Номер 826, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 826, страница 328.

Условие.

826. 1) $|z|+iz=2-i;$

2) $|z|-iz=3+2i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для решения данного уравнения представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Модуль числа $z$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Подставим это представление в исходное уравнение $|z| + iz = 2 - i$:

$\sqrt{x^2 + y^2} + i(x + iy) = 2 - i$

Раскроем скобки в левой части, учитывая, что $i^2 = -1$:

$\sqrt{x^2 + y^2} + ix + i^2y = 2 - i$

$\sqrt{x^2 + y^2} + ix - y = 2 - i$

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения:

$(\sqrt{x^2 + y^2} - y) + ix = 2 - i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} - y = 2 & \text{(равенство действительных частей)} \\ x = -1 & \text{(равенство мнимых частей)} \end{cases}$

Из второго уравнения мы сразу получаем значение $x = -1$. Подставим его в первое уравнение системы:

$\sqrt{(-1)^2 + y^2} - y = 2$

$\sqrt{1 + y^2} - y = 2$

Выразим корень:

$\sqrt{1 + y^2} = 2 + y$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо убедиться, что правая часть неотрицательна, то есть $2 + y \ge 0$, что означает $y \ge -2$.

$(\sqrt{1 + y^2})^2 = (2 + y)^2$

$1 + y^2 = 4 + 4y + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$1 = 4 + 4y$

$4y = 1 - 4$

$4y = -3$

$y = -\frac{3}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $y$ условию $y \ge -2$. Так как $-\frac{3}{4} = -0.75$, то $-0.75 \ge -2$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.

Мы нашли $x = -1$ и $y = -\frac{3}{4}$. Таким образом, искомое комплексное число:

$z = x + iy = -1 - \frac{3}{4}i$

Ответ: $z = -1 - \frac{3}{4}i$.

2)

Поступим аналогично первому пункту. Представим $z$ в виде $z = x + iy$, где $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Подставим это в уравнение $|z| - iz = 3 + 2i$:

$\sqrt{x^2 + y^2} - i(x + iy) = 3 + 2i$

Раскроем скобки, используя $i^2 = -1$:

$\sqrt{x^2 + y^2} - ix - i^2y = 3 + 2i$

$\sqrt{x^2 + y^2} - ix + y = 3 + 2i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(\sqrt{x^2 + y^2} + y) - ix = 3 + 2i$

Приравняем действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} + y = 3 & \text{(равенство действительных частей)} \\ -x = 2 & \text{(равенство мнимых частей)} \end{cases}$

Из второго уравнения находим, что $x = -2$.

Подставим значение $x = -2$ в первое уравнение:

$\sqrt{(-2)^2 + y^2} + y = 3$

$\sqrt{4 + y^2} + y = 3$

Выразим корень:

$\sqrt{4 + y^2} = 3 - y$

Возведем обе части в квадрат. Это действие требует, чтобы правая часть была неотрицательной: $3 - y \ge 0$, то есть $y \le 3$.

$(\sqrt{4 + y^2})^2 = (3 - y)^2$

$4 + y^2 = 9 - 6y + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$4 = 9 - 6y$

$6y = 9 - 4$

$6y = 5$

$y = \frac{5}{6}$

Проверим выполнение условия $y \le 3$. Так как $\frac{5}{6}$ меньше 3, условие выполнено.

Мы нашли $x = -2$ и $y = \frac{5}{6}$. Следовательно, искомое комплексное число:

$z = x + iy = -2 + \frac{5}{6}i$

Ответ: $z = -2 + \frac{5}{6}i$.