Номер 817, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 817, страница 327.
№817 (с. 327)
Условие. №817 (с. 327)
скриншот условия

817.1) $(x^2 - 5x + 4)(x^2 + 9x + 18) = 100;$
2) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 4.$
Решение 1. №817 (с. 327)


Решение 2. №817 (с. 327)


Решение 3. №817 (с. 327)
1) $(x^2 - 5x + 4)(x^2 + 9x + 18) = 100$
Для решения данного уравнения разложим квадратные трехчлены на множители.
Найдем корни первого трехчлена $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.
Найдем корни второго трехчлена $x^2 + 9x + 18 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а произведение равно 18. Корнями являются $x_3 = -3$ и $x_4 = -6$.
Следовательно, $x^2 + 9x + 18 = (x - (-3))(x - (-6)) = (x + 3)(x + 6)$.
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$(x - 1)(x - 4)(x + 3)(x + 6) = 100$
Сгруппируем множители так, чтобы при их перемножении получились выражения с одинаковой частью, содержащей $x$. Для этого найдем пары множителей, у которых сумма свободных членов одинакова. Сгруппируем $(x - 1)$ с $(x + 3)$ и $(x - 4)$ с $(x + 6)$, так как $-1+3=2$ и $-4+6=2$.
$(x - 1)(x + 3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
$(x - 4)(x + 6) = x^2 + 6x - 4x - 24 = x^2 + 2x - 24$
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 24) = 100$
Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 2x$. Тогда уравнение примет вид:
$(y - 3)(y - 24) = 100$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 24y - 3y + 72 = 100$
$y^2 - 27y + 72 - 100 = 0$
$y^2 - 27y - 28 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 27$ и $y_1 \cdot y_2 = -28$. Корни: $y_1 = 28$ и $y_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
Случай 1: $y = 28$
$x^2 + 2x = 28$
$x^2 + 2x - 28 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 4 + 112 = 116$.
Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{116}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{29}}{2} = -1 \pm \sqrt{29}$.
Случай 2: $y = -1$
$x^2 + 2x = -1$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
$x = -1$.
Таким образом, уравнение имеет три различных корня.
Ответ: $-1$; $-1 - \sqrt{29}$; $-1 + \sqrt{29}$.
2) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 4$
Аналогично первому пункту, разложим квадратные трехчлены на множители.
Для $x^2 - 3x + 2 = 0$, по теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
Для $x^2 - 7x + 12 = 0$, по теореме Виета, корни $x_3 = 3$ и $x_4 = 4$.
Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.
Перепишем уравнение:
$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 4$
Сгруппируем множители. Сгруппируем $(x - 1)$ с $(x - 4)$ и $(x - 2)$ с $(x - 3)$, так как $-1-4=-5$ и $-2-3=-5$.
$(x - 1)(x - 4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$
Подставим обратно в уравнение:
$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 4$
Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 5x$. Уравнение примет вид:
$(y + 4)(y + 6) = 4$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$y^2 + 6y + 4y + 24 = 4$
$y^2 + 10y + 20 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20$
$y = \frac{-10 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -5 \pm \sqrt{5}$.
Получаем два значения для $y$: $y_1 = -5 + \sqrt{5}$ и $y_2 = -5 - \sqrt{5}$.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $y = -5 + \sqrt{5}$
$x^2 - 5x = -5 + \sqrt{5}$
$x^2 - 5x + 5 - \sqrt{5} = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - \sqrt{5}) = 25 - 20 + 4\sqrt{5} = 5 + 4\sqrt{5}$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x = \frac{5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$.
Случай 2: $y = -5 - \sqrt{5}$
$x^2 - 5x = -5 - \sqrt{5}$
$x^2 - 5x + 5 + \sqrt{5} = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 + \sqrt{5}) = 25 - 20 - 4\sqrt{5} = 5 - 4\sqrt{5}$.
Оценим знак дискриминанта. Сравним $5$ и $4\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$. Так как $25 < 80$, то $5 < 4\sqrt{5}$, и следовательно $5 - 4\sqrt{5} < 0$.
Поскольку дискриминант отрицательный, в этом случае действительных корней нет.
Ответ: $\frac{5 - \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$; $\frac{5 + \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 817 расположенного на странице 327 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №817 (с. 327), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.