Номер 812, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 812, страница 327.

Условие.

812. Найти наименьший корень уравнения $|x^2 - 3x - 6| = 2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения уравнения $|x^2 - 3x - 6| = 2x$ необходимо учесть, что значение модуля не может быть отрицательным. Это накладывает ограничение на правую часть уравнения.

Область допустимых значений (ОДЗ):
$2x \ge 0$
$x \ge 0$

Следовательно, все корни уравнения должны быть неотрицательными. Уравнение с модулем $|A| = B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая.

1. Первый случай: подмодульное выражение равно правой части

$x^2 - 3x - 6 = 2x$

Переносим все слагаемые в левую часть и приводим подобные:

$x^2 - 3x - 2x - 6 = 0$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, значит, это посторонний корень.

2. Второй случай: подмодульное выражение противоположно правой части

$x^2 - 3x - 6 = -2x$

Переносим все слагаемые в левую часть и приводим подобные:

$x^2 - 3x + 2x - 6 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

Находим два корня:

$x_3 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_4 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_3 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.

Корень $x_4 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, значит, это посторонний корень.

Таким образом, мы получили два действительных корня исходного уравнения: 6 и 3.

По условию задачи требуется найти наименьший корень. Сравниваем полученные корни:

$3 < 6$

Наименьший корень уравнения равен 3.

Ответ: 3