Номер 833, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 833, страница 328.

Условие.

833. 1) $2\sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} = \sqrt{x+5};$

2) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-2x} = \sqrt{x^2-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано иррациональное уравнение: $2\sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} = \sqrt{x+5}$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 1 \\ x \ge -5 \end{cases}$

Пересекая эти три условия, получаем ОДЗ: $x \in [-4, 1]$.

Перенесем слагаемое $-\sqrt{1-x}$ в правую часть уравнения, чтобы при возведении в квадрат было удобнее раскрывать скобки:

$2\sqrt{x+4} = \sqrt{x+5} + \sqrt{1-x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{x+5} + \sqrt{1-x})^2$

$4(x+4) = (x+5) + 2\sqrt{(x+5)(1-x)} + (1-x)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x + 16 = x + 5 + 1 - x + 2\sqrt{x - x^2 + 5 - 5x}$

$4x + 16 = 6 + 2\sqrt{-x^2 - 4x + 5}$

Уединим оставшийся радикал:

$4x + 10 = 2\sqrt{-x^2 - 4x + 5}$

Разделим обе части на 2:

$2x + 5 = \sqrt{-x^2 - 4x + 5}$

Так как правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной. Добавим это условие:

$2x + 5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -2.5$.

С учетом ОДЗ ($x \in [-4, 1]$), получаем новое, более узкое ограничение для корней: $x \in [-2.5, 1]$.

Теперь снова возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от последнего корня:

$(2x+5)^2 = (\sqrt{-x^2 - 4x + 5})^2$

$4x^2 + 20x + 25 = -x^2 - 4x + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$5x^2 + 24x + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 576 - 400 = 176$

$\sqrt{D} = \sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}$

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm 4\sqrt{11}}{10} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{11}}{5}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{11}}{5}$ и $x_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{11}}{5}$.

Проверим, принадлежат ли эти корни промежутку $x \in [-2.5, 1]$.

Для $x_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{11}}{5}$: так как $3 < \sqrt{11} < 4$, то $6 < 2\sqrt{11} < 8$.
$-12+6 < -12+2\sqrt{11} < -12+8 \implies -6 < -12+2\sqrt{11} < -4$.
$\frac{-6}{5} < \frac{-12+2\sqrt{11}}{5} < \frac{-4}{5} \implies -1.2 < x_1 < -0.8$. Этот корень входит в промежуток $[-2.5, 1]$, значит, он является решением.

Для $x_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{11}}{5}$: так как $2\sqrt{11} > 6$, то $-12 - 2\sqrt{11} < -18$.
$x_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{11}}{5} < \frac{-18}{5} = -3.6$. Этот корень не входит в промежуток $[-2.5, 1]$, следовательно, является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = \frac{-12 + 2\sqrt{11}}{5}$.

2)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-2x} = \sqrt{x^2-1}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3-2x \ge 0 \\ x^2-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ 2x \le 3 \\ (x-1)(x+1) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 1.5 \\ x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-2, -1] \cup [1, 1.5]$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} + \sqrt{3-2x})^2 = (\sqrt{x^2-1})^2$

$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(3-2x)} + (3-2x) = x^2-1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5-x + 2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2-1$

Уединим радикал в левой части:

$2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2 - 1 - (5-x)$

$2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2 + x - 6$

Левая часть этого уравнения ($2\sqrt{\dots}$) по определению арифметического корня всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$x^2 + x - 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-3$ и $x_2=2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого множества с ОДЗ: $x \in ([-2, -1] \cup [1, 1.5]) \cap ((-\infty, -3] \cup [2, \infty))$.

Проанализируем пересечение:

• Интервал $[-2, -1]$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
• Интервал $[1, 1.5]$ также не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.

Пересечение этих множеств пусто. Это означает, что не существует таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяли бы и ОДЗ, и условию неотрицательности правой части $x^2 + x - 6$.

Для любого $x$ из ОДЗ левая часть уравнения $2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2 + x - 6$ неотрицательна, а правая часть $x^2 + x - 6$ строго отрицательна (поскольку все значения из ОДЗ лежат между корнями -3 и 2). Равенство было бы возможно только если обе части равны нулю, но корни уравнений $2\sqrt{-2x^2 - x + 6}=0$ (это $x=-2$ и $x=1.5$) и $x^2 + x - 6=0$ (это $x=-3$ и $x=2$) не совпадают. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.