Номер 804, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 804, страница 327.
№804 (с. 327)
Условие. №804 (с. 327)
скриншот условия

804. 1) $x^4 - 11x^2 + 30 = 0;$
2) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0.$
Решение 1. №804 (с. 327)


Решение 2. №804 (с. 327)

Решение 3. №804 (с. 327)
1) $x^4 - 11x^2 + 30 = 0$
Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$. Тогда $x^4 = (x^2)^2 = y^2$. Исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 - 11y + 30 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна коэффициенту при $y$ с противоположным знаком, то есть 11, а произведение корней равно свободному члену, то есть 30. Подбором находим корни:
$y_1 = 5$
$y_2 = 6$
Также можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 1}{2}$
$y_1 = \frac{11 - 1}{2} = 5$
$y_2 = \frac{11 + 1}{2} = 6$
Оба найденных значения для $y$ положительны, следовательно, удовлетворяют условию $y \ge 0$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.
1. При $y_1 = 5$, получаем $x^2 = 5$. Отсюда $x = \pm\sqrt{5}$.
2. При $y_2 = 6$, получаем $x^2 = 6$. Отсюда $x = \pm\sqrt{6}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: $\pm\sqrt{5}; \pm\sqrt{6}$.
2) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$
Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение преобразуется в квадратное:
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$
$y_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Оба корня ($y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = 2$) являются положительными, поэтому оба подходят для обратной замены.
1. При $y_1 = \frac{1}{2}$, получаем $x^2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. При $y_2 = 2$, получаем $x^2 = 2$. Отсюда $x = \pm\sqrt{2}$.
Следовательно, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 804 расположенного на странице 327 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №804 (с. 327), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.