Номер 807, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 807, страница 327.

Условие.

807. Решить относительно n уравнение:

1) $\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} = 1;$

2) $A_{n+1}^2 = 156;$

3) $C_n^3 = \frac{4}{15}C_{n+2}^4;$

4) $12C_{n+3}^{n-1} = 5A_{n+1}^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данных уравнений воспользуемся определениями перестановок, размещений и сочетаний, а также их свойствами.

• Число перестановок из $k$ элементов: $P_k = k!$
• Число размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$
• Число сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}$

Во всех задачах $n$ должно быть натуральным числом, удовлетворяющим условиям существования комбинаторных выражений.

1) $\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}}=1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $n$. Для существования $P_{n-1}$ необходимо, чтобы $n-1 \ge 0$, то есть $n \ge 1$. Для $P_{n+1}$ необходимо $n+1 \ge 0$, что выполняется при $n \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$.

Используем формулу для числа перестановок $P_k=k!$:
$P_{n-1} = (n-1)!$
$P_{n+1} = (n+1)!$

Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{2(n-1)!}{(n+1)!} = 1$

Упростим знаменатель, используя свойство факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$:
$\frac{2(n-1)!}{(n+1)n(n-1)!} = 1$

Сократим дробь на $(n-1)!$ (это возможно, так как в ОДЗ $n \ge 1$):
$\frac{2}{n(n+1)} = 1$

Решим полученное уравнение:
$2 = n(n+1)$
$n^2 + n - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:
$n_1 + n_2 = -1$
$n_1 \cdot n_2 = -2$
Корни уравнения: $n_1 = 1$ и $n_2 = -2$.

Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 1$). Корень $n_1 = 1$ удовлетворяет условию. Корень $n_2 = -2$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $1$

2) $A_{n+1}^2 = 156$

ОДЗ: для существования $A_{n+1}^2$ необходимо, чтобы $n+1 \ge 2$, то есть $n \ge 1$. ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$.

Используем формулу для числа размещений $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$:
$A_{n+1}^2 = (n+1) \cdot ((n+1)-1) = (n+1)n$

Подставим в уравнение:
$(n+1)n = 156$
$n^2 + n - 156 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно заметить, что 156 — это произведение двух последовательных чисел. $12^2 = 144$, $13^2 = 169$. Проверим $12 \cdot 13 = 156$. Значит, один из корней $n_1=12$. По теореме Виета $n_1 \cdot n_2 = -156$, откуда $12 \cdot n_2 = -156 \implies n_2 = -13$.
Корни уравнения: $n_1=12$ и $n_2=-13$.

Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 1$). Корень $n_1=12$ подходит, а $n_2=-13$ — нет.
Ответ: $12$

3) $C_n^3 = \frac{4}{15}C_{n+2}^4$

ОДЗ: для $C_n^3$ нужно $n \ge 3$. Для $C_{n+2}^4$ нужно $n+2 \ge 4$, то есть $n \ge 2$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$.

Используем формулы для числа сочетаний:
$C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$
$C_{n+2}^4 = \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4!} = \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}$

Подставим в уравнение:
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}$

Поскольку по ОДЗ $n \ge 3$, то $n \neq 0$ и $n-1 \neq 0$, можно сократить обе части уравнения на $n(n-1)$:
$\frac{n-2}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{24}$

Упростим правую часть: $\frac{4}{15 \cdot 24} = \frac{1}{15 \cdot 6} = \frac{1}{90}$.
$\frac{n-2}{6} = \frac{(n+2)(n+1)}{90}$

Умножим обе части на 90:
$15(n-2) = (n+2)(n+1)$
$15n - 30 = n^2 + 3n + 2$
$n^2 - 12n + 32 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$n_1 + n_2 = 12$
$n_1 \cdot n_2 = 32$
Корни уравнения: $n_1 = 4$ и $n_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($n \ge 3$).
Ответ: $4; 8$

4) $12C_{n+3}^{n-1} = 5A_{n+1}^2$

ОДЗ: для $C_{n+3}^{n-1}$ нужно $n+3 \ge n-1$ (что верно всегда) и $n-1 \ge 0 \implies n \ge 1$. Для $A_{n+1}^2$ нужно $n+1 \ge 2 \implies n \ge 1$. Общее ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$.

Используем свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$, чтобы упростить выражение:
$C_{n+3}^{n-1} = C_{n+3}^{(n+3)-(n-1)} = C_{n+3}^4$

Теперь запишем выражения через формулы:
$C_{n+3}^4 = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{24}$
$A_{n+1}^2 = (n+1)n$

Подставим в уравнение:
$12 \cdot \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{24} = 5 \cdot (n+1)n$

Упростим левую часть:
$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{2} = 5(n+1)n$

По ОДЗ $n \ge 1$, поэтому $n(n+1) \neq 0$. Сократим на $n(n+1)$:
$\frac{(n+3)(n+2)}{2} = 5$
$(n+3)(n+2) = 10$
$n^2 + 5n + 6 = 10$
$n^2 + 5n - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$
$n = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Поскольку $\sqrt{41}$ является иррациональным числом, корни этого уравнения не являются целыми числами. Однако в задачах по комбинаторике $n$ должно быть натуральным числом.
Следовательно, уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Ответ: решений нет