Номер 808, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 808, страница 327.

Условие.

808. При каком условии трёхчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена, если его можно представить в виде $(mx + n)^2$ для некоторых действительных чисел $m$ и $n$. Раскроем скобки в выражении для квадрата двучлена: $(mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2$.

Чтобы трехчлен $ax^2 + bx + c$ был тождественно равен выражению $m^2x^2 + 2mnx + n^2$, их коэффициенты при одинаковых степенях $x$ должны быть равны. Это дает нам следующую систему уравнений: $a = m^2$, $b = 2mn$, и $c = n^2$.

Из первого уравнения, $a = m^2$, следует, что коэффициент $a$ должен быть неотрицательным. Поскольку по условию мы имеем дело с трехчленом (предполагается, что это квадратный трехчлен), то $a \neq 0$. Следовательно, $a > 0$. Аналогично, из третьего уравнения $c = n^2$ следует, что $c \ge 0$.

Теперь найдем связь между коэффициентами $a$, $b$ и $c$, исключив $m$ и $n$. Возведем второе уравнение, $b = 2mn$, в квадрат: $b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2$.

Подставим в это равенство значения $m^2 = a$ и $n^2 = c$ из первого и третьего уравнений системы. Получим основное условие: $b^2 = 4ac$.

Это условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного трехчлена $D = b^2 - 4ac$ равен нулю. Убедимся, что это условие является достаточным. Если $b^2 - 4ac = 0$ и $a > 0$, то трехчлен можно преобразовать методом выделения полного квадрата: $ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\sqrt{a}x + \frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2$. Последнее выражение является квадратом двучлена.

Ответ: Трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена при условии, что его дискриминант равен нулю, то есть $b^2 - 4ac = 0$. Дополнительным требованием (которое следует из определения квадрата двучлена с вещественными коэффициентами) является положительность старшего коэффициента: $a > 0$.