Номер 810, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 810, страница 327.

Условие.

Решить уравнение (810—811).

810. 1) $|2x - 3| = 7;$ 2) $|x + 6| = 2x;$ 3) $2x - 7 = |x - 4|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $|2x - 3| = 7$

Уравнение с модулем вида $|A| = c$ (где $c > 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = c$ и $A = -c$.

Рассмотрим оба случая:

1. $2x - 3 = 7$

$2x = 7 + 3$

$2x = 10$

$x_1 = 5$

2. $2x - 3 = -7$

$2x = -7 + 3$

$2x = -4$

$x_2 = -2$

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-2; 5$.

2) $|x + 6| = 2x$

Поскольку значение модуля всегда неотрицательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

$2x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.

Теперь решим уравнение, раскрыв модуль, для $x \ge 0$:

Так как при $x \ge 0$ выражение $x+6$ всегда положительно, модуль можно просто опустить:

$x + 6 = 2x$

$6 = 2x - x$

$x = 6$

Проверяем, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 0$).

$6 \ge 0$, следовательно, корень подходит.

Замечание: если бы мы рассмотрели случай $x+6 = -2x$, то получили бы $3x = -6$, $x=-2$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Ответ: $6$.

3) $2x - 7 = |x - 4|$

Перепишем уравнение в виде $|x - 4| = 2x - 7$.

Как и в предыдущем задании, правая часть должна быть неотрицательной:

$2x - 7 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 7 \Rightarrow x \ge 3.5$.

При этом условии уравнение равносильно совокупности двух систем:

1. Раскроем модуль со знаком "плюс" (когда подмодульное выражение $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$):

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x - 4 = 2x - 7 \end{cases}$

Решаем уравнение системы:

$7 - 4 = 2x - x$

$x = 3$

Полученный корень $x=3$ не удовлетворяет условию системы $x \ge 4$, следовательно, он не является решением.

2. Раскроем модуль со знаком "минус" (когда подмодульное выражение $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$):

$\begin{cases} 3.5 \le x < 4 \\ x - 4 = -(2x - 7) \end{cases}$

Решаем уравнение системы:

$x - 4 = -2x + 7$

$x + 2x = 7 + 4$

$3x = 11$

$x = 11/3$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=11/3$ условию системы $3.5 \le x < 4$.

$11/3 = 3\frac{2}{3}$. $3.5 = 3\frac{1}{2}$.

Так как $3\frac{1}{2} \le 3\frac{2}{3} < 4$, корень $x = 11/3$ является решением.

Ответ: $11/3$.