Номер 826, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 826, страница 328.
№826 (с. 328)
Условие. №826 (с. 328)
скриншот условия

826. 1) $|z|+iz=2-i;$
2) $|z|-iz=3+2i.$
Решение 1. №826 (с. 328)


Решение 2. №826 (с. 328)


Решение 3. №826 (с. 328)
1)
Для решения данного уравнения представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Модуль числа $z$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Подставим это представление в исходное уравнение $|z| + iz = 2 - i$:
$\sqrt{x^2 + y^2} + i(x + iy) = 2 - i$
Раскроем скобки в левой части, учитывая, что $i^2 = -1$:
$\sqrt{x^2 + y^2} + ix + i^2y = 2 - i$
$\sqrt{x^2 + y^2} + ix - y = 2 - i$
Теперь сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения:
$(\sqrt{x^2 + y^2} - y) + ix = 2 - i$
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} - y = 2 & \text{(равенство действительных частей)} \\ x = -1 & \text{(равенство мнимых частей)} \end{cases}$
Из второго уравнения мы сразу получаем значение $x = -1$. Подставим его в первое уравнение системы:
$\sqrt{(-1)^2 + y^2} - y = 2$
$\sqrt{1 + y^2} - y = 2$
Выразим корень:
$\sqrt{1 + y^2} = 2 + y$
Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо убедиться, что правая часть неотрицательна, то есть $2 + y \ge 0$, что означает $y \ge -2$.
$(\sqrt{1 + y^2})^2 = (2 + y)^2$
$1 + y^2 = 4 + 4y + y^2$
Вычтем $y^2$ из обеих частей:
$1 = 4 + 4y$
$4y = 1 - 4$
$4y = -3$
$y = -\frac{3}{4}$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $y$ условию $y \ge -2$. Так как $-\frac{3}{4} = -0.75$, то $-0.75 \ge -2$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.
Мы нашли $x = -1$ и $y = -\frac{3}{4}$. Таким образом, искомое комплексное число:
$z = x + iy = -1 - \frac{3}{4}i$
Ответ: $z = -1 - \frac{3}{4}i$.
2)
Поступим аналогично первому пункту. Представим $z$ в виде $z = x + iy$, где $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Подставим это в уравнение $|z| - iz = 3 + 2i$:
$\sqrt{x^2 + y^2} - i(x + iy) = 3 + 2i$
Раскроем скобки, используя $i^2 = -1$:
$\sqrt{x^2 + y^2} - ix - i^2y = 3 + 2i$
$\sqrt{x^2 + y^2} - ix + y = 3 + 2i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(\sqrt{x^2 + y^2} + y) - ix = 3 + 2i$
Приравняем действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} + y = 3 & \text{(равенство действительных частей)} \\ -x = 2 & \text{(равенство мнимых частей)} \end{cases}$
Из второго уравнения находим, что $x = -2$.
Подставим значение $x = -2$ в первое уравнение:
$\sqrt{(-2)^2 + y^2} + y = 3$
$\sqrt{4 + y^2} + y = 3$
Выразим корень:
$\sqrt{4 + y^2} = 3 - y$
Возведем обе части в квадрат. Это действие требует, чтобы правая часть была неотрицательной: $3 - y \ge 0$, то есть $y \le 3$.
$(\sqrt{4 + y^2})^2 = (3 - y)^2$
$4 + y^2 = 9 - 6y + y^2$
Вычтем $y^2$ из обеих частей:
$4 = 9 - 6y$
$6y = 9 - 4$
$6y = 5$
$y = \frac{5}{6}$
Проверим выполнение условия $y \le 3$. Так как $\frac{5}{6}$ меньше 3, условие выполнено.
Мы нашли $x = -2$ и $y = \frac{5}{6}$. Следовательно, искомое комплексное число:
$z = x + iy = -2 + \frac{5}{6}i$
Ответ: $z = -2 + \frac{5}{6}i$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 826 расположенного на странице 328 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №826 (с. 328), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.