Номер 808, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 808, страница 327.
№808 (с. 327)
Условие. №808 (с. 327)
скриншот условия

808. При каком условии трёхчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена?
Решение 1. №808 (с. 327)

Решение 2. №808 (с. 327)

Решение 3. №808 (с. 327)
Трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена, если его можно представить в виде $(mx + n)^2$ для некоторых действительных чисел $m$ и $n$. Раскроем скобки в выражении для квадрата двучлена: $(mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2$.
Чтобы трехчлен $ax^2 + bx + c$ был тождественно равен выражению $m^2x^2 + 2mnx + n^2$, их коэффициенты при одинаковых степенях $x$ должны быть равны. Это дает нам следующую систему уравнений: $a = m^2$, $b = 2mn$, и $c = n^2$.
Из первого уравнения, $a = m^2$, следует, что коэффициент $a$ должен быть неотрицательным. Поскольку по условию мы имеем дело с трехчленом (предполагается, что это квадратный трехчлен), то $a \neq 0$. Следовательно, $a > 0$. Аналогично, из третьего уравнения $c = n^2$ следует, что $c \ge 0$.
Теперь найдем связь между коэффициентами $a$, $b$ и $c$, исключив $m$ и $n$. Возведем второе уравнение, $b = 2mn$, в квадрат: $b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2$.
Подставим в это равенство значения $m^2 = a$ и $n^2 = c$ из первого и третьего уравнений системы. Получим основное условие: $b^2 = 4ac$.
Это условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного трехчлена $D = b^2 - 4ac$ равен нулю. Убедимся, что это условие является достаточным. Если $b^2 - 4ac = 0$ и $a > 0$, то трехчлен можно преобразовать методом выделения полного квадрата: $ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\sqrt{a}x + \frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2$. Последнее выражение является квадратом двучлена.
Ответ: Трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена при условии, что его дискриминант равен нулю, то есть $b^2 - 4ac = 0$. Дополнительным требованием (которое следует из определения квадрата двучлена с вещественными коэффициентами) является положительность старшего коэффициента: $a > 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 808 расположенного на странице 327 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №808 (с. 327), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.