Номер 805, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 805, страница 327.

Условие.

805. 1) $2x^{-2} + 4x^{-1} + 3 = 0;$

2) $(x^2 - x)^2 + 12 = 8(x^2 - x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $2x^{-2} + 4x^{-1} + 3 = 0$

Данное уравнение является уравнением, сводящимся к квадратному. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$, так как в уравнении присутствуют степени с отрицательным показателем.

Перепишем уравнение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2\left(\frac{1}{x^2}\right) + 4\left(\frac{1}{x}\right) + 3 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^{-1} = \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = (x^{-1})^2 = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Подставим $t$ в уравнение, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 + 4t + 3 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=4$, $c=3$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8$

Так как дискриминант $D = -8 < 0$, квадратное уравнение $2t^2 + 4t + 3 = 0$ не имеет действительных корней для $t$.

Поскольку не существует действительных значений $t$, удовлетворяющих этому уравнению, то не существует и соответствующих действительных значений $x$. Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

2) $(x^2 - x)^2 + 12 = 8(x^2 - x)$

Это уравнение можно решить методом введения новой переменной. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$

Заметим, что выражение $(x^2 - x)$ повторяется. Сделаем замену. Пусть $y = x^2 - x$.

Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $y$:

$y^2 - 8y + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна 8. Это числа 2 и 6.

Таким образом, корни уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = 6$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 2$

$x^2 - x = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -2, а сумма равна 1. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Случай 2: $y = 6$

$x^2 - x = 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна 1. Корни: $x_3 = 3$ и $x_4 = -2$.

Объединяя все найденные корни, получаем четыре решения исходного уравнения.

Ответ: $-2; -1; 2; 3$.