Номер 807, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 807, страница 327.
№807 (с. 327)
Условие. №807 (с. 327)
скриншот условия

807. Решить относительно n уравнение:
1) $\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} = 1;$
2) $A_{n+1}^2 = 156;$
3) $C_n^3 = \frac{4}{15}C_{n+2}^4;$
4) $12C_{n+3}^{n-1} = 5A_{n+1}^2.$
Решение 1. №807 (с. 327)




Решение 2. №807 (с. 327)


Решение 3. №807 (с. 327)
Для решения данных уравнений воспользуемся определениями перестановок, размещений и сочетаний, а также их свойствами.
- Число перестановок из $k$ элементов: $P_k = k!$
- Число размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$
- Число сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}$
Во всех задачах $n$ должно быть натуральным числом, удовлетворяющим условиям существования комбинаторных выражений.
1) $\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}}=1$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $n$. Для существования $P_{n-1}$ необходимо, чтобы $n-1 \ge 0$, то есть $n \ge 1$. Для $P_{n+1}$ необходимо $n+1 \ge 0$, что выполняется при $n \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$.
Используем формулу для числа перестановок $P_k=k!$:
$P_{n-1} = (n-1)!$
$P_{n+1} = (n+1)!$
Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{2(n-1)!}{(n+1)!} = 1$
Упростим знаменатель, используя свойство факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$:
$\frac{2(n-1)!}{(n+1)n(n-1)!} = 1$
Сократим дробь на $(n-1)!$ (это возможно, так как в ОДЗ $n \ge 1$):
$\frac{2}{n(n+1)} = 1$
Решим полученное уравнение:
$2 = n(n+1)$
$n^2 + n - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:
$n_1 + n_2 = -1$
$n_1 \cdot n_2 = -2$
Корни уравнения: $n_1 = 1$ и $n_2 = -2$.
Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 1$). Корень $n_1 = 1$ удовлетворяет условию. Корень $n_2 = -2$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $1$
2) $A_{n+1}^2 = 156$
ОДЗ: для существования $A_{n+1}^2$ необходимо, чтобы $n+1 \ge 2$, то есть $n \ge 1$. ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$.
Используем формулу для числа размещений $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$:
$A_{n+1}^2 = (n+1) \cdot ((n+1)-1) = (n+1)n$
Подставим в уравнение:
$(n+1)n = 156$
$n^2 + n - 156 = 0$
Решим квадратное уравнение. Можно заметить, что 156 — это произведение двух последовательных чисел. $12^2 = 144$, $13^2 = 169$. Проверим $12 \cdot 13 = 156$. Значит, один из корней $n_1=12$. По теореме Виета $n_1 \cdot n_2 = -156$, откуда $12 \cdot n_2 = -156 \implies n_2 = -13$.
Корни уравнения: $n_1=12$ и $n_2=-13$.
Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 1$). Корень $n_1=12$ подходит, а $n_2=-13$ — нет.
Ответ: $12$
3) $C_n^3 = \frac{4}{15}C_{n+2}^4$
ОДЗ: для $C_n^3$ нужно $n \ge 3$. Для $C_{n+2}^4$ нужно $n+2 \ge 4$, то есть $n \ge 2$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$.
Используем формулы для числа сочетаний:
$C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$
$C_{n+2}^4 = \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4!} = \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}$
Подставим в уравнение:
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}$
Поскольку по ОДЗ $n \ge 3$, то $n \neq 0$ и $n-1 \neq 0$, можно сократить обе части уравнения на $n(n-1)$:
$\frac{n-2}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{24}$
Упростим правую часть: $\frac{4}{15 \cdot 24} = \frac{1}{15 \cdot 6} = \frac{1}{90}$.
$\frac{n-2}{6} = \frac{(n+2)(n+1)}{90}$
Умножим обе части на 90:
$15(n-2) = (n+2)(n+1)$
$15n - 30 = n^2 + 3n + 2$
$n^2 - 12n + 32 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$n_1 + n_2 = 12$
$n_1 \cdot n_2 = 32$
Корни уравнения: $n_1 = 4$ и $n_2 = 8$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($n \ge 3$).
Ответ: $4; 8$
4) $12C_{n+3}^{n-1} = 5A_{n+1}^2$
ОДЗ: для $C_{n+3}^{n-1}$ нужно $n+3 \ge n-1$ (что верно всегда) и $n-1 \ge 0 \implies n \ge 1$. Для $A_{n+1}^2$ нужно $n+1 \ge 2 \implies n \ge 1$. Общее ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$.
Используем свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$, чтобы упростить выражение:
$C_{n+3}^{n-1} = C_{n+3}^{(n+3)-(n-1)} = C_{n+3}^4$
Теперь запишем выражения через формулы:
$C_{n+3}^4 = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{24}$
$A_{n+1}^2 = (n+1)n$
Подставим в уравнение:
$12 \cdot \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{24} = 5 \cdot (n+1)n$
Упростим левую часть:
$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{2} = 5(n+1)n$
По ОДЗ $n \ge 1$, поэтому $n(n+1) \neq 0$. Сократим на $n(n+1)$:
$\frac{(n+3)(n+2)}{2} = 5$
$(n+3)(n+2) = 10$
$n^2 + 5n + 6 = 10$
$n^2 + 5n - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$
$n = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$
Поскольку $\sqrt{41}$ является иррациональным числом, корни этого уравнения не являются целыми числами. Однако в задачах по комбинаторике $n$ должно быть натуральным числом.
Следовательно, уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Ответ: решений нет
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 807 расположенного на странице 327 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №807 (с. 327), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.