Номер 813, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 813, страница 327.

Условие.

813. Найти наибольший рациональный корень уравнения $ |x^2 - 8x + 5| = 2x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данное уравнение $|x^2 - 8x + 5| = 2x$ содержит переменную под знаком модуля.

По определению, абсолютная величина (модуль) любого числа является неотрицательной. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это задает область допустимых значений (ОДЗ) для $x$:
$2x \ge 0$
$x \ge 0$

Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух систем, но с учетом уже найденного ОДЗ, мы можем просто рассмотреть два случая раскрытия модуля и проверить найденные корни на соответствие условию $x \ge 0$.

Случай 1. Выражение под модулем неотрицательно.
$x^2 - 8x + 5 = 2x$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 10x + 5 = 0$
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 100 - 20 = 80$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{5}$
Корни $x_1 = 5 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 5 - 2\sqrt{5}$ являются иррациональными числами, так как содержат $\sqrt{5}$.

Случай 2. Выражение под модулем отрицательно.
$x^2 - 8x + 5 = -2x$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни легко находятся подбором:
$x_3 = 1$
$x_4 = 5$
Оба этих корня являются рациональными.

Проверим найденные рациональные корни $1$ и $5$ на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
Для $x = 1$: $1 \ge 0$ (верно).
Для $x = 5$: $5 \ge 0$ (верно).
Оба корня удовлетворяют ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Таким образом, рациональными корнями уравнения являются 1 и 5. Требуется найти наибольший из них.
Сравнивая 1 и 5, получаем, что 5 является наибольшим рациональным корнем.

Ответ: 5