Номер 803, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 803, страница 327.

Условие.

803. 1) $\frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = \frac{3}{2-3x-2x^2}$;

2) $\frac{4x^2}{x+2} - \frac{10}{x+2} + 4 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = \frac{3}{2-3x-2x^2}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которых уравнение имеет смысл. Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$2-3x-2x^2 \neq 0$. Разложим этот многочлен на множители. Для этого решим квадратное уравнение $-2x^2-3x+2=0$. Умножим на -1: $2x^2+3x-2=0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$; $x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $2-3x-2x^2 = -2(x+2)(x-\frac{1}{2}) = -(x+2)(2x-1)$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq \frac{1}{2}$.

Теперь преобразуем исходное уравнение:

$\frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = \frac{3}{-(2x-1)(x+2)}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} + \frac{3}{(2x-1)(x+2)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(2x-1)(x+2)$:

$\frac{3x(x+2) + (x+1)(2x-1) + 3}{(2x-1)(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Учитывая ОДЗ, приравняем числитель к нулю:

$3x(x+2) + (x+1)(2x-1) + 3 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 6x + 2x^2 - x + 2x - 1 + 3 = 0$

$5x^2 + 7x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2$

$x_1 = \frac{-7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -0.4$

Оба корня ($-1$ и $-0.4$) входят в область допустимых значений.
Ответ: $-1; -0.4$.

2) $\frac{4x^2}{x+2} - \frac{10}{x+2} + 4 = 0$

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x+2$:

$\frac{4x^2}{x+2} - \frac{10}{x+2} + \frac{4(x+2)}{x+2} = 0$

$\frac{4x^2 - 10 + 4(x+2)}{x+2} = 0$

При $x \neq -2$ числитель должен быть равен нулю:

$4x^2 - 10 + 4x + 8 = 0$

$4x^2 + 4x - 2 = 0$

Для удобства разделим всё уравнение на 2:

$2x^2 + 2x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Полученные корни $x_1 = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ не равны $-2$, значит, они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.