Номер 823, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 823, страница 328.

Условие.

823. Могут ли корни уравнения $ (x - m)(x - n) = k^2 $ быть чисто мнимыми, если $m$, $n$ и $k$ — действительные числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи преобразуем исходное уравнение и проанализируем его свойства.

Дано уравнение: $(x - m)(x - n) = k^2$, где $m, n, k$ — действительные числа ($m, n, k \in \mathbb{R}$).

Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - nx - mx + mn = k^2$
$x^2 - (m+n)x + (mn - k^2) = 0$

Коэффициенты этого уравнения: $a = 1$, $b = -(m+n)$, $c = mn - k^2$. Поскольку $m, n, k$ — действительные числа, все коэффициенты уравнения также являются действительными.

Предположим, что корни этого уравнения являются чисто мнимыми. Чисто мнимое число имеет вид $x = iy$, где $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$), а $y$ — действительное число, отличное от нуля ($y \in \mathbb{R}, y \neq 0$). Если бы $y=0$, корень $x=0$ был бы действительным.

В квадратном уравнении с действительными коэффициентами, если есть один комплексный корень, то второй корень обязательно будет ему комплексно-сопряженным. Таким образом, если один корень $x_1 = iy$, то второй корень должен быть $x_2 = -iy$.

Воспользуемся теоремой Виета для наших корней:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = m+n$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = mn - k^2$

Подставим наши предполагаемые корни $iy$ и $-iy$ в эти соотношения:
1. Сумма корней: $iy + (-iy) = 0$. Следовательно, $m+n = 0$, что означает $m = -n$.
2. Произведение корней: $(iy) \cdot (-iy) = -i^2y^2 = -(-1)y^2 = y^2$. Следовательно, $mn - k^2 = y^2$.

Теперь мы имеем систему из двух условий, которые должны выполняться одновременно:
1. $m = -n$
2. $y^2 = mn - k^2$

Подставим первое условие во второе:
$y^2 = (-n)n - k^2$
$y^2 = -n^2 - k^2$
$y^2 = -(n^2 + k^2)$

Проанализируем полученное равенство.

• Левая часть: $y^2$. По нашему предположению, $y$ — действительное число и $y \neq 0$. Значит, $y^2$ является строго положительным числом: $y^2 > 0$.
• Правая часть: $-(n^2 + k^2)$. Поскольку $n$ и $k$ — действительные числа, их квадраты неотрицательны: $n^2 \ge 0$ и $k^2 \ge 0$. Их сумма $n^2 + k^2 \ge 0$. Тогда правая часть $-(n^2 + k^2)$ является неположительным числом, то есть $-(n^2 + k^2) \le 0$.

Мы пришли к противоречию:
$y^2 = -(n^2 + k^2)$
(строго положительное число) = (неположительное число)

Это равенство невозможно. Единственный случай, когда оно могло бы быть верным, это если обе части равны нулю. Но это требует, чтобы $y^2 = 0$ (то есть $y=0$) и $n^2 + k^2 = 0$ (то есть $n=0$ и $k=0$). Однако, если $y=0$, то корень $x=iy=0$ является действительным числом, а не чисто мнимым, что противоречит нашему исходному предположению.

Следовательно, предположение о том, что корни могут быть чисто мнимыми, неверно.

Ответ: Нет, не могут.