3^{2x} = 9$.
Представим 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.
$3^{2x} = 3^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 2$.
$x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

5) Исходное уравнение: $7^x - 7^{x-1} = 6$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$7^{x-1} = \frac{7^x}{7^1} = \frac{7^x}{7}$.
Подставим это выражение в уравнение:
$7^x - \frac{7^x}{7} = 6$.
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:
$7^x \left(1 - \frac{1}{7}\right) = 6$.
Упростим выражение в скобках:
$7^x \left(\frac{7}{7} - \frac{1}{7}\right) = 6$.
$7^x \cdot \frac{6}{7} = 6$.
Чтобы найти $7^x$, умножим обе части уравнения на $\frac{7}{6}$:
$7^x = 6 \cdot \frac{7}{6}$.
$7^x = 7$.
Так как $7 = 7^1$, приравниваем показатели степеней:
$x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

6) Исходное уравнение: $3^{x+2} + 3^x = 10$.
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$.
Подставим это выражение в уравнение:
$9 \cdot 3^x + 3^x = 10$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(9 + 1) = 10$.
$3^x \cdot 10 = 10$.
Разделим обе части уравнения на 10:
$3^x = 1$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 3^0$.
$3^x = 3^0$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 0$.
Ответ: $x = 0$.