Номер 802, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 802, страница 327.

Условие.

802. 1) $ \frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{x^3+1} $

2) $ \frac{2x^2}{x-1} - \frac{3x}{x+2} = \frac{2(4x-1)}{x^2+x-2} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное уравнение: $$ \frac{2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{x^3+1} $$ Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
1. $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
2. Знаменатель $x^2 - x + 1$ не равен нулю ни при каких действительных $x$, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.
3. Разложим знаменатель $x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$. Это выражение не равно нулю, если $x \neq -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq -1$.

Общий знаменатель для всех дробей - это $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей: $$ \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1} - \frac{1(x+1)(x^2-x+1)}{x+1} = \frac{(2x-1)(x+1)(x^2-x+1)}{x^3+1} $$ Сокращаем дроби и получаем: $$ 2(x+1) - 1(x^2-x+1) = 2x-1 $$ Раскроем скобки: $$ 2x + 2 - x^2 + x - 1 = 2x - 1 $$ Приведем подобные слагаемые в левой части: $$ -x^2 + 3x + 1 = 2x - 1 $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$ x^2 - 3x - 1 + 2x - 1 = 0 $$ $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Корни легко находятся разложением на множители: $$ (x-2)(x+1) = 0 $$ Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$).
Корень $x=2$ удовлетворяет условию.
Корень $x=-1$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним корнем.

Ответ: $x=2$.

2)

Исходное уравнение: $$ \frac{2x^2}{x-1} - \frac{3x}{x+2} = \frac{2(4x-1)}{x^2+x-2} $$ Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$.
Уравнение принимает вид: $$ \frac{2x^2}{x-1} - \frac{3x}{x+2} = \frac{2(4x-1)}{(x-1)(x+2)} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-1 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -2$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+2)$: $$ \frac{2x^2(x-1)(x+2)}{x-1} - \frac{3x(x-1)(x+2)}{x+2} = \frac{2(4x-1)(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)} $$ После сокращения получаем: $$ 2x^2(x+2) - 3x(x-1) = 2(4x-1) $$ Раскроем скобки: $$ 2x^3 + 4x^2 - 3x^2 + 3x = 8x - 2 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 2x^3 + x^2 + 3x = 8x - 2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 2x^3 + x^2 + 3x - 8x + 2 = 0 $$ $$ 2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 $$ Мы получили кубическое уравнение. Для его решения можно найти целые корни среди делителей свободного члена (числа 2), то есть $\pm 1, \pm 2$.
Проверим $x=1$: $2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2+1-5+2 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
Проверим $x=-2$: $2(-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) + 2 = 2(-8) + 4 + 10 + 2 = -16 + 16 = 0$. Значит, $x=-2$ тоже является корнем.
Разделим многочлен $2x^3 + x^2 - 5x + 2$ на произведение $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$, чтобы найти третий корень. $$ (2x^3 + x^2 - 5x + 2) : (x^2+x-2) = 2x-1 $$ Таким образом, уравнение можно записать в виде: $$ (x-1)(x+2)(2x-1) = 0 $$ Корни этого уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$, $x_3 = \frac{1}{2}$.

Сравним найденные корни с ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -2$).
Корни $x=1$ и $x=-2$ являются посторонними, так как не входят в ОДЗ.
Корень $x=\frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{1}{2}$.