Номер 809, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 809, страница 327.

Условие.

809. Доказать, что корни уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ есть взаимно обратные числа, если $a \neq 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что корни уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ (при условии $a \neq 0$) являются взаимно обратными числами, воспользуемся теоремой Виета.

Два числа, $x_1$ и $x_2$, называются взаимно обратными, если их произведение равно единице, то есть $x_1 \cdot x_2 = 1$. Наша задача — доказать, что для корней данного уравнения это равенство выполняется.

Согласно теореме Виета, для общего квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ произведение корней вычисляется по формуле:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем уравнении $ax^2 + bx + a = 0$ коэффициенты следующие:
старший коэффициент $A = a$;
второй коэффициент $B = b$;
свободный член $C = a$.

Подставим значения этих коэффициентов в формулу для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{a}$

Поскольку по условию задачи коэффициент $a \neq 0$, мы имеем право разделить $a$ на $a$. В результате деления получаем 1:

$x_1 \cdot x_2 = 1$

Мы получили, что произведение корней уравнения равно 1. По определению, это означает, что корни $x_1$ и $x_2$ являются взаимно обратными числами. Таким образом, утверждение доказано. Стоит отметить, что поскольку произведение корней равно 1, ни один из них не может быть равен нулю. Это согласуется с условием $a \neq 0$, так как если бы $x=0$ был корнем, подстановка в уравнение дала бы $a=0$, что противоречит условию.

Ответ: Согласно теореме Виета, произведение корней уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ равно $\frac{a}{a} = 1$. Поскольку произведение корней равно единице, они являются взаимно обратными числами, что и требовалось доказать.