Номер 811, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 811, страница 327.

Условие.

811. 1) $|6 - 2x| = 3x + 1;$

2) $2|x - 2| = |x| - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $|6 - 2x| = 3x + 1$

Это уравнение вида $|f(x)| = g(x)$. Поскольку значение модуля всегда неотрицательно ($|a| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это является областью допустимых значений (ОДЗ).

$3x + 1 \ge 0$
$3x \ge -1$
$x \ge -1/3$

Теперь решим уравнение, раскрыв модуль. Уравнение $|A| = B$ равносильно совокупности двух систем:

1) $6 - 2x = 3x + 1$
$6 - 1 = 3x + 2x$
$5 = 5x$
$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли этот корень условию ОДЗ ($x \ge -1/3$).
$1 \ge -1/3$. Условие выполняется, значит, $x=1$ является корнем уравнения.

2) $6 - 2x = -(3x + 1)$
$6 - 2x = -3x - 1$
$-2x + 3x = -1 - 6$
$x = -7$

Проверим этот корень на соответствие ОДЗ ($x \ge -1/3$).
$-7 < -1/3$. Условие не выполняется, значит, $x=-7$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1$.

2) $2|x - 2| = |x| - 1$

Для решения этого уравнения с двумя модулями применим метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль:

$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x = 0$

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка. Решим уравнение на каждом из них.

I. Промежуток $x < 0$
На этом интервале $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид:
$2(2 - x) = -x - 1$
$4 - 2x = -x - 1$
$5 = x$
Полученное значение $x=5$ не входит в рассматриваемый промежуток $x < 0$, следовательно, на этом интервале корней нет.

II. Промежуток $0 \le x < 2$
На этом интервале $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$2(2 - x) = x - 1$
$4 - 2x = x - 1$
$5 = 3x$
$x = 5/3$
Значение $x = 5/3$ (приблизительно 1,67) входит в промежуток $0 \le x < 2$, значит, это корень уравнения.

III. Промежуток $x \ge 2$
На этом интервале $|x - 2| = x - 2$ и $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$2(x - 2) = x - 1$
$2x - 4 = x - 1$
$2x - x = 4 - 1$
$x = 3$
Значение $x=3$ входит в промежуток $x \ge 2$, значит, это также корень уравнения.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.

Ответ: $5/3; 3$.