Номер 828, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 828, страница 328.

Условие.

828. 1) $z^2 - 25i = 0;$

2) $z^2 = -8 + 6i;$

3) $z^3 + 8 = 0;$

4) $z^4 - 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z^2 - 25i = 0$

Перепишем уравнение в виде $z^2 = 25i$. Для нахождения корней этого уравнения, представим искомое комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа.

Тогда его квадрат равен $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2xyi + (iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части выражений $z^2$ и $25i$, получаем систему уравнений, так как $25i = 0 + 25i$:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = 25 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x^2 = y^2$, что эквивалентно $x = y$ или $x = -y$.

Рассмотрим второе уравнение: $2xy = 25$. Так как произведение $xy = 12.5$ является положительным числом, $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки. Это означает, что случай $x = -y$ не подходит, и мы должны выбрать $x = y$.

Подставим $y = x$ во второе уравнение системы:

$2x(x) = 25 \implies 2x^2 = 25 \implies x^2 = \frac{25}{2}$.

Отсюда находим возможные значения для $x$: $x = \pm\sqrt{\frac{25}{2}} = \pm\frac{5}{\sqrt{2}} = \pm\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $y = x$, мы получаем два решения для $z$:

1. Если $x_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, то и $y_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Первый корень: $z_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

2. Если $x_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$, то и $y_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Второй корень: $z_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z_{1,2} = \pm \left( \frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{5\sqrt{2}}{2} \right)$.

2) $z^2 = -8 + 6i$

Пусть $z = x + iy$. Тогда $z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ 2xy = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{6}{2x} = \frac{3}{x}$. Заметим, что $x \neq 0$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - \left(\frac{3}{x}\right)^2 = -8$

$x^2 - \frac{9}{x^2} = -8$

Умножим обе части на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 9 = -8x^2$

$x^4 + 8x^2 - 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$. Так как $x$ — действительное число, $t \ge 0$.

$t^2 + 8t - 9 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -9$.

Корень $t_2 = -9$ не подходит, так как $t$ не может быть отрицательным.

Возвращаемся к $x$: $x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Находим соответствующие значения $y$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Первый корень: $z_1 = 1 + 3i$.

2. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{3}{-1} = -3$. Второй корень: $z_2 = -1 - 3i$.

Ответ: $z_1 = 1 + 3i$, $z_2 = -1 - 3i$.

3) $z^3 + 8 = 0$

Это уравнение можно решить, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$z^3 + 2^3 = 0$

$(z+2)(z^2 - 2z + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $z + 2 = 0 \implies z_1 = -2$.

2. $z^2 - 2z + 4 = 0$. Решаем это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Корни находим по формуле:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm i\sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$.

Таким образом, мы получили еще два корня: $z_2 = 1 + i\sqrt{3}$ и $z_3 = 1 - i\sqrt{3}$.

Ответ: $z_1 = -2$, $z_2 = 1 + i\sqrt{3}$, $z_3 = 1 - i\sqrt{3}$.

4) $z^4 - 1 = 0$

Это уравнение можно решить путем разложения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$z^4 - 1 = (z^2)^2 - 1^2 = (z^2 - 1)(z^2 + 1) = 0$.

Это уравнение распадается на два более простых:

1. $z^2 - 1 = 0 \implies z^2 = 1 \implies z = \pm\sqrt{1}$. Отсюда получаем два действительных корня: $z_1 = 1$ и $z_2 = -1$.

2. $z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z = \pm\sqrt{-1}$. Отсюда получаем два комплексных корня: $z_3 = i$ и $z_4 = -i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 1$, $z_2 = -1$, $z_3 = i$, $z_4 = -i$.