Номер 814, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 814, страница 327.

Условие.

Найти действительные корни уравнения (814—820).

814. 1) $x^3 - 3x^2 + x = 3;$

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0;$

3) $x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0;$

4) $x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8 = 0;$

5) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 3 = 0;$

6) $2x^4 - 2x^3 - 11x^2 - x - 6 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^3 - 3x^2 + x = 3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(x^3 - 3x^2) + (x - 3) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$:
$(x - 3)(x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Первый случай: $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.
Второй случай: $x^2 + 1 = 0$, откуда $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, уравнение имеет один действительный корень.
Ответ: 3.

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$
Вынесем общие множители:
$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 3)$:
$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$
Второй множитель является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$
Отсюда находим корни:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$
Ответ: -2; 2; 3.

3) $x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0$
Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $x = 3$: $3^3 - 5 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 - 6 = 27 - 5 \cdot 9 + 24 - 6 = 27 - 45 + 24 - 6 = 0$.
Значит, $x = 3$ является корнем. Разделим многочлен на $(x - 3)$ (например, по схеме Горнера или "уголком"):
$(x^3 - 5x^2 + 8x - 6) : (x - 3) = x^2 - 2x + 2$
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(x - 3)(x^2 - 2x + 2) = 0$
Один корень $x = 3$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x + 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.
Ответ: 3.

4) $x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8 = 0$
Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена -8: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.
Проверим $x = -1$: $(-1)^4 - 3(-1)^3 - 2(-1)^2 - 6(-1) - 8 = 1 - 3(-1) - 2(1) + 6 - 8 = 1 + 3 - 2 + 6 - 8 = 0$.
Корень $x = -1$. Разделим многочлен на $(x + 1)$:
$(x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8) : (x + 1) = x^3 - 4x^2 + 2x - 8$
Получаем уравнение: $(x + 1)(x^3 - 4x^2 + 2x - 8) = 0$.
Решим кубическое уравнение $x^3 - 4x^2 + 2x - 8 = 0$ группировкой:
$(x^3 - 4x^2) + (2x - 8) = 0$
$x^2(x - 4) + 2(x - 4) = 0$
$(x - 4)(x^2 + 2) = 0$
Отсюда $x - 4 = 0 \implies x = 4$. Уравнение $x^2 + 2 = 0$ действительных корней не имеет.
Следовательно, действительные корни исходного уравнения: $x = -1$ и $x = 4$.
Ответ: -1; 4.

5) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 3 = 0$
Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена -3: $\pm1, \pm3$.
Проверим $x = -1$: $(-1)^5 + (-1)^4 - 6(-1)^3 - 14(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -1 + 1 + 6 - 14 + 11 - 3 = 0$.
Корень $x = -1$. Разделим многочлен на $(x + 1)$:
$(x^5 + x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 3) : (x + 1) = x^4 - 6x^2 - 8x - 3$.
Уравнение: $(x+1)(x^4 - 6x^2 - 8x - 3) = 0$.
Проверим $x = -1$ для нового многочлена $x^4 - 6x^2 - 8x - 3$: $(-1)^4 - 6(-1)^2 - 8(-1) - 3 = 1 - 6 + 8 - 3 = 0$.
Значит, $x = -1$ - корень кратности не менее 2. Делим $x^4 - 6x^2 - 8x - 3$ на $(x + 1)$:
$(x^4 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 - x^2 - 5x - 3$.
Уравнение: $(x+1)^2(x^3 - x^2 - 5x - 3) = 0$.
Проверим $x = -1$ для кубического многочлена: $(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0$.
Снова делим на $(x+1)$: $(x^3 - x^2 - 5x - 3) : (x+1) = x^2 - 2x - 3$.
Уравнение: $(x+1)^3(x^2 - 2x - 3) = 0$.
Решаем квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 3, x_2 = -1$.
Итого, все корни: $x = -1$ (четырехкратный корень) и $x = 3$.
Ответ: -1; 3.

6) $2x^4 - 2x^3 - 11x^2 - x - 6 = 0$
Возможные рациональные корни по теореме о рациональных корнях (делители -6 деленные на делители 2): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$.
Проверим $x = -2$: $2(-2)^4 - 2(-2)^3 - 11(-2)^2 - (-2) - 6 = 2(16) - 2(-8) - 11(4) + 2 - 6 = 32 + 16 - 44 + 2 - 6 = 0$.
Корень $x = -2$. Разделим многочлен на $(x + 2)$:
$(2x^4 - 2x^3 - 11x^2 - x - 6) : (x + 2) = 2x^3 - 6x^2 + x - 3$.
Уравнение: $(x + 2)(2x^3 - 6x^2 + x - 3) = 0$.
Решим кубическое уравнение $2x^3 - 6x^2 + x - 3 = 0$ группировкой:
$(2x^3 - 6x^2) + (x - 3) = 0$
$2x^2(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(2x^2 + 1) = 0$
Отсюда $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Уравнение $2x^2 + 1 = 0$ действительных корней не имеет ($x^2 = -1/2$).
Следовательно, действительные корни исходного уравнения: $x = -2$ и $x = 3$.
Ответ: -2; 3.