Номер 817, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 817, страница 327.

Условие.

817.1) $(x^2 - 5x + 4)(x^2 + 9x + 18) = 100;$

2) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(x^2 - 5x + 4)(x^2 + 9x + 18) = 100$

Для решения данного уравнения разложим квадратные трехчлены на множители.

Найдем корни первого трехчлена $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Найдем корни второго трехчлена $x^2 + 9x + 18 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а произведение равно 18. Корнями являются $x_3 = -3$ и $x_4 = -6$.
Следовательно, $x^2 + 9x + 18 = (x - (-3))(x - (-6)) = (x + 3)(x + 6)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$(x - 1)(x - 4)(x + 3)(x + 6) = 100$

Сгруппируем множители так, чтобы при их перемножении получились выражения с одинаковой частью, содержащей $x$. Для этого найдем пары множителей, у которых сумма свободных членов одинакова. Сгруппируем $(x - 1)$ с $(x + 3)$ и $(x - 4)$ с $(x + 6)$, так как $-1+3=2$ и $-4+6=2$.
$(x - 1)(x + 3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
$(x - 4)(x + 6) = x^2 + 6x - 4x - 24 = x^2 + 2x - 24$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 24) = 100$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 2x$. Тогда уравнение примет вид:
$(y - 3)(y - 24) = 100$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 24y - 3y + 72 = 100$
$y^2 - 27y + 72 - 100 = 0$
$y^2 - 27y - 28 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 27$ и $y_1 \cdot y_2 = -28$. Корни: $y_1 = 28$ и $y_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 28$
$x^2 + 2x = 28$
$x^2 + 2x - 28 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 4 + 112 = 116$.
Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{116}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{29}}{2} = -1 \pm \sqrt{29}$.

Случай 2: $y = -1$
$x^2 + 2x = -1$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
$x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три различных корня.
Ответ: $-1$; $-1 - \sqrt{29}$; $-1 + \sqrt{29}$.

2) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 4$

Аналогично первому пункту, разложим квадратные трехчлены на множители.

Для $x^2 - 3x + 2 = 0$, по теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Для $x^2 - 7x + 12 = 0$, по теореме Виета, корни $x_3 = 3$ и $x_4 = 4$.
Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Перепишем уравнение:
$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 4$

Сгруппируем множители. Сгруппируем $(x - 1)$ с $(x - 4)$ и $(x - 2)$ с $(x - 3)$, так как $-1-4=-5$ и $-2-3=-5$.
$(x - 1)(x - 4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

Подставим обратно в уравнение:
$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 4$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 5x$. Уравнение примет вид:
$(y + 4)(y + 6) = 4$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$y^2 + 6y + 4y + 24 = 4$
$y^2 + 10y + 20 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20$
$y = \frac{-10 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -5 \pm \sqrt{5}$.
Получаем два значения для $y$: $y_1 = -5 + \sqrt{5}$ и $y_2 = -5 - \sqrt{5}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = -5 + \sqrt{5}$
$x^2 - 5x = -5 + \sqrt{5}$
$x^2 - 5x + 5 - \sqrt{5} = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - \sqrt{5}) = 25 - 20 + 4\sqrt{5} = 5 + 4\sqrt{5}$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x = \frac{5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$.

Случай 2: $y = -5 - \sqrt{5}$
$x^2 - 5x = -5 - \sqrt{5}$
$x^2 - 5x + 5 + \sqrt{5} = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 + \sqrt{5}) = 25 - 20 - 4\sqrt{5} = 5 - 4\sqrt{5}$.
Оценим знак дискриминанта. Сравним $5$ и $4\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$. Так как $25 < 80$, то $5 < 4\sqrt{5}$, и следовательно $5 - 4\sqrt{5} < 0$.
Поскольку дискриминант отрицательный, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$; $\frac{5 + \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$.