Номер 804, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 804, страница 327.

Условие.

804. 1) $x^4 - 11x^2 + 30 = 0;$

2) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^4 - 11x^2 + 30 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$. Тогда $x^4 = (x^2)^2 = y^2$. Исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 11y + 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна коэффициенту при $y$ с противоположным знаком, то есть 11, а произведение корней равно свободному члену, то есть 30. Подбором находим корни:

$y_1 = 5$

$y_2 = 6$

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 1}{2}$

$y_1 = \frac{11 - 1}{2} = 5$

$y_2 = \frac{11 + 1}{2} = 6$

Оба найденных значения для $y$ положительны, следовательно, удовлетворяют условию $y \ge 0$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.

1. При $y_1 = 5$, получаем $x^2 = 5$. Отсюда $x = \pm\sqrt{5}$.

2. При $y_2 = 6$, получаем $x^2 = 6$. Отсюда $x = \pm\sqrt{6}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\pm\sqrt{5}; \pm\sqrt{6}$.

2) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение преобразуется в квадратное:

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$y_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня ($y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = 2$) являются положительными, поэтому оба подходят для обратной замены.

1. При $y_1 = \frac{1}{2}$, получаем $x^2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. При $y_2 = 2$, получаем $x^2 = 2$. Отсюда $x = \pm\sqrt{2}$.

Следовательно, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.